吉林省长春市朝阳区高三数学第五次摸底考试试题 文-人教版高三全册数学试题

吉林省长春市朝阳区2017届高三数学第五次摸底考试试题 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只．有一项．．．
是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）． （1）若集合2{|540}{|3}A x x x B x x =∈+->=<N ，，则A B 等于
（A ）(13)-， （B ）{12}， （C ）[03)，
（D ）{012}，， （2）复数2a i
z i
+=
-（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是
（A ）1
(2)2-，
（B ）1
(2)2-， （C ）(2)-∞-，
（D ）1
(+)2
∞， （3）在梯形ABCD 中，3AB DC =，则BC 等于
（A ）12
33
AB AD -+
（B ）24
33
AB AD -+
（C ）
2
3AB AD - （D ）2
3
AB AD -+
（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5261S a ==，
，则公差d 等于 （A ）15 （B ）35 （C ）6
5 （D ）2
（5）函数()f x 的定义域为开区间(a b ，
()f x 在开区间()a b ，内有极小值点
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个
（D ）4个
（6）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一
幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6
π
α=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小
正方形内的概率是 （A
）1-（B
（C
（D （7）考拉兹猜想又名31n +猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；
如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i = （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
（8）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积为
第（7）题
第（8）题
10
8
正视图
侧视图
俯视图
（A ）32 （B
） （C
）（D
）（9）已知x y ，满足约束条件20
626
x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩
≥≤≤，则目标函数44
2y z x +=+的最大值为
（A ）6 （B ）5 （C ）2 （D ）1-
（10）以下四个命题中是假命题的是
（A ）“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理. （B ）“在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a b ∥，b c ∥则a c ∥，将此结论放到空间中也成立” 此推理属于合情推理.
（C ）“a ≤0”是“函数()ln f x ax x =+存在极值”的必要不充分条件.
（D ）若(0]2x π∈，，则2
sin sin x x
+
的最小值为（11）如图，南北方向的公路l ，A 地在公路正东2km 处，B 地在A 东偏北30︒
方向处，
河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路l 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上一处M 建一座码头，向A B ，两地运货物，经测算，从M 到A 、M 到B 修建费用都为a 万元/km ，那么，修建这条公路的总费用最低是（
）万元
（A ）(2a + （B ）1)a （C ）5a （D ）6a
（12）设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ∀∈∃∈，
，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“Ω函数”. 给出下列四个函数：①sin y x =；②2x y =；③1
1
y x =
-；④ln y x =, 则其中“Ω函数”共有 （A ）1个 （B ）2个
（C ）3个
（D ）4个
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，l A
P Q
B
M
第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．
（13）函数sin cos y x x =+的单调递增区间为 ．
（14）已知数列{}n a 为等比数列，且35a a π+=，则4246(2)a a a a ++= ． （15）已知命题:P 对任意的2[12]0x x a ∈-，，≥，命题:Q 存在2220x x ax a ∈++-=R ，，
若命题“P 且Q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 ．
（16）在ABC △中，4
tan 3
C =，0AH BC ⋅=，()0AB CA CB ⋅+=，H 在BC 边上，则过点B
以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为 ．
三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． （17）（本小题满分12分） 在ABC △中，a b c ，
，分别是角A B C ，，的对边，且cos cos 2B b
C a c
=-+. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若4b a c =+=，求ABC △的面积.
（18）（本小题满分12分）
甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
（Ⅰ）请填写下表：
（Ⅱ）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定) ；
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)； ③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
（19）（本小题满分12分）
边长为4的菱形ABCD 中，满足60DCB ∠=︒，点E F ，分别是边CD 和CB 的中点，AC 交
BD 于点H ，AC 交EF 于点O ，沿EF 将CEF △翻折到PEF △的位置,使平面PEF ⊥平面
ABD ,连接PA PB PD ，，得到如图所示的五棱锥P ABFED -.
