福州市文博中学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试(有答案解析)

一、选择题
1．已知函数()
()2
2
1sin 1
x x
f x x ++=
+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则
()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（ ）
A ．0
B ．2
C ．2019
D ．2020
2．若函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2
π
上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤- B ．2a ≤
C ．1a ≥-
D ．1a ≤
3．设函数2
1()9ln 2
f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,2
B ．(]0,3
C ．[)4,+∞
D ．(],2-∞
4．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意()1212,x x x x ≠，不等式
()()1212f x f x x x -<-恒成立”的只有（ ）
A ．1()f x x
=
B ．()||f x x =
C ．()2f x x =
D ．2()f x x =
5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x xf'x 0->（x 0>），则（ ）
A ．()()()
6f 13f 22f 3->->-
B ．()()
()2f 33f 26f 1->->-
C ．()()()6f 12f 33f 2->->-
D ．()()()3f 22f 36f 1->->-
6．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）
A ．()3x x f x e
=
B ．()x x x
f x e e -=
- C ．()
x
x f x e = D ．()x
f x xe =
7．定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，若()01f =，则不等式()x
f x e >的解集为（ ）
A ．()01，
B ．()1+∞，
C ．()1-∞，
D ．()0-∞，
8．已知()'f x 是定义在上的函数()f x 的导函数，且2(1)(1)x
f x f x e +=-，当1
x >时，()()f x f x '>恒成立，则下列判断正确的是（ ） A ．()()5
23e f f ->
B ．()()5
23f e f ->
C ．()()5
23e f f <-
D ．()()5
23f e f >-
9．若函数()3
3=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,4- B ．()1,4- C ．11,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
D ．11,
2⎛⎫- ⎪⎝⎭
10．已知函数()y f x =对任意的(,)22
x ππ
∈-
满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()'f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A ．(0)()4f π>
B ()()3
4
f ππ<
C ．(0)2()3
f f π> D ()()3
4f ππ-<-
11．已知函数2()sin cos f x x x x x =++，则不等式1
(ln )(ln )2(1)0f x f f x
+-<的解集为
（ ）
A ．(,)e +∞
B ．(0,)e
C ．1(,)e e
D ．1(0,)
(1,)e e
12．R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()20f =，则不等式2()x x e f x e e <-的解集为（ ） A ．()(),00,2∞⋃-
B ．()(),02,-∞+∞
C ．()0+∞，
D ．(),2∞-
二、填空题
13．若函数()ln 3f x a x ax =-+在区间1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
内的图像上存在两点，使得在该点处的切
线相互垂直，则实数a 的取值范围为________. 14．已知函数2ln ()a x
f x x x
=
-，对于12,[2,2020]x x ∈，且当21x x >时，恒有()()
1221
0f x f x x x ->，则实数a 的取值范围为__________. 15．已知()f x '是函数()()3
22113
f x mx m x n x =
-+-+的导函数，若函数()x y f f '=⎡⎤⎣⎦在区间[],1m m +上单调递减，则实数m 的范围是______.
16．已知()3
2
f x x ax bx =++，在1x =处有极值1-，则2+a b =_______
17．已知()ln(1)sin 2f x x a x =++，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线的斜率为-1，
则a =________；当0a =时，与曲线ln 1y x =+和曲线()y f x =都相切的直线的方程是________.
18．已知函数()f x 的导函数为
'()f x ，且满足关系式2()3(2)ln f x xf 'x x =++，则
'(2)f =______．
19．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则
()f e =__________．
20．设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则(3)f '＝______．
参考答案
三、解答题
21．已知函数2()ln f x x x =-，()g x kx =． （1）求函数()f x 的最小值；
（2）若()g x 是()f x 的切线，求实数k 的值；
（3）若()f x 与()g x 的图象有两个不同交点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，求证：121x x >． 22．设a 为实数，已知函数()()12x
x
a x f x e ae
-++--=.
（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；
（2）当1a ≥时，若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围. 23．设函数32()23(1)6f x x a x ax b =-+++，其中,a b ∈R .
（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f --的切线方程为123y x =+，求a ，b 的值； （2）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （3）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围.
