湘教版高中数学选修4-6：初等数论初步-《孙子算经》的韩信点兵

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韩信点兵又称为中国剩余定理

簡介：韓信點兵又稱為中國剩餘定理，乃由於相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列餘1人、5人一列餘2人、7人一列餘4人、13人一列餘6人……。

劉邦茫然而不知其數。

韓信點兵是一個很有趣的猜數遊戲，隨便抓一把蠶豆粒，假若3個一數餘1粒，5個一數餘2粒，7個一數餘2粒，那麼所抓的蠶豆有多少粒?這類題目看起來是很難計算的，可是中國古時卻流傳著一種算法，它的名稱也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔牆算」；楊輝叫它「剪管術」；而比較通行的名稱是「韓信點兵」。

最初記述這類算法的是一本名叫「孫子算經」的書，後來在宋朝經過數學家秦九韶的推廣，又發現了一種算法，叫做「大衍求一術」，流傳到西洋以後，外國化稱它是「中國剩餘定理」，在數學史上是極有名的問題。

至於它的算法，在「孫子算經」上就已經有了說明：“凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五”，而且還流傳著這麼一首歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。

這就是韓信點兵的計算方法，《孫子算經》中給出了其中關鍵的步驟是：但在《孫子算經》中並沒有說明求乘數的方法，直到1247年宋代數學家秦九韶在《數書九章》中才給出具體求法：70是5與7最小公倍的2倍，21、15分別是3與7、3與5最小公倍數的1倍。

秦九韶稱這2、1、1的倍數為“乘率”，求出乘率，就可知乘數，意思是說：凡是用3個一數剩下的餘數，將它用70去乘（因為70是5與7的倍數，而又是以3去除餘1的），5個一數剩下的餘數，將它用21去乘（因為21是 3與 7的倍數，又是以5去除餘1的），7個一數剩下的餘數，將它用15去乘（因為15是3與5的倍數，又是以 7去除餘 1的），最後將70、5、15這些數加起來，若超過105，就再減掉105，所得的數便是原來的數了。

根據這個道理，你就可以很容易地把前面一個題目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37。

高中数学选修4-6：初等数论初步

高中数学选修4-6：初等数论初步数论是古老而又基础的数学，至今仍有许多没有解决的问题，一些问题的解决对现代数学的发展起了重要的推动作用，也产生了一些直接与数学有关的新的重要的数学分支，而且在现代信息技术中有很重要的应用。

在日常生活中，也常常会遇到数论的一些问题。

本专题学生将通过具体的问题学习有关整数和整除的知识，探索用辗转相除法求解简单的一次不定方程、简单同余方程、同余方程组等，从中体会思想方法，了解我国古代数学的一些重要成就。

一、内容与要求1．通过实例（如星期），认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类的运算性质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。

体会剩余类运算与传统的数的运算的异同（会出现零因子）。

2．理解整除、因数和素数的概念，因数和素数的概念，了解确定素数的方法了解确定素数的方法了解确定素数的方法（筛（筛法），知道素数有无穷多。

3．了解十进制表示的整数的整除判别法，探索整数能被3，9，11，7等整除的判别法。

会检查整数加法，乘法运算错误的一种方法。

4．通过实例探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，理解互素的概念，并能用辗转相除法证明：若a 能整除bc ，且a ，b 互素，则a 能整除c 。

探索公因数和公倍数的性质。

了解算术基本定理。

5．通过实例理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解一次不定方程。

并尝试写出算法程序框图，在条件允许的情况下，可上机实现。

6．通过实例（如：韩信点兵），理解一次同余方程组模型。

7．理解大衍求一术和孙子定理的证明。

8．理解费尔马小定理（当m是素数时，am-1≡1(mod m)）和欧拉定理（aφ(m) ≡1(mod m),其中φ(m)是1,2,…,m-1与m互质的数的个数）及其证明。

9．了解数论在密码中的应用--公开密钥。

10．完成一个学习总结报告。

报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。

对本专题整体结构和内容的理解，对正整数基本性质及其研究方法的认识。

趣味数学教案—韩信点兵

韩信点兵教学目标：一、让学生在故事中学会带余除法的算法，掌握剩余定理。

二、帮助学生开拓逻辑思维，提前掌握用未知数列方程。

三、在学习中玩，在玩中学习，让学生体验到学习的快乐。

教学重点：剩余定理，带余除法教学难点：多方程解未知数课前准备：教学PPT教学步骤：一、韩信点兵汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。

