江苏省南京市溧水中学2021年高三数学文模拟试卷含解析

江苏省南京市溧水中学2021年高三数学文模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若集合，则集合
A. B. C. D.R
参考答案：
C
略
2. 如图所示，图中粗线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积是（）
A．B．C．D．4
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD，其体积V=V B﹣PAD+V B﹣PCD．【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．
连接BD．
其体积V=V B﹣PAD+V B﹣PCD
==．
故选：B．3. 设全集U是实数集R，已知集合，，则（）A．B．C．D ．
参考答案：
C
本题选择C选项.
4. 自平面上一点O引两条射线OA，OB，点P在OA上运劝，点Q在OB上运动且
保持为定值a（点P,Q不与点O重合），已知，则的取值范围为
A． B． C． D．
参考答案：
D
5. 已知，则函数的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
6. 下列关系式中正确的是（）
A． B．
C．D．
参考答案：
C
7. 与椭圆共焦点且渐近线方程为的双曲线的标准方程为( ）
A．B． C. D．
参考答案：
D
的焦点坐标为，
双曲线焦点，
可得，
由渐近线方程为，得，，
双曲线的标准方程为，故选D.
8. 已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：
①对任意的，当时，都有恒成立；
②；
③是偶函数；
若，则的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
由①知函数在区间上为单调递增函数；由②知，即函数
的周期为，所以，；由③可知的图象关于直线对称，所以，；因为函数在区间上为单调递增函数，所以，即
9. 如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为a n，则=（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
10. 函数的单调减区间为（）
A．B．
C． D．
参考答案：
【知识点】复合三角函数的单调性。

C3
【答案解析】B 解析：令：，t=sin（2x+），∴2kπ＜2x+≤2kπ+
kπ＜x≤kπ+，由复合函数的单调性可知：函数的单调减区间为
（k∈Z），故选B。

【思路点拨】观察可知函数是由，t=sin（2x+）构成的复合函数，由复合函数的单调性，只要求得t=sin（2x+）增区间中的大于部分即可．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，则cosB=．参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由正弦定理与sinA=2sinC，可解得a=2c，将这些代入由余弦定理得出的关于cosB的方程即可求出．
【解答】解：在△ABC中，∵sinA=2sinC，
∴由正弦定理得a=2c，
由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，
将b2=ac及a=2c代入上式解得：cosB===．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于运用定理建立所求量的方程通过解方程来求值的题目，训练目标是灵活运用公式求值，属于基础题．
12. 数列{a n}的通项公式是a n＝，若前n项和为10，则项数n＝_________.
参考答案：
120
13. 已知关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式的系数之和
为
.
参考答案：
14. 正三角形的边长为2
，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时二面角B-AD-C
大小为
_ __
参考答案：600
15. 已知直线2x+y+a=0与圆心为C的圆相交于两点，且，则圆心的坐标为；实数a的值为 .
参考答案：
（-1，2）；.
试题分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．
圆的标准方程为，圆心C（-1，2），半径
∴圆心C到直线AB的距离
所以圆心坐标为：（-1，2）；实数
考点：直线与圆
16. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列四个图象可以为y＝f(x)的图象序号是_______________（写出所有满足题目条件的序号）.
参考答案：
①②③；因为′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝e x，且x＝－2为函数f(x)e x的一个极值点，所以f(-1)＋f′(-1)＝0；对于①②，f(-1)=0且f′(-1)＝0，所以成立；对于③，f(-1)0，且
，得，即，所以，所以可满足f(-1)＋f′(-1)＝0，故③可以成立；对于④，因f(1)>0，f′(1)>0，不满足f′(1)＋f(1)＝0，故不能成立，故
①②③成立.
17. .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，求m的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）求出函数的导数，通过m的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间．
（2）利用函数的单调性，判断函数的极值，转化对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有f（x1）﹣f（x2）≤e﹣1，得到不等式组，即可求解m的范围．
【解答】（本题满分12分）
解：（1）函数f（x）=e mx+x2﹣mx，可得f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的要条件是，
即，①
令g（x）=e x﹣x，则g（x）=e x﹣1，g（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0单调递减，不妨设g（x0）=e﹣1，因为，所以x0∈（﹣2，﹣1），
所以，综上，m的取值范围为[﹣1，1]．
【点评】本题考查导数与函数的单调性的判断单调区间的求法，考查分析问题解决问题的能力、转化思想以及分类讨论思想的应用．
19. （2017?衡阳一模）已知函数f（x）=|x﹣1|+a|x+2|．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）当a＜﹣1时，若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积等于6，求a的值．参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x解集，取并集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，画出函数图象，求出三角形顶点的坐标，
表示出三角形面积，得到关于a的方程，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）≥5化为：|x﹣1|+|x+2|≥5①，
当x≤﹣2时，①式化为﹣2x﹣6≥0，解得：x≤﹣3；
当﹣2＜x＜1时，①式化为3＞5，不成立；
当x≥1时，①式化为2x+1≥5，解得x≥2
综上，f（x）≥5的解集是{x|x≤﹣3或x≥2}；
（Ⅱ）当x≤﹣2时，f（x）=﹣（a+1）x﹣2a+1；
当﹣2＜x＜1时，f（x）=（a﹣1）x+2a+1；
当x≥1时，f（x）=（a+1）x+2a﹣1，
综上，f（x）=；
画出函数f（x）的图象如图所示；
则f（x）与x轴围成的△ABC三个顶点分别为：
A（﹣2，3），B（﹣，0），C（，0）
由题设可得：S=（﹣）?3=6，
化简得2a2+3a﹣2=0，
解得a=﹣2或a=（不合题意，舍去）；
故a的值是﹣2．
【点评】本题考查了绝对值不等式问题，也考查分类讨论思想与数形结合的应用问题，是综合性题目．
20. 已知集合
（1）求集合和；（2）求。

