湘教版高中数学选修4-6：初等数论初步-《孙子算经》的韩信点兵
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学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的 数学能力。
寻找规律的思想
把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃： ——找到规律了。
筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。
2）公倍数法
① 化繁为简
我们还是先看只有前两个条件的简化题目。
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，… （ 用2除余1）
《孙子算经》的韩信点兵
一、“韩信点兵”的故事和《孙子算经》中的题目 1.“韩信点兵”的故事
韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他 记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排 队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再 让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士 兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走 过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。
5， 11， 17， 23， …
（ 用3除余2）
上述筛选过程的第一步，得到: 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…
其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数列 实际上是用带余除法的式子得到的。
对整个问题寻找规律
问题： 今有物不知其数，二二数之剩1，三三 数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数 之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之 剩8，问物几何？
（a,b,c是任意大于1的自然数） ③ 求“用2，3，4，5，6，7，8，9除 都余1”的数。 ④ 求“用5，7，9，11 除都余2”的数。
数”
2．《孙子算经》中“有物不知其 问题的解答
问题：今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？
1）筛法.
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…（用3除余2） 8，23，… （用5除余3） 23，… （用7除余2）
然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。
这里面有什么秘密呢？ 韩信好像非常重视作除法时的余数
2.《孙子算经》中的题目
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知 数”的
题目： 今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？
这里面又有什么秘密呢？
题目给出的条件，
余数
也仅仅是作除法时的
《孙子算经》
二．问题的解答
1．从另一个问题入手
问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三数 之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5， 七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物 几何？
1）筛法
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
21，23，25，…
（ 用2除余1）
5， 11， 17， 23， … （ 用3除余2）
11， 23，…
（ 用4除余3）
再从中挑“用5除余4”的数，…
个解。
一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。 并且看起来，解，还不是唯一的；可能有无穷多
化繁为简的思想
当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件， 这就是化繁为简。
一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点 和本质，那么简化就“不失一般性”。
12
②寻找Baidu Nhomakorabea律
设问题中，需要求的数是 x ，则 x 被2，
3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都是比除数
少1，于是我们把被除数 x 再加1，
则 x 1 就可被2，3，4，5，6，7，8，9均整
除。也就是说， x 1是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，
从而是其最小公倍数[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。
x 1 k [2,3,4,5,6,7,8,9] k 2520,k 1,2,3,
即 x 2520k 1,k 1,2,3,
这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中 第一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的
个数”总是正整数。
[思]： ① 求“用2除余1，3除余2，… 用m除余 m－ 1”的数。 ② 求“用a除余a －1，用b除余b－1，用c除余c－1” 的数。
由此得到，23是最小的一个解。至于下一个解是什 么，要把“…”写出来才知道；
实践以后发现，是要费一点儿功夫的。
谢谢！
寻找规律的思想
把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃： ——找到规律了。
筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。
2）公倍数法
① 化繁为简
我们还是先看只有前两个条件的简化题目。
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，… （ 用2除余1）
《孙子算经》的韩信点兵
一、“韩信点兵”的故事和《孙子算经》中的题目 1.“韩信点兵”的故事
韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他 记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排 队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再 让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士 兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走 过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。
5， 11， 17， 23， …
（ 用3除余2）
上述筛选过程的第一步，得到: 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…
其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数列 实际上是用带余除法的式子得到的。
对整个问题寻找规律
问题： 今有物不知其数，二二数之剩1，三三 数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数 之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之 剩8，问物几何？
（a,b,c是任意大于1的自然数） ③ 求“用2，3，4，5，6，7，8，9除 都余1”的数。 ④ 求“用5，7，9，11 除都余2”的数。
数”
2．《孙子算经》中“有物不知其 问题的解答
问题：今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？
1）筛法.
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…（用3除余2） 8，23，… （用5除余3） 23，… （用7除余2）
然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。
这里面有什么秘密呢？ 韩信好像非常重视作除法时的余数
2.《孙子算经》中的题目
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知 数”的
题目： 今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？
这里面又有什么秘密呢？
题目给出的条件，
余数
也仅仅是作除法时的
《孙子算经》
二．问题的解答
1．从另一个问题入手
问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三数 之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5， 七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物 几何？
1）筛法
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
21，23，25，…
（ 用2除余1）
5， 11， 17， 23， … （ 用3除余2）
11， 23，…
（ 用4除余3）
再从中挑“用5除余4”的数，…
个解。
一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。 并且看起来，解，还不是唯一的；可能有无穷多
化繁为简的思想
当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件， 这就是化繁为简。
一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点 和本质，那么简化就“不失一般性”。
12
②寻找Baidu Nhomakorabea律
设问题中，需要求的数是 x ，则 x 被2，
3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都是比除数
少1，于是我们把被除数 x 再加1，
则 x 1 就可被2，3，4，5，6，7，8，9均整
除。也就是说， x 1是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，
从而是其最小公倍数[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。
x 1 k [2,3,4,5,6,7,8,9] k 2520,k 1,2,3,
即 x 2520k 1,k 1,2,3,
这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中 第一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的
个数”总是正整数。
[思]： ① 求“用2除余1，3除余2，… 用m除余 m－ 1”的数。 ② 求“用a除余a －1，用b除余b－1，用c除余c－1” 的数。
由此得到，23是最小的一个解。至于下一个解是什 么，要把“…”写出来才知道；
实践以后发现，是要费一点儿功夫的。
谢谢！