现在，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来一定不费吹灰之力的。

”韩信满不在乎地说：“可以可以。

”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。

”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。

”“刘邦又传令：“每五人站成一排。

”小队长报告：“最后一排只有三人。

”刘邦再传令：“每七人站成一排。

”小队长报告：“最后一排只有二人。

”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。

”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。

”一面则佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法.二、唐僧师徒摘桃子一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。

不长时间，徒弟三人摘完桃子高高兴兴回来。

师父唐僧问：你们每人各摘回多少个桃子？八戒憨笑着说：师父，我来考考你。

我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到100个，如果3个3个地数，数到最后还剩1个。

你算算，我们每人摘了多少个？沙僧神秘地说：师父，我也来考考你。

我筐里的桃子，如果4个4个地数，数到最后还剩1个。

你算算，我们每人摘了多少个？悟空笑眯眯地说：师父，我也来考考你。

【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法

【2017年整理】韩信点兵问题的初等解法“韩信点兵”问题的初等解法研究王晓东河北省卢龙县燕河营镇中学 066407韩信，是我国汉代刘邦手下的一员能征善战，智勇双全的大将。

历史上流传着一个关于他运用奇特方法点兵的传说。

有一天，韩信来到操练场，检阅士兵操练。

他问部将，今天有多少士兵操练，部将回答:“大约两千三百人。

”韩信走上点兵台，他先命全体士兵排成7路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人;他又命全体士兵排成5路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩3人;最后，他又让全体士兵排成3路纵队，问最后一排剩几人，部将说，剩2人。

韩信告诉部将，今天参加操练的士兵有2333人。

从现代数学的观点来看，解决韩信点兵问题，可以这样思考:设操练士兵的总数为M，则M=3x+2=5y+3=7z+2其中，x，y，z分别表示排成3路纵队，5路纵队，7路纵队的纵队数目。

求出了x，y，z以后，M也求求出来了。

而求x，y，z可以看成求方程组3x+2=5y+33x+2=7z+2的正整数解。

在上面的方程组中，未知数的个数多于方程的个数，则把这种方程(组)叫做不定方程(组)。

不定方程(组)的解是不确定的，一般不定方程总有无穷多个组解，但若加上整数(或正整数)解的特定限制，则不定方程(组)的解有三种可能:有无限组解，有限组解，或无解。

我国古代人民对于不定方程(组)这类问题解法的探讨有着悠久的历史，在中国古代的《孙子算经》中曾作为一个典型问题进行论述。

其中的一个经典例题是:今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物有几何,答曰:二十三。

术曰:三三数之剩二，则置一百四十;五五数之剩三，则置六十三;七七数之剩二，则置三十;并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。

凡三三数之剩一，则置七十;五五数之剩一，则置二十一;七七数之剩一，则置十五。

一百(零)六以上，以一百(零)五减之，即得。

在中国民间还广为流传着一个口诀:三人同行七十稀，五树梅花二十一。

2.互素的整数-湘教版选修4-6初等数论初步教案

2.互素的整数-湘教版选修4-6初等数论初步教案
教学目标
1.掌握互素的概念和判定方法。

2.掌握互素的性质及其在数论问题中的应用。

教学内容
1.互素的概念
2.互素的判定方法
3.互素的性质
4.应用实例
教学步骤
Step 1：导入
1.通过列举一些例子，引导学生理解两个数的最大公约数和最小公倍数。