（Ⅰ）求证：BD PA ⊥；
（Ⅱ）求点D 到平面PBF 的距离.
（20）（本小题满分12分）
设(4)ln ()31
x a x
f x x +=
+，曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与直线10x y ++=垂直.
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[1]()x e f x mx ∈，
，≤恒成立，求m 的取值范围. F O P
A B
C D
E H
（21）（本小题满分12分）
已知12F F ，是椭圆2222+1(0)x y a b a b =>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点(1P -在
椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足2PM F M +=0．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）圆O 是以12F F 为直径的圆，一直线:l y kx m =+与圆O 相切，并与椭圆交于不同的
两点A 、B ，当OA OB λ⋅=，且满足23
34
λ≤≤时，求OAB △的面积S 的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为244x y =+．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数），l 与C 交于A B ，两点，||8AB =，
求l 的斜率．
（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|21||23|f x x x x =-+-∈R ，. （Ⅰ）解不等式()5f x ≤； 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：刘举 张桂敏 审题人：数学组
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只．有一项．．．
是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）． （24）若集合2{|540}{|3}A x x x B x x =∈+->=<N ，，则A B 等于
（A ）(13)-， （B ）{12}， （C ）[03)，
（D ）{012}，， 【答案】（D ） （25）复数2a i
z i
+=
-（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是
（A ）1
(2)2-，
（B ）1
(2)2-， （C ）(2)-∞-，
（D ）1
(+)2
∞， 【答案】（A ）
（26）在梯形ABCD 中，3AB DC =，则BC 等于
（A ）12
33
AB AD -+
（B ）24
33
AB AD -+
2016—2017学年下学期高三年级 第五次摸底考试数学（文）学科答案
“鹰隼三朝展羽翼 蛟龙一跃上九天”
（C ）
2
3AB AD - （D ）2
3
AB AD -+
【答案】（D ）
（27）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5261S a ==，
，则公差d 等于 （A ）15 （B ）35 （C ）6
5 （D ）2
【答案】（A ）
（28）函数()f x 的定义域为开区间()a b ，
，
()f x 在开区间()a b ，内有极小值点
（A ）1个
（B ）2个 （C ）3个
（D ）4个 【答案】（A ）
（29）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了
一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6
π
α=，飞镖落在
小正方形内的概率是 （A ）1-（B
（C （D 【答案】（A ）
x
（30）考拉兹猜想又名31n +猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加
1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i =
（31）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积为
（A ）32 （B ） （C ）（D ）【答案】（C ）
（32）已知x y ，满足约束条件20
626
x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩
≥≤≤，则目标函数44
2y z x +=+的最大值为
（A ）6 （B ）5 （C ）2 （D ）1-
【答案】（B ）
（33）以下四个命题中是假命题的是
（A ）“昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理. 第（7）题 第（8）题
10
8
正视图
侧视图
俯视图
（B ）“在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a b ∥，b c ∥则a c ∥，将此结论放到空间中也成立” 此推理属于合情推理.
（C ）“a ≤0”是“函数()ln f x ax x =+存在极值”的必要不充分条件.
