四川省遂宁市2020届高三三诊考试数学(理科)试题

四川省遂宁市2020届高三三诊考试数学（理科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设,m n R ∈，则“m n ≥”是“112m n
-⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．若复数11i
ai
++为纯虚数（i 为虚数单位，a 为实数），则2a 的值为（ ） A ．4
B ．9
C ．1
4
D ．1
3．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资格的人数为（ ）．
A ．650
B ．660
C ．680
D ．700
4．已知α满足123cos πα⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭
，则cos 2α＝（ ）
A ．
7
9 B ．
718
C ．79
-
D ．718
-
5．方程(
22
4
0x y --=表示的曲线的大致形状是（图中实线部分）（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问谷雨日影长为（ ） A ．七尺五寸
B ．六尺五寸
C ．五尺五寸
D ．四尺五寸
7．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有
()()()f x f y f x y =+，若11
2
a =
，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．1[,2]2
D ．1[,1]2
8．2021年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志．阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就．装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐，其中空中梯队编有12个梯队，在领队机梯队、预警指挥机梯队、轰炸机梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这6个梯队中，某学校为宣传的需要，要求甲同学需从中选3个梯队了解其组成情况，其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个，则不同的选法种数为（ ） A ．12种
B ．16种
C ．18种
D ．20种
9．设函数3030
x x x f x x -⎧=⎨-⎩，＞（），＜，若215a f
log ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，b ＝f (log 24.2)，c ＝f (20.7)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．c ＜a ＜b
D ．c ＜b ＜a
10．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1
，且该三棱柱外接球的表面积为14π，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A ．
3
π
B ． 4
π
C ． 6
π
D ．
512
π 11．已知F 1，F 2是双曲线()22
22100x y a b a b
-=＞，＞的左、右焦点，若双曲线上存在点
P 满足2
212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的最小值为（
）
A B C ．D ．12．已知函数f (x ，y )＝x ln (2ax )+y ﹣x ln y ，若存在x ，y ∈(0，+∞)使得f (x ，y )＝0，则实数a 的最大值为( ) A ．
1e
B ．1 2e
C ．1 3e
D ．2 e
二、填空题
13．曲线22ln 2y x x x =--+在点()1,1处的切线的倾斜角为_____．
14．已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为60，向量1232m e e =-，则|m =_____． 15．已知点()0,2M ，过抛物线24y x =的焦点F 的直线AB 交抛物线于,A B 两点，若0AM FM ⋅=，则点B 的纵坐标为_____．
16．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，5AB =，3AD =，17AA =，
3
BAD π∠=，
114
BAA DAA π
∠=∠=
，则1AC 的长为_____．
三、解答题
17．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，又函数()8g x f x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
.
（1）求函数()g x 的单调增区间；
（2）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，又c =
，且锐角C 满
足()1g C =-，若sin 2sin B A =，M 为AC 边的中点，求BMC △的周长． 18．如图，在长方体ABCD ﹣HKLE 中，底面ABCD 是边长为3的正方形，对角线AC 与BD 相交于点O ，点F 在线段AH 上，且20AF HF +=，BE 与底面ABCD 所成角为
3
π．
（1）求证：AC ⊥BE ；
（2）求二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值；
（3）设点M 在线段BD 上，且AM //平面BEF ，求DM 的长．
19．某中学举行“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数情况如表，其中一等奖代表队比三等奖代表队多10人．该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动．并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中二等奖代表队有5人（同队内男女生仍采用分层抽样）
（1）从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取3人上台领奖，用X 表示女生上台领奖的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．
（2）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生[﹣2，2]内的两个均匀随机数x ，y ，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序．若电脑显示“中奖”，则
代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求代表队队员获得奖品的概率．
20．已知函数()sin cos f x x x x =-．
（1）判断函数()f x 在区间(0,2)π上零点的个数，并说明理由． （2）当0πx <<时，
①比较1x -与ln x 的大小关系，并说明理由； ②证明：()()cos ln[]1cos x
f x e
f x x +≤⋅-．
21．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”．过椭圆第四象限内一点M 作x 轴的垂线交其“辅助圆”于点N ，当点N 在点M 的下方时，称
点N 为点M 的“下辅助点”．已知椭圆()22
2210x y E a b a b +=：＞＞上的点1⎛ ⎝⎭
，的下辅助点为（1，﹣1）．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若△OMN 的面积等于
8
，求下辅助点N 的坐标； （3）已知直线l ：x ﹣my ﹣t ＝0与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，若椭圆E 上存在点P ，使得四边形OAPB 是对边平行且相等的四边形．求直线l 与坐标轴围成的三角形面积最小时的m 2+t 2的值．
22．在平面直角坐标系xOy 中，将曲线方程()
()
2
2
22116
4
x y -++
=，先向左平移2个
单位，再向上平移2个单位，得到曲线C .
