自主招生数学复习之向量

向量
一、向量的运算
1.加法，减法，数乘（……）
2.数量积（点积，内积）：
是一个数量（没有方向），a·b =|a|·|b|·cos〈a，b〉
向量的数量积的运算律：注意没有（！）结合律，更没有消去律
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。

向量数量积的物理意义：机械功（力和位移）
3.向量积（叉积，外积）：
是一个向量，记作a×b。

这里∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。

特别地，若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0；a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。

向量的向量积运算律：
a×b=-b×a
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）
a×（b+c）=a×b+a×c
向量向量积的物理意义：力矩（力和力臂），洛伦兹力（磁场强度和速度，和记忆的公式不一样……如果记的是qvB就得用左手定则！顺序错了就彻底跪了……）
二、向量的表示方法
1.基底和分解（……）
2.坐标表示
向量的数量积的坐标表示：若a=（x，y），b=（x’，y’）则a·b=x·x'+y·y'
向量的向量积的坐标表示：若a=（x，y，z），b=（x’，y’，z’）则a×b=
|i j k |
|x y z |
|x’ y’ z’|
这是一个三阶行列式，其中i=（1,0,0），j=（0,1,0），k=（0,0,1）
定比分点公式：
移轴：
三、三角形中的向量
1.若OC=bOB+aOA，则ABC三点共线等价于a+b=1。

一般地，三点ABC共线，等价于
对任意的点O，存在abc使得a OA+b OB+c OC=0且a+b+c=0。

2.rami定律：三个向量和为0，则某个向量的长度与另外两个向量夹角的正弦值成正比。

3.重心坐标相关：已知△ABC内有一点O且a OA+b OB+c OC=0，则S△OBC：S△OCA：S△OAB：S△ABC=a：b：c：(a+b+c)
证明：不妨只求出S△OAB/S△OAC。

（法一）a OA+b OB+c OC=0这个式子后叉乘OA得到b（OB×OA）+c（OC×OA）=0 故而b*S△OAB=c*S△OAC
（法二）延长AO交BC于D
则-a OA=b OB+c OC=b(OD+DB)+c(OD+DC)=(b+c)OD+b DB+c DC
但OA∥OD故b DB+c DC=0也即c/b=DB/DC=S△OAB/S△OAC
也可用定比分点公式表示OD，方法同上。

这样，一个三角形内的点O，可以通过关系a OA+b OB+c OC=0中的常数abc完全确定下来（确切说，是通过他们的比值确定下来），这种确定方法就称为点的重心坐标。

（如果点O在三角形外怎么办？我们需要定义负的面积…这幅图解释清楚了）
4.三角形巧合点的向量性质
重心G：①它的重心坐标为（1,1,1）
②设P为三角形内一点，则PA+PB+PC=3PG
③重心是到三个顶点的距离的平方和最大的点
外心O：重心坐标（sin2A,sin2B,sin2C）
考虑△OAB/△OAC=（OA*OBsi n∠AOB）/（OA*OCsin∠AOC），也就是圆心角
的正弦比。

内心I：①它的重心坐标为（sinA，sinB，sinC）
因为内心到三边距离相等，所以三个小三角形的面积比就是三边长之比，由正
弦定理就得到结论。

②OI=（a OA+b OB+c OC）/（a+b+c）
垂心H：①它的重心坐标为（tanA，tanB，tanC）
②HA·HB=HB·HC=HC·HA
移过来相减就好了。

③若O为外心，则OH=OA+OB+OC，并以此可以证明三角形的外心重心垂心
三点共线（欧拉线）。

展开OH的表达式就得到了上面的结论。

至于欧拉线，用重心性质表示OG就
可以证明OH=3OG了。

四、各种练习题 （一） 几个基础题
1、设,,a b c
是平面内任意非零向量，且相互不共线，一下四命题
（1）()()0a b c c a b ⋅-⋅= （2）||||||a b a b -<-
（3）()()b c a c a b ⋅-⋅
不与c 垂直
（4）若向量,a b 不共线，0a b ⋅≠ ，且a a c a b a b ⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭
=，则向量a 与c 的夹角为2π
其中真命题是__________。