（D ）若(0]2x π∈，，则2
sin sin x x
+
的最小值为【答案】（B ）
（34）如图，南北方向的公路l ，A 地在公路正东2km 处，B 地在A 东偏北30︒
方向处，
河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路l 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上一处M 建一座码头，向A B ，两地运货物，经测算，从M 到A 、M 到B 修建费用都为a 万元/km ，那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元 （A
）(2a + （B
）1)a （C ）5a （D ）6a 【答案】（C ）
（35）设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ∀∈∃∈，
，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“Ω函数”. 给出下列四个函数：①sin y x =；②2x y =；③1
1
y x =
-；④ln y x =, 则其中“Ω函数”共有 （A ）1个
（B ）2个
（C ）3个
（D ）4个
【答案】（C ）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．
（36）函数sin cos y x x =+的单调递增区间为 ． 【答案】3[22]()44
k k k ππππ-
+∈Z ， l
A
P
Q
B
M
（37）已知数列{}n a 为等比数列，且35a a π+=，则4246(2)a a a a ++= ． 【答案】2π
（38）已知命题:P 对任意的2[12]0x x a ∈-，，≥，命题:Q 存在2220x x ax a ∈++-=R ，，
若命题“P 且Q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】“2a -≤或1a =”
（39）在ABC △中，4
tan 3
C =，0AH BC ⋅=，()0AB CA CB ⋅+=，H 在BC 边上，则过点B
以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为 ．
三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． （40）（本小题满分12分） 在ABC △中，a b c ，
，分别是角A B C ，，的对边，且cos cos 2B b
C a c
=-+. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若4b a c =+=，求ABC △的面积. 【解析】（Ⅰ）由
cos cos 2B b C a c =-+cos sin cos 2sin sin B B
C A C
⇒=-+ 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒+=- 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒=--
2sin cos sin()A B B C ⇒=-+2sin cos sin A B A ⇒=-1
cos 2B ⇒=-
又0B π<<，所以23
B π=
. ……6分
（Ⅱ）由余弦定理有2222
22cos ()22cos
3
b a
c ac B a c ac ac π
=+-=+-- ，解得3ac =，
所以1sin 2ABC S ac B ==△
……12分
（41）（本小题满分12分）
甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：
（Ⅰ）请填写下表：
（Ⅱ）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定) ；
②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)；
③从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力)．
【解析】（Ⅰ）由折线图，知
甲射击10次中靶环数分别为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
将它们由小到大重排为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9.
乙射击10次中靶环数分别为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.
也将它们由小到大重排为：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10.
（Ⅰ）x甲170
(56274829)7
1010
=⨯+⨯+⨯+⨯+==（环），
x乙
170
(24672829210)7
1010
=⨯+++⨯+⨯+⨯+==（环） (2)
分
2 S 甲
22222 1
((57)(67)2(77)4(87)2(97)) 10
=⨯-+-⨯+-⨯+-⨯+-
1
(42024) 1.2
10
=⨯++++=
2 S 乙
2222222 1
((27)(47)(67)(77)2(87)2(97)2(107)) 10
=⨯-+-+-+-⨯+-⨯+-⨯+-
1
(25910289) 5.4
10
=⨯++++++= (6)
分
根据以上的分析与计算填表如下：
……8分
（Ⅱ）①∵平均数相同，2S 甲<2
S 乙，∴甲成绩比乙稳定． (9)
分
②∵平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些．……10分 ③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力． ……12分
（42）（本小题满分12分）
边长为4的菱形ABCD 中，满足60DCB ∠=︒，点E F ，分别是边CD 和CB 的中点，AC 交
BD 于点H ，AC 交EF 于点O ，沿EF 将CEF △翻折到PEF △的位置,使平面PEF ⊥平面
ABD ,连接PA PB PD ，，得到如图所示的五棱锥P
ABFED -. （Ⅰ）求证：BD PA ⊥；
（Ⅱ）求点D 到平面PBF 的距离.
【解析】（Ⅰ）证明：因为平面PEF ⊥平面ABD , 平面PEF
平面ABD 平面EF PO =⊂，平面PEF ，所以PO ⊥平面ABD
……2分
则PO BD ⊥,又AO BD AO PO O ⊥=，，AO ⊂平面APO ，PO ⊂平面APO ，
所以BD ⊥平面APO ， ……4分
所以BD PA ⊥.
……6分
（Ⅱ）解：由题知：BCD △为边长为4的等边三角形，所以PO =CH =122OF BF OB PB PF =====，，
……8分
所以PBF △中，44101cos sin 2224PFB PFB +-∠=
=-∠⨯⨯，所以1222PFB S =⨯⨯=
△ ……10分
因为D PBF P DBF V V --= F O
P
A B
C
D
E H
设点D 到平面PBF 的距离d
，则1114332d =⨯⨯
，所以d ……12分
（43）（本小题满分12分）
设(4)ln ()31
x a x
f x x +=
+，曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与直线10x y ++=垂直.