24．求函数()3
31f x x x =-+在闭区间[]3,0-上的最大值、最小值.
25．已知R a ∈，函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的最大值. 26．已知函数()ln 1x
f x ae x =--．
（1）设2x =是()f x 的极值点，求a 的值； （2）证明；当1
a e
≥
时，()0f x ≥．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
将函数解析式变形为()2
2sin 11
x x
f x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】
()
()2
22221sin 12sin 2sin 1111
x x x x x x x f x x x x ++++++=
==+
+++，
所以，
()()()()()2
222020sin 202022020sin 202020202020222020120201
f f ⨯-+-⨯++-=
++=+-+， ()()()()
()
22
2
2cos 122sin 1x x x x x f x x
++-+'=
+，函数()f x '的定义域为R ，
()()()()()22
2
2cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
-=
⎡⎤-+⎣⎦
'()()()()
()222
2cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+， 所以，函数()f x '为偶函数，
因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】
结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：
（1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.
2．C
解析：C 【分析】
利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数a 的取值范围． 【详解】 解：函数sin ()cos x a f x x
+=
则2cos cos sin (sin )
()x x x x a f x cos x
++'=
(0,)2
x π
∈上，
2cos 0x ∴>
要使函数sin ()cos x a f x x +=
在区间(0,)2
π
上单调递增， 22cos sin sin 0x x a x ∴++≥在(0,)2
x π
∈上恒成立，
即：sin 10a x +≥在(0,)2
x π
∈上恒成立，
(0,)2
x π
∈上，
sin (0,1)x ∈
1a ∴-
故选：C ． 【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
3．A
解析：A 【分析】
利用()f x 的导函数()'
f x ，结合()f x 在区间[1,1]a a -+上的单调性列不等式组求得a
的取值范围. 【详解】
由()219ln ,(0)2f x x x x =->，则()299
,(0)x f x x x x x
'-=-=>，
当(0,3)x ∈时，()0f x '<，则()f x 单调递减； 当(3,)x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 单调递增，
又函数()f x 在区间[1,1]a a -+上单调递减，所以10
1311a a a a ->⎧⎪
+≤⎨⎪+>-⎩
，解得12a <≤，
故选：A. 【点睛】
本题主要考查利用函数的单调性求解参数的取值范围问题，其中导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下两个角度进行： (1)考查导数的
几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
4．A
解析：A 【分析】
2121|()()|||f x f x x x -<-可化成
1212|()()|
1||
f x f x x x -<-，表示的是函数图象上任意两点连线的斜
率的绝对值，而四个选项中的函数都是(1,2)上可导的函数，因此即转化为它们的导数值的绝对值在(1,2)内是否恒小于1的问题，对四个选项中的函数分别求导，判断导函数的值域是否是(1,1)-或是(1,1)-的子集即可． 【详解】
解：因为对于区间(1,2)上的任意1x ，212()x x x ≠，2121|()()|||f x f x x x -<-恒成立” 所以函数图象上任意两点连线的斜率的绝对值小于1即可，又因为四个函数均是(1,2)上的可导函数，则在(1,2)内总能找到一条切线平行于任意两点连线，则问题即转化为 在(1,2)上四个函数的导数绝对值是否满足恒在(0,1)取值即可， 对于21:|()|A f x x '=
，当(1,2)x ∈时，
1
()(,1)(0,1)4
f x '∈⊆，故A 符合题意； 对于B ：由题意()f x x =，()1f x '=，故B 不满足题意； 对于C ：函数()2f x x =，所以()21f x '=>，故C 不满足题意； 对于:()2D f x x '=，当(1,2)x ∈时，()(2f x '∈，4)，故D 不满足题意． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，实际上是对于可导函数而言，割线在沿着某个方向平移的过程中极限位置是某点处的切线，从而将问题转化为导数的问题求解．
5．B
解析：B 【分析】
根据条件的结构特点构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可． 【详解】
设g （x ）=()
2
x f x ，定义在R 上的奇函数f （x ），所以g （x ）是奇函数，x ＞0时，g′（x ）
=
()()()
()
22'x f x xf x f x -，
因为函数f （x ）满足2f （x ）﹣xf'（x ）＞0（x ＞0），所以g′（x ）＞0， 所以g （x ）是增函数，g