2.定义互素的概念：两个数的最大公约数为1，称这两个数是互素的。

Step 2：探究
1.引导学生尝试证明两个数互素的判定方法：如果两个数的质因数完全不相同，则这两个数互素。

2.指导学生进行练习，加深对互素判定方法的理解。

Step 3：总结
1.总结互素的性质：互素的整数乘积也是互素的，互素的整数的任意次幂也是互素的。

2.引导学生思考互素性质的证明和应用。

Step 4：拓展
1.引导学生探究欧几里得算法并应用于求最大公约数。

2.引导学生学习扩展欧几里得算法，并了解其在解决数论问题中的应用。

教学评价
1.可以通过课堂练习和作业来评价学生对互素知识点的掌握程度。

2.通过小组讨论等形式，直接了解学生对互素应用问题的掌握和理解。

教学反思
1.注重范例的引入，同时灵活掌握互素判定方法的引导方式。

2.让学生在实际应用中更好地感受到互素的应用价值和意义。

1.奇数与偶数-湘教版选修4-6初等数论初步教案

奇数与偶数-湘教版选修4-6初等数论初步教案一、教学目标通过本课的学习，学生应能够掌握以下几个方面：1.理解奇数和偶数的概念，能够判断一个数是奇数还是偶数。

2.掌握奇数和偶数的性质，了解其特点。

3.能够解决关于奇数和偶数的基本问题。

二、教学重点1.奇数和偶数的概念及判断方法。

2.奇数和偶数的性质。

三、教学难点1.证明奇数加偶数为奇数，奇数加奇数为偶数的性质。

2.解决奇数和偶数的综合问题。

四、教学方法1.归纳法：通过举例子，让学生自己总结出奇数和偶数的概念和性质。

2.分组合作：让学生在小组内讨论并解决问题，加强合作意识和团队合作精神。

3.图示法：通过图示的方式让学生更好地理解奇数和偶数的性质。

五、教学内容1. 奇数和偶数的概念及判断方法1.奇数：只能被1和本身整除的数，如1、3、5、7等。

2.偶数：能够被2整除的数，如2、4、6、8等。

判断一个数是奇数还是偶数的方法：1.如果这个数能够被2整除，那么它就是偶数。

2.如果这个数不能被2整除，那么它就是奇数。

2. 奇数和偶数的性质1.任何一个整数都可以表示为奇数加偶数的形式。

–证明：对于任何一个整数n，都可以表示为n=2k或n=2k+1的形式，其中k为整数。

–当n=2k时，n=2k+0，即n是偶数加偶数的形式。

–当n=2k+1时，n=2k+1+0，即n是奇数加偶数的形式。

2.奇数加偶数为奇数，奇数加奇数为偶数。

–证明：设a和b分别为奇数和偶数，那么a可以表示为2m+1的形式，b可以表示为2n的形式，其中m和n均为整数。

–那么a+b=2m+1+2n=2(m+n)+1，即a+b为奇数。

–设c和d分别为奇数，那么c可以表示为2p+1的形式，d可以表示为2q+1的形式，其中p和q均为整数。

–那么c+d=2p+1+2q+1=2(p+q+1)，即c+d为偶数。

3. 综合应用1.若a为奇数，b为偶数，c为奇数，d为偶数，那么a+b+c+d是奇数还是偶数？–解：a+b为奇数，c+d为偶数，奇数加偶数为奇数，因此a+b+c+d为奇数。

湘教版高中数学选修4-6初等数论初步：《孙子算经》的韩信点兵

（a,b,c是任意大于1的自然数） ③ 求“用2，3，4，5，6，7，8，9除都余1”的数。 ④ 求“用5，7，9，11 除都余2”的数。
数”
2．《孙子算经》中“有物不知其问题的解答
问题：今有物不知其数，三三数之剩2，五五数之剩3，七七数之剩2，问物几何？
1）筛法.
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…（用3除余2） 8，23，… （用5除余3） 23，… （用7除余2）
5， 11， 17， 23， …
（用3除余2）
上述筛选过程的第一步，得到: 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…
其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数列实际上是用带余除法的式子得到的。
对整个问题寻找规律
问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？
x 1 k [2,3,4,5,6,7,8,9] k 2520,k 1,2,3,
即 x 2520k 1,k 1,2,3,
这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中第一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的
个数”总是正整数。
[思]： ① 求“用2除余1，3除余2，… 用m除余 m－ 1”的数。 ② 求“用a除余a －1，用b除余b－1，用c除余c－1” 的数。
学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的数学能力。
寻找规律的思想ห้องสมุดไป่ตู้
把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃： ——找到规律了。
筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。