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[1]()x e f x mx ∈，
，≤恒成立，求m 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）2
4(
4ln )(31)3(4)ln ()(31)
x a
x x x a x x f x x +++-+'=+，
(1)1f '=，解得0a =
……6分
（Ⅱ）对于任意的[1]()x e f x mx ∈，
，≤，即4ln 31
x x
mx x +≤恒成立，
即
4ln 31
x
m x +≤恒成立 ……8分
设4ln ()31x
g x x =+， 24
12(1ln )'()(31)
x x g x x -+=
+， ……10分
因为[1]x e ∈，
，所以'()0g x >，()g x 在[1]e ，单调递增，
所以()g x 最大值为4()31g e e =
+，所以431
m e +≥ ……12分
（44）（本小题满分12分）
已知12F F ，是椭圆2222+1(0)x y a b a b =>>的左、右焦点，O
为坐标原点，点(1P -在
椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足2PM F M +=0．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）圆O 是以12F F 为直径的圆，一直线:l y kx m =+与圆O 相切，并与椭圆交于不同的
两点A 、B ，当OA OB λ⋅=，且满足23
34
λ≤≤时，求OAB △的面积S 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）因为2PM F M +=0，所以M 是线段2PF 的中点，所以OM 是12PF F △的中位线，又12OM F F ⊥，所以112PF F F ⊥,所以1c =又因为222221
11
2a b a b c ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
， 解得2
2
2
211a b c ===，
，，所以椭圆的标准方程为2
212
x y +=. ……4分
（Ⅱ）因为直线:l y kx m =+与圆O 相切，所以
2
||11m k
=+，即221m k =+
……5分
联立22
12x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得222(12)4220k x kmx m +++-=.
设1122()()A x y B x y ，，，
因为直线与椭圆交于不同的两点A 、B ，
所以2121222422
01212km m x x x x k k -∆>+=-⋅=++，，，
……6分
22
12122
2()()12m k y y kx m kx m k -⋅=+⋅+=+，
212122112k OA OB x x y y k λ+⋅=⋅+⋅==+，又因为2334λ≤≤，所以222133124
k k ++≤≤……8分 解得2
112k ≤≤.
422124211
2()
||11||22
4()1
k k S AB k x x k k +=⋅⋅=⋅+-=
++，
……10分
设4
2
u k k =+，则322214414u u S u u
==
++
≤≤，单调递增， 所以3()(2)4S S S ≤≤，即62
3
S ≤≤
……12分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （45）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为244x y =+．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数），l 与C 交于A B ，两点，||8AB =，
求l 的斜率． 【解析】（Ⅰ）由cos sin x y ρθρθ==，可得， 抛物线C 的极坐标方程22cos 4sin 40ρθρθ--=；
……5分
（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，
设A B ，所对应的极径分别为12ρρ，，将的极坐标方程代入C 的极坐标方程得
22cos 4sin 40ραρα--=,
∵2cos 0α≠（否则，直线l 与C 没有两个公共点） 于是12122
24sin 4
cos cos αρρρραα
-+=
⋅=，，
12||||8AB ρρ=-=，解得2
1cos tan 12αα==±，
所以l 的斜率为1或1-．
……10分
（46）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|21||23|f x x x x =-+-∈R ，. （Ⅰ）解不等式()5f x ≤；
的定义域为R ，求实数m 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）原不等式等价于1445213()252234452x x f x x x x ⎧
-<⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪
->⎪⎩
≤，≤，≤≤≤，,
因此不等式的解集为19
[]44x ∈-，. ……5分
（Ⅱ）由于()()1
g x f x m =+的定义域为R ,则()0f x m +=在R 上无解.
又()|21||23||2123|2f x x x x x =-+---+=≥,即()f x 的最小值为2, 所以2m -<，即2m >-.。