(
g =
()
11f -，
可得：((()2361f f f -＞＞． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中构造新函数()()
2
x g x f x =，利用导数得
到函数()g x 的单调性，利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
6．A
解析：A 【分析】
由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减，然后逐项分析各选项中函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出正确选项. 【详解】
由图象可知，函数()y f x =为R 上的奇函数，且在()0,∞+上先增后减. 对于A 选项，函数()3x x f x e =
的定义域为R ，()()x x
x x
f x f x e e
---==-=-，该函数为奇函数，当0x >时，()x
x f x e =
，()
1x x
f x e -'=. 当01x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减，合乎题意； 对于B 选项，函数()x x
x
f x e e -=-的定义域为{}0x x ≠，不合乎题意；
对于C 选项，函数()x
x f x e
=
的定义域为R ，()1f e -=-，()1
1f e =，()()11f f -≠-，该函数不是奇函数，不合乎题意；
对于D 选项，函数()x
f x xe =的定义域为R ，当0x >时，()x
f x xe =，
()()10x f x x e '=+>，该函数在区间()0,∞+上单调递增，不合乎题意.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来判断，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7．D
解析：D 【分析】
构造函数()()
x f x g x e
=
，用导数法得到()g x 在R 上递减，然后由()01f =，得到()01g =，再利用函数的单调性定义求解.
【详解】 令()()
x f x g x e
=，因为()()f x f x '<， 则()()()
0x
f x f x
g x e
'-'=
<， 所以()g x 在R 上递减， 又()01f =，则()01g =， 不等式()x
f x e >等价于
()
()10x
f x
g e
>= ， 所以0x <. 故选：D 【点睛】
本题主要考查函导数与函数的单调性以及函数单调性解不等式，还考查了构造函数求解问题的能力，属于中档题.
8．A
解析：A 【分析】
构造函数()
()x f x g x e
=
，由(1)(1)g x g x -=+，可得()g x 的图象关于直线1x =对称， 利用导数研究函数的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】
构造函数()()x
f x
g x e
=
，因为2(1)(1)x
f x f x e +=-，所以11(1)(1)x x f x f x e e +-+-=， 则(1)(1)
g x g x -=+，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，
因为当1x >时，()()f x f x '>，所以()()
()0x
f x f x
g x e ''
-=>，
所以()g x 在(1,)+∞上单调递增， 所以有(3)(2),(2)(3)g g g g ->->， 即
3223(3)(2)(2)(3)
,f f f f e e e e
---->>， 即5
(3)(2)e f f ->，5
(2)(3)e f f ->， 故选：A. 【点睛】
本题考查了导数研究函数的单调性，解题的关键是构造函数，属于中档题.
9．C
解析：C 【分析】
对函数()f x 进行求导，可得函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或
2x =，可得()f x 的图像，由函数在区间()5,21a a -+上有最小值，数形结合可得关于a
的不等式，计算可得答案. 【详解】
解：由3
()3f x x x =-，可得()2
333(1)(1)f x x x x '=-+=--+，
当11x -<<，()0f x '>，当1x <-或1x >时，()0f x '<，
所以函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,1-上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，可得(1)2f -=-，令()2f x =-，可得1x =-或2x =，则()f x 的图像如图所示，
因为函数在区间()5,21a a -+上有最小值，故51212a a -<-<+， 解得：112
a -<， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题，体现了数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.
10．D
解析：D 【分析】 构造函数()()cos f x F x x
=
，利用函数()'
F x 导数判断函数()F x 的单调性，将
ππππ
0,,,,3434x =--代入函数()F x ，根据单调性选出正确的选项.
【详解】
构造函数()()cos f x F x x
=
，依题意()()()2
cos sin 0cos f x x f x x
F x x
+=
'>'，故函数在定义域
上为增函数，由()π04F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭得()π04πcos 0cos
4f f ⎛⎫ ⎪
⎝⎭<，即(
)π04f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除A 选项.