湘教版高中数学选修4-6初等数论初步：质因数分解应用举例

角边长为5，求另外两条边长。
解：设另外一条直角边为x，斜边为y，则 52+x2=y2。
将方程变形为y2-x2=25。左边因式分解得（y+x）（y-x）=25
x，y都是正整数并且x＜y。因而y+x，y-x也都是正整数并且y+x＞y-x。大小不等两个正整数的乘积等于25，只能是25×1=25。
因而
y x 25,

y

x

1.
解得
x 12,

y

13.
于是直角三角形的三条边为5，12，13。经过检验确实有52+122=132，可见所求的答案正确。如果直角三角形的三条边x，y，z都是正整数，也就是说正整数x，y，z满足条件x2+y2=z2，则x，y， z称为勾股数。
质因数分解应用举例
质因数分解任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数。分解质因数只针对合数。
例1 求120的不同的正因数的个数。解：120=23×3×5。正因数的个数为（3+1）
（1+1）（1+1）=16
例2 直角三角形的三边长都是整数，其中一条直
1.求两个整数，使它们的和等于积
2.求方程的整数解：x2 x 12 4 y2 1
3.求112的正因数的个数。
4.n=p1，p2…pk，其中n=p1，p2，…，pk，是不同的素数。当n=1，2，3时候，分别求出n的所有正因数之和。你发现了什么规律？能推广到一般的正整数n吗？

上述方式给出了由x求y，z使x，y，z是勾股数的方法。
一般地，设正整数m＞n，容易验证2mn，m2n2，m2+n2满足条件

湘教版高中数学选修4-6初等数论初步：同余类算术

每一个整数a属于唯一一个同余类，记为 a ，也为了识别 a 是上述同余类的哪个，将a除以n求得余数r，则a r 。
因此集合Zn上可以按照课本的描述来定义。
例2 在Zn中计算：
11 4;
2 2 3;
3 2 3;

4
2
4
.
解： 11 4 1 4 5 0.
1+1=0表示“奇数+奇数=偶数”那就不奇怪了。
例1 序列a1，a2，…，an，…，的元素仅有0和1组
成，并且按照上面的规则（包括1+1=0在内）的计算，假如序列满足递推关系式：
an+2=an+1+an 及初始条件a1=a2=1。
（1）试着写出序列的前10项；（2）求出第100项a100。
解：（1） a3 a2 a1 11 0, a4 a3 a2 0 1 1,
a5 a4 a3 1 0 1,
照此计算下去，可以得到序列的前10项为： 1，1，0，1，1 ，0 ，1，1，0，1。
（2）观察出序列具有周期性，周期为3，每个周期为1，1，0。
100除以3的余数是1，因此a100是某个周期的第一项，a100=1。
以上我们用0代表全体偶数集合，1代照除以2的余数将全体整数分成两类，每一类称为模式2的一个同余类。我们将其中0所在的
同余类算术
在前面我们得到了关于奇数和偶数的运算的如下性质：
偶数+偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，奇数+奇数=偶数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数。用0代表偶数，1代表奇数，就成为如下：
0+0=0，0+1=1，1+1=0， 0×0=0，1×0=0，1×1=1。

湘教版高中数学选修4-6初等数论初步：中国剩余定理

70×2＋21×3＋15×2＝233 233－105×2＝23
一些关于中国剩余定理的定理：
定理1：几个数相加，如果只有一个加数，不能被数a整除，而其他加数均能被数a整除，那么它们的和，就不能被数a整除。
如：10能被5整除，15能被5整除，但7不能被5整除，所以（10+15+7）不能被5整除。
其实，这就是享誉中外的《中国剩余定理》。
一、剩余问题在整数除法里，一个数同时除以几
个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，从而要求出适合条件的这个被除数的问题，叫做剩余问题。
古代人的解法：
凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一则置十五；一百六以上，以一百零五减之即得。依定理译成算式解为：
பைடு நூலகம்
现在人的解法：
用各除数的“基础数”法解。
基础数的条件：
（1）此数必须符合除数自身的余数条件；
（2）此数必须是其他所有各除数的公倍数。
第一步：求各除数的最小公倍数
［3，5，7］＝105
第二步：求各除数的基础数
（1）［3］ 105÷3＝35 ［35］÷3＝11……2 （2）［5］ 105 ÷ 5＝21 21÷5＝4……1（当于3） ∵1×3＝3 21×3＝［63］（3）［7] 105 ÷ 7＝15 15 ÷ 7＝2……1（当于2） ∵1×2＝2 ∴15×2＝［30］
一些关于中国剩余定理的定理：
定理2：二数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。如：22÷7＝3……1
（22×4）÷7＝12……1×4（＝4）（要余2即 22×2÷7＝6……2）（22×9）÷7＝28……1×9-7（＝2）（想余5则22×5÷7＝15……5）

