甘肃兰州一中2012届高三数学第三次诊断考试试题 理【会员独享】

某某省某某一中2012年高三第三次诊断
数学（理）试题
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知i 为虚数单位，则3
11i i
++=
（ ）
A ．i -
B ．i
C ．1i -
D ．1
2．等差数列{}n a 中，若
75913a a =，则139
S
S =( ) A ．
913B ．13
9
C ．1
D ．2 3．函数sin(2)3
y x π
=+
的图象可由cos 2y x =的图像经过怎样的变换得到 ( )
A ．向左平移
6π个单位 B ．向右平移6π
个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12
π
个单位
4. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意[)12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，
都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则
( )
A ．(3)(2)(1)f f f <-<
B ．(1)(2)(3)f f f <-<
C ．(2)(1)(3)f f f -<<
D ．(3)(1)(2)f f f <<-
5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
则y 对x 的线性回归方程为( )
A. 1-=x y
B.1+=x y C .882
1
+=
x y D.176=y 6．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题
① 若αα//,,//m n n m 则⊂；
② 若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥； ③ 若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④ 若αββαβα⊥⊥⊂=⊥
n m n n m 则,,,, ；
其中正确的命题个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7.下列四个条件中，p 是q 的必要不充分．．．．．
条件的是 ( ) A ．:p a b >，22:q a b >B ．:p a b >，:22a b q >
Ｃ．22:p ax by c +=为双曲线，:0q ab <Ｄ．2:0p ax bx c ++>，2:
0c b
q a x x
++>
8. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，
则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为 ( )
A
．
10 B.15C
．10D ．3
5
9. 将编号为A 、B 、C 、D 、E 的五个小球放在如右图所示的五个盒子中，要求每个盒子只
能放一个小球，且A 不能放1，2号， B 必需放在与A 相邻的盒子中，则不同的放法有 ( )
A ． 42 B.34 C ． 30 D ．28
10．数列{}n a 中，)(231++∈+=N n a a n n ,且810=a ，则=4a ( )
A ．8081-
B ．181
C ．127
D ．2627
-
11. 点P 是双曲线122
22=-b
y a x (0a >, 0b >)左支上的一点，其右焦点为F (,0)c ，若M
为线段FP 的中点, 且M 到坐标原点的距离为c 8
1
，则双曲线的离心率e X 围是 ( )
A ．]8,1( B.]34,1(C ．)3
5,34(D ．]3,2(
12．在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥,1AD DC ==,3AB =,动点P 在ABCD 内运动
(含边界)，设AP AD AB αβ=⋅+⋅，则αβ+的最大值是( )
A ．
43B.14 C ．1 D ．13
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．
13．已知ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直， 0
90=∠=∠BCD ABC ，a AB =b BC =，
c CD =，且1222=++c b a ，则三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 .
14.
在2012(x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S
，当x =
S 等于 .
15. 若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：
①22
-=x y ②2
2
(1)1x y -+=③2
212
x y +=④221x y -=
与直线l 一定有公共点的曲线的序号是．（写出你认为正确的所有序号）
16. 对于连续函数()f x 和()g x ，函数()()f x g x -在闭区间[,]a b 上的最大值称为()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上的“绝对差”，记为
((),()).
a x b
f x
g x ≤≤∆
则
32
2311(, 2)3
2x x x x -≤≤+=∆. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．
17．（本题满分10分） 已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤为偶函数，且其图像上相邻的一个最高
(Ⅰ)求函数f (x )的解析式；
(Ⅱ)若 (
))1
24sin ,31tan f π
αααα
-++=+ 的值．
18.（本题满分12分）
如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面ABC ，2=AB ，1=BD ，2=AF ，3=CE ，O 为AB 的中点．
（Ⅰ）求证：OC DF ⊥；
（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABC 相交所成锐角二面角的余弦值； （Ⅲ）在DE 上是否存在一点P ，使CP ⊥平面DEF ？如果
存在，求出DP 的长；若不存在，说明理由．
19．（本题满分12分）
在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出1点,甲盒中放一球;若掷出2点或3点, 乙盒中放一球,若掷出4点或5点或6点,丙盒中放一球,前后共掷3次,设x ,y z 分别表示甲, 乙,丙3个盒中的球数.
(Ⅰ) 求x ,y ,z 依次成公差大于0的等差数列的概率；
(Ⅱ) 记y x +=ξ,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望． 20．（本题满分12分）
设数列{n a }的前n 项和为n S ，并且满足n a S n n +=2
2，0>n a （n ∈N*）.
（Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；
（Ⅱ）猜想{n a }的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）设0>x ，0>y ，且1=+y x ，证明：11+++y a x a n n ≤)2(2+n .