由ππ34F F ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ππ34
ππcos cos
34f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭>
ππ34f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B 选项.由
()π03F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭得()π03πcos 0
cos
3
f f ⎛⎫ ⎪
⎝⎭<，即()π023f f
⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，排除C ，选项. 由ππ34F F ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ππ34ππcos cos 34f f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
ππ34f ⎛⎫⎛⎫
-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，D 选项正确，故选D. 【点睛】
本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题.
11．C
解析：C 【分析】
先判断出()f x 为R 上的偶函数，再利用当0x >时，()'0f x >得到函数的单调性，从而可解原不等式. 【详解】
因为()()()()2
2()sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，所以()f x 为R
上的偶函数，
又1
(ln )(ln )2(1)0f x f f x
+-<等价于(ln )(ln )2(1)0f x f x f +--<
即：(ln )(1)f x f <，
()'()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+，
当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+为增函数，故(ln )(1)f x f <等价于
ln 1x <即1ln 1x -<<即1x e e <<，故不等式的解集为1e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
,，故选C.
【点睛】
对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x f
x f x ==-，对于奇函
数()g x ，其单调性在两侧是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．
12．D
解析：D 【分析】
构造函数()()x
x
F x e f x e =-，则由题意可证得()F x 在R 上单调递增，又()20f =，
()()22222F e f e e =-=-，故2()x x e f x e e <-可转化为()()2F x F <，解得2x <.
【详解】
令()()x
x
F x e f x e =-，则()()()()()1x
x
x
x
F x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-⎡⎤⎣⎦，
因为()()1f x f x '+>，所以()()()0x F x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，
所以函数()F x 在R 上单调递增，
又()20f =，所以()()2
2
2
22F e f e e =-=-
故当2()x x e f x e e <-时，有2
()x x e f x e e -<-，即()()2F x F <，
由()F x 的单调性可知2x <. 故选：D. 【点睛】
本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般.
二、填空题
13．【分析】先求导数再根据导数几何意义列方程根据取值范围得结果【详解】设存在两点满足在该点处的切线相互垂直则因为所以从而或故答案为：【点睛】本题考查导数几何意义利用导数研究存在性问题考查综合分析求解能力
解析：22
(,)(,)33
+∞-∞-
【分析】
先求导数，再根据导数几何意义列方程，根据取值范围得结果. 【详解】
()()ln 3a
f x a x ax f x a x
'=-+∴=
- 设存在两点()112212,,(,),()A x y B x y x x <满足在该点处的切线相互垂直， 则21212111
(
)()1(1)(1)0a a a a x x x x a
--=-∴--=-<
因为121,,44x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()121,1,1,44x x ⎛⎫
∈∈ ⎪⎝⎭
从而
121131(0,3),1(,0)4
x x -∈-∈- 2212111942(1)(1)(0,)493a a a x x ∴
=--∈∴>∴>或23
a <- 故答案为：2
2(,)(,)33
+∞-∞-
【点睛】
本题考查导数几何意义、利用导数研究存在性问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
14．【分析】依题意构造函数则函数在上单调递减利用导数研究函数的单调性则恒成立再根据参变分离即可得解【详解】解：由可知则函数在上单调递减∴∵∴∴实数a 的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数的求导构造函 解析：(,24]-∞
【分析】
依题意，构造函数()()F x xf x =，则函数在[2,2020]上单调递减，利用导数研究函数的单调性，则()0F x '
≤恒成立，再根据参变分离，即可得解. 【详解】 解：由
()()
1221
0f x f x x x ->，2120202x x ≥>≥，可知()()1122x f x x f x >，则函数()()F x xf x =在[2,2020]上单调递减.32()()ln ,()30a
F x xf x a x x F x x x
'=
=-=
-≤，∴33a x ≤.
∵[2,2020]x ∈，∴33224a ≤⨯=，∴实数a 的取值范围为(,24]-∞. 故答案为：(,24]-∞. 【点睛】
本题考查函数的求导、构造函数、根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.