韩信点兵古代的数学文化讲解

韩信点兵古代的数学文化讲解
韩信点兵古代的数学文化讲解
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少?
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的.积)，然後再加3，得9948(人)。

中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何?」
答曰：「二十三」
术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。

凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。

」
孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

趣味数学教案韩信点兵

趣味数学教案-韩信点兵一、教学目标：1. 让学生了解并掌握“韩信点兵”的基本方法和原理。

2. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 激发学生对数学的兴趣，提高学生的学习积极性。

二、教学内容：1. 韩信点兵的背景故事介绍。

2. 韩信点兵的方法和步骤讲解。

3. 韩信点兵的应用练习。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：韩信点兵的方法和步骤。

2. 教学难点：如何灵活运用韩信点兵解决实际问题。

四、教学准备：1. 准备相关背景故事资料。

2. 准备韩信点兵的练习题。

五、教学过程：1. 导入：讲述韩信点兵的背景故事，引发学生兴趣。

2. 新课讲解：讲解韩信点兵的方法和步骤，让学生理解和掌握。

3. 练习环节：让学生运用韩信点兵的方法解决实际问题，巩固所学知识。

六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究韩信点兵的解题方法。

2. 通过小组合作、讨论交流的方式，提高学生的合作能力和沟通能力。

3. 利用信息技术辅助教学，展示韩信点兵的动画演示，增强学生的直观感受。

七、教学评价：1. 课堂练习：观察学生在练习中的表现，评估学生对韩信点兵方法的掌握程度。

2. 学生互评：鼓励学生之间相互评价，提高学生的自我认知和反思能力。

3. 课后反馈：收集学生的课后反馈，了解学生在课堂外的应用情况。

八、教学延伸：1. 组织学生进行数学竞赛，运用韩信点兵的方法解决竞赛题目。

2. 邀请家长参与亲子活动，共同探讨韩信点兵在生活中的应用。

3. 鼓励学生进行数学研究，深入挖掘韩信点兵的原理和拓展应用。

九、教学反思：在教学过程中，及时反思教学方法的有效性，根据学生的反馈调整教学策略。

关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在课堂上得到有效的提升。

十、教学计划：1. 课时安排：本课题计划安排4课时完成。

3. 课后作业：布置相关练习题，巩固学生对韩信点兵方法的掌握。

重点和难点解析一、教学目标：在制定教学目标时，需关注如何将韩信点兵的原理与实际应用相结合，以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

4.素数-湘教版选修4-6初等数论初步教案

4. 素数-湘教版选修4-6初等数论初步教案目的本节课旨在让学生了解素数的概念及其特性，在此基础上，让学生理解素数的应用，例如质因数分解和RSA加密等。

教学重点1.素数的定义及性质2.质因数分解3.RSA加密算法教学难点RSA加密算法的原理和实现过程。

教学过程Part 1 素数的定义及性质1.1 定义提示：在讲述素数的定义之前，老师可以让学生回顾一下因数和质数的相关知识。

1.素数的定义：一个大于1的自然数，如果它除了1和自身之外，没有其他的因数，那么这个数就是素数（或质数）。

提示：此处可以出示一些例子，让学生对素数有更深的印象。

2.性质：•素数大于1•素数不能被其他数整除，除了1和它本身•每个非1正整数都可以唯一地分解为素数的乘积1.2 欧几里得筛法提示：欧几里得筛法是一种求解素数的方法，可以让学生了解一下。

1.欧几里得筛法是一种最古老的求解素数的方法，起源于公元前3世纪的希腊。

2.假设要筛选2的倍数，那么首先从2开始吧2的倍数全部标记出来，即4、6、8、10、12、…都不是素数，然后再从3开始，把3的倍数都标记出来，即9、15、21、…，以此类推，直到筛选出所需素数为止。