2、设两非零向量1e 和2e 不共线，
（1）如果21e e AB +=，2182e e BC +=，()
213e e CD -=，求证A B D 三点共线．
（2）试确定实数k ，使21e e k +和21e k e +共线． （二） 向量的计算
3、已知平面上三个单位向量,,a b c
，且两两夹角为0120。

（1）证明()a b c -⊥
；
（2）若||1k a b c ++>
，求k 的取值范围。

4、已知0a b c ++=
，||1,||2,||a b c ===
，则a b a c b c ⋅+⋅+⋅=
______，
a b ⋅=
____。

5、如图，在ABC ∆中，120,2,1,B A C A B A C D ∠=︒==是边B C 上一点，2,D C B D = 则AD BC =
__________.
6、若非零向量,a b
满足a b b += ，则（ ）
Ａ、2a a b >2+ Ｂ、2a a b <2+ Ｃ、2b a b >+2 Ｄ、 2b a b <+2 7、已知,a b 是平面内两互相垂直的向量，
且||||a b ==
，若一向量c
满足
()()0a c b c -⋅-= ，则||c
的最大值是________。

8、在直角坐标系xOy 中,已知点(0,1)A 和点(3,4)B -，若点C 在A O B ∠的平分线上且
A
B
D
C
||2O C =
,则OC = 。

9、在OAB ∆中,O A a O B b ==
，O D 是A B 边上的高，若AD AB λ= ，则λ=（ ）
A 、2()||a b a a b ⋅--
B 、2()||a a b a b ⋅--
C 、()||a b a a b ⋅--
D 、()||
a a
b a b ⋅--
10、平面内有向量)1,2(),1,5(),7,1(===OP OB OA ，点X 为直线OP 上的一个动点． （1）当XB XA ⋅取最小值时，求OX 的坐标；
（2）当点X 满足（1）的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值．
（三）向量与几何
11、如图，设平行四边形ABCD 一边AB 的四等分点中最靠近B 的一边为E ，对角线
BD 的五等分点中靠近B 的一点为F ，求证C F E ,,三点在一条直线上．
12、如图所示，四边形ADCB 是正方形，P 是对角线DB 上的一点，PFCE 是矩形．试用向量法证明：
（1
=；（2）EF PA ⊥．
13、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则
点O 是ABC ∆的（ ）
A 、三个内角的角平分线的交点
B 、三条边的垂直平分线的交点
C 、三条中线的交点
D 、三条高的交点
14、动点P 满足1[(1)(1)(12)],()3
O P O A O B O C R λλλλ=-+-++∈ ，动点P 一定
会过A B C ∆的 （ ）
A 、内心
B 、垂心
C 、重心
D 、外心
15、已知O 为平面上一定点，A B C ∆ ，动点P 满足()||
||
AB
AC O P O A AB AC λ=++
([0,))λ∈+∞，则动点P 一定通过A B C ∆的（ ）
A 、外心
B 、内心
C 、重心
D 、垂心
16、点O 为A B C ∆内一点，且满足230OA OB OC ++=
，则::BO C AO C AO B S S S ∆∆∆为
（ ）
A 、1：2：3
B 、1：4：9
C 、3：2：1
D 、3：1：2
（四）几道拓展题
17、点P 在△ABC 内，重心坐标（x,y,z ），过P 的直线交AB 于C1，交AC 于B1，交BC 于A1
①若AC1=m AB ，AB1=n AC ，求证y/m+z/n=x+y+z ②若PA1=pPC1，PB1=qPC1，求证x/p+y/q+z=0
18、已知O 为△ABC 内一点，重心坐标（x,y,z ）。

若一过O 点的直线分别交A B C ∆两
边,AB AC 于,P Q 两点，且
,A P m A B A Q n A C
==
，求1
1m
n +
的值。