15．【分析】求出函数的导函数利用导函数研究原函数的单调区间再二次求导得从而得到的单调区间由导函数在区间上单调递增求出其值域将函数的单调性把问题转化为即可列出不等式即可求出的范围【详解】解：由函数得由得或 解析：[]1,0-
【分析】
求出函数()f x 的导函数，利用导函数研究原函数的单调区间，再二次求导得
()22f x x m ''=-，从而得到()f x '的单调区间，由导函数在区间[m ，1]m +上单调递增
求出其值域[]1,0-，将函数的单调性把问题转化为[][]1,01,1m m -⊆-+，即可列出不等式即可求出m 的范围.
【详解】
解：由函数322
1()(1)3
f x x mx m x n =-+-+，
得222()21()1f x x mx m x m '=-+-=--， 由2()10x m -->，得1x m <-或1x m >+，
∴函数()f x 的增区间为(,1)m -∞-，(1,)m ++∞，
由2(1)0x m --<，得11m x m -<<+，
∴函数()f x 单调减区间为[]1,1m m -+，
由()22f x x m ''=-，则()0f x ''>时，x m >；()0f x ''<时，x m <，
得()'
f x 的单调增区间为[
),m +∞，单调减区间为(],m -∞，
函数()f x '在[],1m m +上单调递增，∴函数()f x '在[],1m m +上的值域为[]1,0-， 又函数[()]y f f x '=在区间[],1m m +上单调递减， 也就是函数()y f x =在区间[]1,0-上单调递减，
因此要满足条件[][]1,01,1m m -⊆-+，即11
10m m -≤-⎧⎨
+≥⎩
，解得：10m -≤≤，
∴实数m 的范围是[]1,0-.
故答案为：[]1,0-. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据复合函数的单调性求参数取值范围，考查转化思想和运算能力，属中档题.
16．【分析】求出由题意求出即得答案【详解】在处有极值即解得经检验当时在处有极值符合题意故答案为：【点睛】本题考查函数的极值点与极值属于中档题 解析：3-
【分析】 求出()'
f
x .由题意，()()'10,11f f ==-，求出,a b ，即得答案.
【详解】
()()32'2,32f x x ax bx f x x ax b =++∴=++. ()f x 在1x =处有极值1-，
()()'
10,11f f ∴==-，即320
11a b a b ++=⎧⎨++=-⎩
，解得1a b ==-.
经检验，当1a b ==-时，()3
2
f x x x x -=-在1x =处有极值1-，符合题意.
1a b ∴==-，23a b ∴+=-.
故答案为：3-. 【点睛】
本题考查函数的极值点与极值，属于中档题.
17．【分析】先求导可得再由可得的值；当时可得设直线与曲线和曲线的切点分别为根据切线的斜率等于曲线在切点处的导数值以及利用两个切点表示出切线斜率可得方程组从而解出切点坐标即得【详解】由题得函数的导数为由曲 解析：1-y x =
【分析】 先求导可得1
()2cos 21
f x a x x '=
++，再由(0)1f '=-可得a 的值；当0a =时，可得ln )(1)(y f x x ==+，设直线l 与曲线ln 1y x =+和曲线()y f x =的切点分别为
11(,ln 1)A x x +，22(,ln(1))B x x +，根据切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，以及利
用两个切点表示出切线斜率，可得方程组，从而解出切点坐标，即得. 【详解】
由题得，函数()f x 的导数为1
()2cos 21
f x a x x '=
++，由曲线()y f x =在点(0,0)处的切线的斜率为1-，可得(0)121f a '=+=-，解得1a =-.
当0a =时，所以 ()ln(1)f x x =+，设直线l 与曲线ln 1y x =+和曲线()y f x =的切点分别为11(,ln 1)A x x +，22
(,ln(1))B x x +，则切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，又
1y x '=，1
()1f x x '=+，则有1221211111ln(1)ln 11x
x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+--⎪=
⎪-⎩
，解得11x =，20x =，故切点
为(1,1),(0,0)A B ，切线斜率1k =，可得切线方程为11(1)y x -=⨯-，即y x =.
故答案为：1-，y x = 【点睛】
本题考查根据导数的几何意义求参数，以及求与两个曲线都相切的直线方程.