Part 2 质因数分解2.1 定义1.质因数分解：一个非1正整数可以被写成若干个素数相乘的形式，那么这个分解式就是这个数的质因数分解式。

提示：此处可以出示一些例子，让学生了解质因数分解的计算方法。

2.2 应用1.计算最大公约数和最小公倍数2.计算幂次方Part 3 RSA加密算法3.1 原理1.RSA加密算法是一种非对称加密算法，是三位创始人 Rivest、Shamir 和Adleman 姓氏的缩写。

2.RSA加密算法的基本原理是利用一个大的随机数作为私钥，公开其它信息作为公钥，通过对数据进行加密和解密来实现信息的保密性和完整性。

将明文经过一定的转换后加密，得到密文，将密文在接收端进行一些运算，得到明文。

提示：此处可以放一些例子，让学生了解RSA加密算法的应用场景。

高中数学新湘教版精品教案《3.2 中国剩余定理》

《中国剩余定理》教学设计3.2 中国剩余定理课时2 新授课一、教材分析：本课选自湘教版高中数学选修4-6《初等数论初步》第三章第二节，以“韩信点兵”的故事为主题，介绍四种解题方法，分别为：公倍数法、列举筛选法、逐级满足法、单因子构件凑成法（又称“孙子——华方法”），本节课以学生为主，教师为辅，广泛应用教学助手软件，互动课堂软件，移动课堂功能，打破传统课堂，通过学生小组互相讨论，继而解决问题，实现真正意义上的学生讲，教师引导，从而达到培养学生独立思考问题、分析问题的能力。

二、学情分析：本课的授课对象为高二理科生，对数学的理解能力稍强，认识问题比较深刻，并且抽象逻辑思维能力也很强，那么教师的任务就是将抽象的知识渗透到具体的实际生活中，激发学生的学习兴趣，让学生在做中学，在学中做。

但是，由于每名同学对于问题的认知能力不同，所以我主要采用了分层教学、小组讨论的教学方法，协作交流，最后引导学生分析和总结，提高解决问题的能力。

三、教学设计理念、策略：由于本节课的核心教学目标是掌握“中国剩余定理”的相关知识，突出思维的训练，因而采取讲授为辅，探究为主的教学模式。

在授课前，通过经典问题“鸡兔同笼”问题的引入，使学生由熟悉转为新的认知，再由金庸著名武侠著作《射雕英雄传》瑛姑给黄蓉治病时出的问题，引出本节课的重点——“物不知数”，将学生的注意力集中到课堂上来。

在授课过程中，自主探究与小组协作相结合，适当开展谈论学习模式，发散学生思维，实现重难点的突破。

四、教学目标:1.知识与技能：理解“韩信点兵”问题的解题思路，了解“中国剩余定理”的内容，学会用公倍数法、列举筛选法、逐级满足法、单因子构件凑成法解决问题并应用。

2.过程与方法：（1）通过课前让学生了解“韩信点兵”的故事，激发学生浓厚的学习兴趣，让学生了解同一问题的不同解法；（2）通过自主探究和小组协作，让学生分析问题并了解解题的一般过程，进而提高学生的自学能力与协作意识；（3）通过对比研究，让学生深入掌握“中国剩余定理”并学会应用，从而培养学生的创新思维能力。