F
E
D
P
C
B O A
21. （本题满分12分）
设直线)1(:+=x k y l 与椭圆)0(32
2
2
>=+a a y x 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点．
(Ⅰ) 证明：2
2
2
313k
k a +>； (Ⅱ) 若OAB CB AC ∆=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程. 22．（本题满分12分）
设函数()ln f x x x =(0)x >． (Ⅰ) 求函数()f x 的最小值；
(Ⅱ) 设2
()()F x ax f x '=+()a ∈R ，讨论函数()F x 的单调性；
（Ⅲ）斜率为k 的直线与曲线()y f x '=交于11(,)A x y 、22(,)B x y 12()x x <两点， 求证：121
x x k
<<．
参考答案
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的)
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本题共4小题，共20分，把答案填在题中的横线上) 13. π 14. 3017
2
- 15. ①③ 16.
103
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 解：
()()()()(1)
sin sin ,2sin cos 0cos 0
0,.2
2
,,21,cos 2
f x x x x T
T T f x x ωϕωϕωϕϕπ
π
ϕϕππω∴-+=+⇒=∴=≤≤
∴=
==∴=∴=∴=为偶函数，恒成立又设其最小正周期为则
______________5分
()2sin 2cos 212sin cos 2sin 22sin cos ,sin 1tan 1cos 2455
sin cos ,12sin cos ,2sin cos ,3999
ααααα
ααααα
αααααα-++=
==++
+=∴+=∴=-∴=-
原式又原式 ______________10分
18. 解:
如图，以O 为原点，OB ，OC ，Oz 分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，
)0,3,0(C ，)1,0,1(D ，)3,3,0(E ，)2,0,1(-F ．
……2分
（Ⅰ）），，（030=OC ，)1,0,2(-=DF ，所以0=⋅OC DF ，即
DF OC ⊥．
……4分
（Ⅱ）平面ABC 的法向量为)1,0,0(=1n ．
设平面DEF 的法向量为),,(z y x =2n ，)2,3,1(-=DE ．
F
E
D
P C
B
O
A
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0DF DE 22n n 得⎩⎨⎧=+-=++-,
02,023z x z y x 所以⎩⎨⎧-==.3,2x y x z 取1=x ，得)2,3,1(-=2n ． 所以2
2
2212,cos =
⨯=⋅>=
<212121n n n n n n ，所以平面DEF 与平面ABC 相交所成锐角二面角的余弦值为
2
2
． ……8分
（Ⅲ）假设在DE 存在一点P ， 设),,(z y x P ， 因为DE DP λ=，故)2,3,1()1,,1(-=--λz y x ，
所以)12,3,1(++-λλλP ，所以)12,33,1(+-+-=λλλCP ． 因为CP ⊥平面DEF ，所以CP 与平面DEF 的法向量2n 共线， 所以
21
23
3311+=
--=+-λλλ ，解得41=λ， 所以DE DP 41
=
=，所以22=DP ． ……12分
19解：
(Ⅰ)x ,y ,z 依次成公差大于0的等差数列的概率,即甲, 乙,丙3个盒中的球数.分别为
0,1,2,此时的概率4
1)21(3121
3=⨯⨯=C p ____________5分
(Ⅱ)ξ的取值为0,1,2,3 ____________6分
81
)21()0(3===ξp ______________7分
834181)21(31)21(61)1(21
3213=+=⨯⨯+⨯⨯==C C p ξ _ ____________8分
8321)61(21)31(213161)2(2232233
3=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯==C C A p ξ ______________9分
8
1
)31(6131)61()31()61()3(22322333=⨯⨯+⨯⨯++==C C p ξ ______________10分
随机变量ξ的概率分布列
数学期望为2
3
=
ξE _______________12分 法二:把两盒的球合并成一盒.则每次掷骰子后球放入该盒中的概率2
13161=+=
p ,且 ξ～B （3，2
1
）,分布列见法一,
23213=⨯=ξE 20解：
（Ⅰ）分别令1=n ，2，3，得
⎪⎩
⎪⎨⎧+=+++=++=3)(22
)(21
2233212
221211a a a a a a a a a ∵0>n a ，∴11=a ，22=a ，33=a . …………………………3分 （Ⅱ）证法一：猜想：n a n =， ………………………………4分
由 n a S n n +=2
2①
可知，当n ≥2时，)1(22
11-+=--n a S n n ②
①-②，得 12212+-=-n n n a a a ，即122
12-+=-n n n a a a . ………………5分
1）当2=n 时，1122
222-+=a a ，∵02>a ，∴22=a ； ……………6分 2）假设当k n =（k ≥2）时，k a k =. 那么当1+=k n 时，
122121-+=++k k k a a a 1221-+=+k a k
0)]1()][1([11=-++-⇒++k a k a k k ，
∵01>+k a ，k ≥2，∴0)1(1>-++k a k ， ∴11+=+k a k .