18．【分析】对两边求导可得：将代入即可求得问题得解【详解】对两边求导可得：将代入上式可得：解得：【点睛】本题主要考查了导数的计算及赋值思想考查计算能力属于中档题
解析：9
4
-
【分析】
对2
()3(2)ln f x xf 'x x =++两边求导可得：1
()23(2)f x f 'x
x '=++
，将2x =代入即可求得9
(2)4
f '=-
，问题得解．
【详解】
对2
()3(2)ln f x xf 'x x =++两边求导可得：1()23(2)f x f 'x
x '=++
， 将2x =代入上式可得：1(2)223(2)2
f f ''=⨯++ 解得：9(2)4
f '=- 【点睛】
本题主要考查了导数的计算及赋值思想，考查计算能力，属于中档题．
19．-1【解析】分析：先求导数解得代入解得详解：因为所以所以因此点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化
解析：-1. 【解析】
分析：先求导数，解得()'f e ，代入解得()f e . 详解：因为()()2'ln f x xf e x =+，所以1()2()f x f e x
''=+ 所以11()2()(),f e f e f e e e
''+∴=-'= 因此1()2()ln 1.f e e e e
=-+=-，
点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.
20．【解析】结合导数的运算法则可得：则导函数的解析式为：据此可得： 解析：105
【解析】
结合导数的运算法则可得：()()2
'152'1f x x f =+，
则()()()'1152'1,'115f f f =+∴=-， 导函数的解析式为：()2
'1530f x x =-，
据此可得：()2
'315330105f =⨯-=.
三、解答题
21．（1）11
ln 222
+；（2）1；（3）证明见解析. 【分析】
（1）利用导数求出其单调性，即可得出函数()f x 的最小值；
（2）利用导数的几何意义得出切线方程2
0000121ln y x x x x x ⎛⎫=-
-+- ⎪⎝⎭
，再由2
0000
12,1ln 0x k x x x -
=-+-=求出k 的值； （3）将22
111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加相减化简得出
212
1212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=
-，令211x t x =>，构造函数2(1)()ln (1)1
t F t t t t -=->+，利
用单调性证明2(1)
ln 1
t t t ->
+，从而得出1212ln 22x x x x +>，再由令()ln 2G x x x =+的单调性得出12()(1)G x x G >，从而得出121x x >. 【详解】
解：（1）∵2
()ln f x x x =-，∴2121
()2(0)x f x x x x x
-'=-=>
当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x
在2⎛ ⎝⎭上单调递减；
当x ⎫
∈+∞⎪⎪⎝⎭
时，
()0f x '>，∴()f x
在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 故函数()f x
的最小值为2
11
ln ln 222222f ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）若()g x 是()f x 的切线，设切点为00(,())x f x 则过点00(,())x f x 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+
即20000012()ln y x x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即2
0000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝
⎭
由题意知2
0000
12,1ln 0x k x x x -
=-+-= 令2
()1ln (0)h x x x x =-+->，则0x >时，1()20h x x x
'=--< ∴2()1ln h x x x =-+-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =
∴2
001ln 0x x -+-=有唯一的实根01x =，则00
1
2211k x x =-=-=． （3）由题意知22
111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=
两式相加得22
121212ln ()x x x x k x x +-=+
两式相减得222
21211
ln ()x x x k x x x --=-，即212121
ln x x x x k x x +-=-
∴222
11212211221ln ln ()x x x x x x x x x x x x ⎛
⎫ ⎪ ⎪+-=+-
+-
⎪ ⎪⎝⎭
，即2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=- 不妨令120x x <<，记211x t x =
>，则2121212211ln 2ln x x x
x x x x x x x ++==-1ln 1
t t t +- 令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)
t F t t t -'=>+
∴2l ())1
n 1(t F t t t -=-