参考答案：
解：（1）
，……………………………2分。

……………………………4分
（2）
, ……………………………6分。

……………………………8分
略
21. 学校某文具商店经营某种文具，商店每销售一件该文具可获利3元，若供大于求则削价处理，每处理一件文具亏损1元；若供不应求，则可以从外部调剂供应，此时每件文具仅获利2元．为了了解市场需求的情况，经销商统计了去年一年（52周）的销售情况．
（1）要使进货量不超过市场需求量的概率大于0.5，问进货量的最大值是多少？
（2）如果今年的周进货量为14，平均来说今年每周的利润是多少？
参考答案：
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1）若进货量定为13件，“进货量不超过市场需求量”的概率为：，若进货量为
14件，则“进货量不超过市场需求量”的概率为：，由此能过河卒子同要使进货量不超过市场需求量的概率大于0.5，问进货量的最大值．
（2）若进货量定为14件，设“平均来说今年每周的利润”为Y，分别求出售出10、11、12、13、14、15、16件的利润，由此能求出今年的每周进货量定为14，平均来说今年每周的利润．
【解答】解：（1）若进货量定为13件，则“进货量不超过市场需求量”是指“销售量不小于13件”，
相应有13+13+8+4=38（周），“进货量不超过市场需求量”的概率为：，
同理，若进货量为14件，则“进货量不超过市场需求量”的概率为：，
∴要使进货量不超过市场需求量的概率大于0.5，问进货量的最大值是13．
（2）若进货量定为14件，设“平均来说今年每周的利润”为Y，
若售出10件，则利润y=10×3+4×（﹣1）=26，
售出11件，则利润y=11×3+3×（﹣1）=30，
售出12件，则利润y=12×3+2×（﹣1）=34，
售出13件，则利润y=13×3+1×（﹣1）=38，
售出14件，则利润y=14×3=42，
售出15件，则利润y=14×3+1×2=44，
售出16件，则利润y=14×3+2×2=46，
则Y==，
∴今年的每周进货量定为14，平均来说今年每周的利润是38.8元．
22. (17) (本小题满分13分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.
(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. 参考答案：。