这就是说，当1+=k n 时也成立， ∴n a n =（n ≥2）. 显然1=n 时，也适合.
故对于n ∈N*，均有n a n =. ………………………………………8分 证法二：猜想：n a n =， …………………………………4分 1）当1=n 时，11=a 成立； …………………………………5分 (Ⅱ)假设当k n =时，k a k =. ………………………………6分
那么当1+=k n 时，122
11++=++k a S k k .
∴1)(22
11++=+++k a S a k k k ，
∴)1(22121+-+=++k S a a k k k )1()(22
1+-++=+k k k a k
)1(221-+=+k a k
（以下同证法一） ………………………………………8分 （Ⅲ）证法一：要证11+++ny nx ≤)2(2+n ，
只要证1)1)(1(21++++++ny ny nx nx ≤)2(2+n ， ………………9分 即+++2)(y x n 1)(22
+++y x n xy n ≤)2(2+n ， …………………10分
将1=+y x 代入，得122
++n xy n ≤2+n ，
即要证)1(42
++n xy n ≤2
)2(+n ，即xy 4≤1. …………………………11分 ∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，∴xy ≤2
1
2=+y x , 即xy ≤
4
1
，故xy 4≤1成立，所以原不等式成立. ………………………12分 证法二：∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，
∴12
1+⋅
+n
nx ≤2
121++
+n nx ①
当且仅当2
1
=
x 时取“=”号. …………………………………9分 ∴121+⋅+n ny ≤2
1
21+++n
ny ②
当且仅当2
1
=y 时取“=”号. …………………………………10分 ①+②，得 （+
+1nx 1+ny ）
12+n ≤2
4)(n y x n +++2+=n ， 当且仅当2
1
=
=y x 时取“=”号. ……………………………………11分 ∴11+++ny nx ≤)2(2+n . ………………………………………12分
证法三：可先证b a +≤)(2b a +. ………………………………………9分
∵ab b a b a 2)(2
++=+，
b a b a 22))(2(2+=+，b a +≥ab 2， ……………………………10分
∴b a 22+≥ab b a 2++，
∴)(2b a +≥b a +，当且仅当b a =时取等号. ………………11分
令1+=nx a ，1+=ny b ，即得
11+++ny nx ≤)11(2+++ny nx )2(2+=n ，
当且仅当1+nx 1+=ny 即2
1
==y x 时取等号. ………………………12分 21解：
（I ）解：依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11
)1(-=
+=y k
x x k y 可化为 将x a y x y k x 消去代入,311
222=+-=
，得 .012
)31(222=-+-+a y k y k ①………………………… 3分
由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得
3)31
(
,0)1)(31(4422222>+>---=
∆a k
a k
k 整理得， 即.3132
2
2
k k a +>
…………………………………………………… 5分 （II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得2
21312k k
y y +=
+
因为212,
2y y CB AC -==得，代入上式，得.3122
2k k
y +-=
……………8分
于是，△OAB 的面积 ||2
3||||21221y y y OC S =-⋅= .23|
|32||331||32=<+=k k k k ………………10分 其中，上式取等号的条件是.3
3,132±==k k 即……………………11分 由.33,31222
2±=+-=y k k y 可得 将3
3,3333,3322=-=-==y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x ………………12分
22. 解：
(Ⅰ)()ln 1f x x '=+(0)x >，令()0f x '=，得1x e =
. ………2分 ∵当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>， ………3分 ∴当1x e =时，min 111()ln f x e e e
==-. ……4分 (Ⅱ)2()ln 1F x ax x =++(0)x >，2121()2(0)ax F x ax x x x
+'=+=>. ……5分
① 当0≥a 时，恒有()0F x '>，()F x 在),0(+∞上是增函数； ……6分 ② 当0<a 时，
令()0F x '>，得2210ax +>
，解得0x << ……7分
令()0F x '<，得2210ax +<
，解得x >. ………8分
综上，当0≥a 时，()F x 在),0(+∞上是增函数；
当0<a 时，()F x
在
上单调递增，在)+∞上单调递减. 8分
（Ⅲ） 证：21212121
()()ln ln f x f x x x k x x x x ''--==--.
要证121x x k <<，即证211221ln ln x x x x x x -<<-，等价于证2122
11
11ln x x x x x x -<<，令21x t x =， 则只要证11ln t t t
-<<，由1t >知ln 0t >，故等价于证ln 1ln (1)t t t t t <-<> (*). ① 设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1()10(1)g t t t
'=-≥≥，故()g t 在[1,)+∞上是增函数， ∴ 当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即1ln (1)t t t ->>.
② 设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()ln 0(1)h t t t '=≥≥，故()h t 在[1,)+∞上是增函数， ∴ 当1t >时，()ln (1)(1)0h t t t t h =-->=，即1ln (1)t t t t -<>.
由①②知(*)成立，
得证. ……12分。