+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)
()ln (1)01t F t t F t -=-
>=+ ∴2(1)
ln 1t t t ->+，因而1212ln 2x x x x +=
112(1)ln 2111
t t t t t t t ++->⋅=--+ 令()ln 2G x x x =+，则0x >时，1
()20G x x
'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增
∵121212()ln 22(1)G x x x x x x G =+>=，∴121x x >． 【点睛】
在处理极值点偏移问题时，关键是构造新函数，结合单调性解决极值点偏移问题. 22．（1）单调递增区间为()ln 2,+∞；单调递减区间为(),ln 2-∞；（2）(),e +∞. 【分析】
（1）由2a =得()22x
x
f x e e
x -+--=，对函数求导，根据导数的方法，即可求出单调
区间；
（2）先对函数求导，根据导数的方法判定函数单调性，得到
()()min 1ln 1f x a a a =+--，为使()f x 有两个不同的零点，首先
()1ln 10a a a +--<，解得a e >，再判断0x >和0x <时，函数都有零点，即可得出结
果. 【详解】
（1）当2a =时，()22x
x
f x e e
x -+--=，
则()()()
221212x x x x x x x x
e e e e
f x e e e e
--+--='--==， 令()0f x '=，则ln 2x =，
所以当(),ln 2x ∈-∞时，()0f x '<，所以()f x 单调递减； 当()ln 2,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 单调递增；
即函数()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞；单调递减区间为(),ln 2-∞； （2）因为()()12x
x
a x f x e ae
-++--=，
所以()()()()(
)2111x
x x x x x x
x
e e e e
f x a a a e ae e e a
-+-+--=
'=-+-=，
因为1a ≥，
由()0f x '>得ln ≥x a ；由()0f x '<得ln x a <；
所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增； 因此()()()()ln ln min ln 1ln 21ln 1a
a f x f a e
ae a a a a a -==++--=+--，
要使()f x 有两个不同的零点，
则首先()1ln 10a a a +--<，即()()11ln 0a a --<，所以1ln 0a -<，解得a e >； 当0x >时，()()()1212x
x
x a x a f x e ae
x e -++-->-=+-，
令()2
x
g x e x =-，0x >，则()2x g x e x '=-，()2x
g x e ''=-， 由()0g x ''>得ln 2x >；由()0g x ''<得ln 2x <，
所以()2x g x e x '=-在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 所以()()ln 22ln 222ln 220ln g x g e ''≥=-=->，
因此()2
x
g x e x =-在()0,∞+上单调递增，因此()()010g x g >=>，即2x e x >在
0x >上恒成立，
所以当0x >时，()()()()2121212x x
x f x e ae
e a x a x x a x -++-->+-->+--=，
此时()()()()2
1112120f a a a a a >++-+-=>+； 当0x <时，()()122x
x
x f a x e ae
ae x --++-->-=，
令20x ae -->，可得2
ln x a
<-； 取00x <且02
ln
x a
<-知()00f x >， 故a e >满足()f x 在()0,ln x a 和()ln ,1a a +各有一个零点； 综上，a 的取值范围为(),e +∞. 【点睛】 方法点睛：
利用导数解决函数零点问题的方法：
直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与x 轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；
构造新函数法：将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；
分离参变量法：即由()0f x =分离参变量，得()a x ϕ=，研究直线y a =与()y x ϕ=的图像的交点问题.
23．（1）0a =，4b =-；（2）3a =；（3）[0,)a ∈+∞. 【分析】
（1）利用导数的几何意义，可得(1)12f '-=，(1)9f -=-，计算整理，即可求得a ，b 的值；
（2）令'
(3)0f =，即可求得a 的值，检验可得3x =为极值点，即可得答案； （3）令'
()0f x =，解得1x a =，21x =，分别求得1a <和1a ≥时，()f x 的单调区间，
结合题意，分析推理，即可得答案. 【详解】
（1）因为32
()23(1)6f x x a x ax b =-+++，
所以2
()66(1)6f x x a x a '=-++，
由题设可得(1)121212f a '-=+=，(1)959f a b -=-+-=-， 解得0a =，4b =-.
（2）因为()f x 在3x =取得极值， 所以(3)12360f a '=-+=，解得3a =.