3.2中国剩余定理

今有物不知其数，三三数之剩a，五五数之剩b，七七数之剩c，问物几何？
s 70a 21b 15c 105k(k Z)
中国剩余定理
中国剩余定理
该定理用现在的语言表达如下：
设 d1, d2 , , dn 两两互素，设x分别被 d1, d2 , , dn 除所得的余数为 r1, r2 , , rn ，则x可表示为下式
如果，韩信点兵时，士兵3人一行排队，最后一行剩2人；士兵5人一行排队，最后一行剩3人；士兵7人一行排队，最后一行剩2人，你能算出剩余士兵的人数吗？
“物不知数”：今有物不知其数,三三数之剩二, 五五数之剩三,七七数之剩二．问,物几何? ——《孙子算经》
x 3n1 2 x 5n2 3 x 7n3 2
宋朝数学家秦九韶在《数书九章》卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题做出完整解答，明朝数学家程大位将解法编成易于上口的歌谣：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五使得知。 270 3 21 215105k 233105k(k Z)
这种方法的最大优点是，可以任意改变余数，推广：
湘教版选修4-6初等数论初步第三章中国剩余定理
今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二．问,物几何? ——《孙子算经》
3.2 中国剩余定理
பைடு நூலகம்
韩信点兵
如果，韩信点兵时，士兵3人一行排队，最后一行剩2人；士兵5人一行排队，最后一行剩4人；士兵7人一行排队，最后一行剩6人，你能算出剩余士兵的人数吗？
x k1 r1 k2 r2 kn rn kD 其中D是 d1, d2, , dn的最小公倍数；ki 是

3.《孙子算经》和韩信点兵-湘教版选修4-6初等数论初步教案

3.《孙子算经》和韩信点兵-湘教版选修4-6初等数论初步教案一、教学目标1.了解中国古代数学经典《孙子算经》中的一些数学问题及其解法；2.了解韩信点兵问题及其解法，掌握初等数论中的一些基本要素；3.培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 《孙子算经》1.矛盾式求解：给出“五家渠分田”的问题，通过矛盾式求解进行解题，并扩展到“七家渠分田”的问题；2.平分积木问题：给出“上下砖头”的问题，通过“完全平方数”的解法进行解题，并扩展到“多地砖”的问题；3.分配问题：给出“金银五十两”的问题，通过“尽量均等”的分配策略进行解题。

2. 韩信点兵1.问题描述：给出韩信带兵打仗的问题，解决韩信点兵的具体方案和人数；2.奇偶性分析：进一步讨论了韩信点兵问题的奇偶性，并通过“剩余定理”的方法进行求解；3.排列组合问题：把韩信点兵问题转化为排列组合问题，通过排列组合求解的方法进行解题。

三、教学方法本课通过引导学生发现问题的切入点，采用讲解和互动探讨相结合的教学方法，启发学生思辨和思维的拓展，激发学生的学习兴趣和热情，增强学生的学习体验和成功感。

四、教学步骤1. 《孙子算经》1.矛盾式求解–提出问题，让学生独立思考，并分组展示思路；–汇总每组的思路，进行讨论和总结；–由教师进行讲解和补充。

2.平分积木问题–给出问题和小学生的解法，让学生分析并提问；–讲解“完全平方数”的知识点，并巩固学生的基础；–提出相关问题，让学生自主探究和解决。

3.分配问题–提出问题，让学生自主探究并进行总结；–讲解“贪心算法”的概念和应用；–提出相关问题，让学生进行独立思考和解决。

2. 韩信点兵1.问题描述–提出问题，让学生自主思考；–分组讨论并汇总每组的思路；–讲解求解过程和方法。

2.奇偶性分析–提出问题，探究其奇偶性；–讲解“剩余定理”的概念和方法；–提出相关问题，让学生进行探究和解决。

3.排列组合问题–把韩信点兵问题转化为排列组合问题；–讲解排列组合知识点，并巩固学生的基础；–提出相关问题，让学生进行探究和解决。

1.奇数与偶数-湘教版选修4-6初等数论初步教案

奇数与偶数-湘教版选修4-6初等数论初步教案一、教学目标1.知道奇数、偶数的定义和性质；2.能够利用奇偶性质对简单问题进行分析和判断；3.了解奇偶性在整数运算中的应用。

二、教学重点1.学生掌握奇偶数的概念和性质；2.能够通过题目分析利用奇偶性质简化计算过程。

三、教学难点1.学生理解奇偶性质的概念和应用；2.学生对具体问题能够运用奇偶性质进行分析和判断。

四、教学内容及安排1. 奇数和偶数的定义•掌握奇数和偶数的定义定义：一个数如果能被2整除，那么它就是偶数；否则，它就是奇数。

数学符号：偶数表示为2n，奇数表示为2n+1。

例子： 2，4，6，8是偶数，1，3，5，7是奇数。

2. 奇偶性质的性质•掌握奇偶数的性质1.偶数加偶数等于偶数，奇数加奇数等于偶数，偶数加奇数等于奇数；2.偶数乘任何整数都是偶数，奇数乘偶数是偶数，奇数乘奇数是奇数；3.正偶数正正得正偶数，正奇数正正得正奇数，偶数正奇得偶数，偶数正正得偶数。

4.偶数可以整除2，不能整除任何奇数；奇数不能整除2，但是能整除奇数。

3. 奇偶性质的应用•学生能够通过题目分析利用奇偶性质简化计算过程例子：1.计算1到100内所有奇数的和。

因为奇数+奇数=偶数，所以1+3+5+…+99等于50个偶数的和，也就是50∗100=5000。

2.计算1到100内所有偶数的和。

因为偶数+偶数=偶数，所以2+4+6+…+100等于50个偶数的和，也就是50∗101=5050。

五、教学方法1.讲解和演示相结合的教学方法；2.引导学生完成课堂练习。

六、教学评价1.学生能否准确地掌握奇偶数的定义和性质；2.学生能否独立完成练习题。

趣味数学教案韩信点兵

趣味数学教案-韩信点兵教学目标：1. 了解“韩信点兵”的背景故事和数学原理。

2. 学习并掌握用中国剩余定理解决同余方程组的方法。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 韩信点兵的背景故事和数学原理。

2. 中国剩余定理的应用。

教学难点：1. 中国剩余定理的理解和应用。

教学准备：1. PPT课件2. 教学视频或故事素材3. 练习题教学过程：一、导入（5分钟）1. 讲述韩信点兵的背景故事，引发学生兴趣。

2. 提问：你们认为韩信为什么能够通过点兵的方法识别出欺诈的士兵？二、探究（10分钟）1. 介绍中国剩余定理的定义和原理。

2. 通过PPT展示详细的解题步骤和例子。

3. 引导学生尝试解决一些简单的同余方程组。

三、练习（10分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。

2. 选几位学生上台展示解题过程，并讲解思路。

四、总结（5分钟）1. 学生总结本节课所学内容和解决问题的关键。

2. 教师进行点评，强调重点和难点。

五、拓展（10分钟）1. 引导学生思考：韩信点兵的方法还可以应用到其他哪些领域？2. 让学生分组讨论，分享各自的思考成果。

3. 教师进行点评和总结。

教学反思：本节课通过讲述韩信点兵的故事，引导学生了解并学习中国剩余定理，通过练习和讨论，让学生掌握同余方程组的解决方法。

在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行点评和指导，确保学生能够理解和掌握所学内容。

要注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提高他们的学习兴趣。

六、应用（10分钟）1. 展示一些实际问题，让学生运用中国剩余定理进行解决。

2. 引导学生思考如何将实际问题转化为同余方程组的形式。

七、练习（10分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。

2. 选几位学生上台展示解题过程，并讲解思路。

八、探索（10分钟）1. 提出一个开放性问题，让学生进行探索和讨论。

2. 引导学生思考如何将韩信点兵的方法应用到其他领域。

九、总结（5分钟）1. 学生总结本节课所学内容和解决问题的关键。

[精彩]韩信点兵算法流程图

韩信点兵算法流程图韩信点兵是一个有趣的猜数游戏。

如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒左右），先3粒3粒地数，直到不满3粒时，把余数记下来；第二次再5粒5粒地数，最后把余数记下来；第三次是7粒一数，把余数记下来。

然后根据每次的余数，就可以知道你原来拿了多少粒蚕豆了。

不信的话，你还可以试验一下。

例如，假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒，那么，原有蚕豆有多少粒呢？这类题目看起来是很难计算的，可是我国古时候却流传着一种算法，名称也很多，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；而比较通行的名称是“韩信点兵”。

最初记述这类算法的是一本名叫《孙子算经》的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。

这在数学史上是极有名的问题，外国人一般把它称为“中国剩余定理”。

至于它的算法，在《孙子算经》上就已经有了说明，而且后来还流传着这么一道歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

这就是韩信点兵的计算方法，它的意思是：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的数）；5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），将这些数加起来，若超过105，就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。

这样，所得的数就是原来的数了。

根据这个道理，你可以很容易地把前面的五个题目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105＝142－105＝37因此，你可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。