当3a =时，'
2
()624186(1)(3)f x x x x x =-+=--， 令'
()0f x =，解得x=1或3，
所以3x =为()f x 的极值点，故3a =满足题意. （3）令()6()(1)0f x x a x '=--=， 得1x a =，21x =. 当1a <时，若(,)
(1,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，
所以()f x 在(,)a -∞和(1,)+∞上为增函数， 故当01a ≤<时，()f x 在(,0)-∞上为增函数恒成立. 当0a <时，()f x 在(,)a -∞上为增函数，不符合题意， 当1a ≥时，若(,1)
(,)x a ∈-∞+∞，则()0f x '>，
所以()f x 在(,1)-∞和(,)a +∞上为增函数， 从而()f x 在(,0)-∞上也为增函数，满足题意.
综上所述，当[0,)a ∈+∞时，()f x 在(,0)-∞上为增函数. 【点睛】
本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的单调区间和极值点问题，考查计算求值，分类讨论的能力，属中档题. 24．最大值为3，最小值为17-. 【分析】
求()'
f
x ，求出()f x 在闭区间[]3,0-上的极值，与()()3,0f f -比较大小，即得最值.
【详解】
()()()()3'231,33311f x x x f x x x x =-+∴=-=+-.
令'0f x
，得1x =-或1x =（舍）.
由()'
0f
x >，得31x -≤<-；由()'0f x <，得10-<≤x . ()f x ∴在区间[)3,1--上单调递增，在区间(]1,0-上单调递减， ()f x ∴在[]3,0-上有极大值()13f -=.
又()()317,01f f -=-=，
()f x ∴在[]3,0-上的最大值为3，最小值为17-.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的最值，属于基础题. 25．（1）函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增；（2）211e
-
. 【分析】
（1）首先对函数求导，根据函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值，得到
()110f a '=-=，求得1a =，根据导数的符号求得其单调区间；
（2）将不等式转化为1ln 1x b x x +
-≥，之后构造新函数()1ln 1x
g x x x
=+-，利用导数求得其最小值，进而求得最值，得到结果. 【详解】
()11ax f x a x x -'=-
=，由()110f a '=-=得1a =，()1ln =--f x x x ， （1）()1
x f x x -'=，由0f x 得1x >，由0f x
得01x <<， 故函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增.
（2）()1ln 21x f x bx b x x
≥-⇒+-≥， 令()1ln 1x g x x x =+-，则()2
ln 2
x g x x -'=， 由0g x
，得2x e >，由0g x ，得20x e <<，
故()g x 在(
)2
0,e
上递减，在()2
e ,+∞上递增，
∴()()2
2
min 1
e
1e g x g ==-，即2
1
1e b ≤-
， 故实数b 的最大值是2
11e -
.
【点睛】
该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据极值点求参数的值，利用导数求函数的单调区间，利用导数求参数的取值范围，属于中档题目.
26．（1）2
12a e =
；（2）见解析. 【分析】
（1）由题意得出()20f '=，可求得a 的值，然后对函数()y f x =是否在2x =取得极值进行验证，进而可求得实数a 的值； （2）当21a e ≥时，()ln 1x e f x x e ≥--，构造函数()ln 1x
e g x x e
=--，利用导数证明出当0x >时，()0g x ≥恒成立，即可证得结论成立.
【详解】
（1）函数()ln 1x f x ae x =--的定义域为()0,∞+，()1x f x ae x
'=-
． 由题设知，()20f '=，所以212a e =，此时()212x e f x x -'=-， 则函数()y f x '=在()0,∞+上为增函数，
当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>.
此时，函数()y f x =在2x =处取得极小值，合乎题意. 综上所述，2
12a e =； （2）当1a e ≥时，()ln 1x
e f x x e
≥--， 设()ln 1x e g x x e =--，则()1x e g x e x
'=-． 由于函数()y g x '=在()0,∞+上单调递增，且()10g '=.
当01x <<时，()0g x '<，此时，函数()y g x =单调递减；
当1x >时，()0g x '>，此时，函数()y g x =单调递增．
所以，函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，()()min 10g x g ∴==. 因此，当1a e ≥
时，()0f x ≥． 【点睛】
本题考查利用函数的极值点求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。