（1）点M （x ，y ）为曲线C 上任意一点，写出曲线C 的参数方程，并求出1
2
x 的最大值；
（2）设直线l 的参数方程为22x t
y t
=⎧⎨
=-⎩，（t 为参数），又直线l 与曲线C 的交点为E ，
F ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段EF 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
23．已知函数f （x ）=|2x ﹣3|，g （x ）=|2x +a +b |. （1）解不等式f （x ）<x 2；
（2）当a >0，b >0时，若F （x ）=f （x ）+g （x ）的值域为[5，+∞），求证：
112
223
a b +≥++.
参考答案
1．C 【分析】
利用指数函数的单调性即可判断出结论． 【详解】
因为1012m n
m n m n -⎛⎫≥⇔-≥⇔≤ ⎪⎝⎭
所以“m n ≥”是“112m n
-⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
”的充要条件
故选：C 【点睛】
本题考查了指数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．D 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a 的值，然后可得答案． 【详解】
∵
()()()()22
1111111111i ai i a a
i ai ai ai a a +-++-==+++-++为纯虚数， ∴1010a a +=⎧⎨-≠⎩
，解得1a =-．
∴21a = 故选：D 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，基础题． 3．A 【分析】
根据频率分布直方图，求得大于90分的概率，进而可求解相应的人数，得到答案． 【详解】
由题意，根据频率分布直方图，
可得获得复赛资格的人数为()100010.00252020.007520⨯-⨯-⨯⨯=650人， 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 4．A 【分析】
由已知结合诱导公式先进行化简，然后结合二倍角余弦公式即可求解. 【详解】 因为﹣sin α123cos πα⎛⎫
=+=- ⎪⎝⎭
，
所以sin 1
3
α=
， 则cos 2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣21799
⨯=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题. 5．B 【分析】
依题意可知，方程表示的曲线为直线20x y --=或双曲线22
144
x y -=位于直线
20x y --=的下方的图象，由此得解．
【详解】
依题意可知，20x y --=或2240
20x y x y ⎧--=⎨--≥⎩
，
而2
2
40x y --=表示双曲线22
144
x y -=，且满足在直线20x y --=的下方，
结合选项可知，只有选项B 符合题意． 故选：B
【点睛】
本题考查的是曲线与方程，考查了数形结合思想，解题的关键是要注意当2
2
40x y --=时必须满足20x y --≥，属于基础题． 6．C 【分析】
利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出谷雨日影长，得到答案． 【详解】
由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，
十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，
设十二节气的日影长分别为a n ，可得56787132
76
773.52a a a a S a d +++=⎧⎪
⎨⨯=+=⎪⎩，即114223272173.5a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得127
2
a =，d ＝﹣1， 所以谷雨日影长为92711
822
a =-==5.5（尺）＝5尺5寸． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的实际应用问题，其中解答中正确理解题意，结合等差数列的通项公式和性质，以及等差数列的前n 项和公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了算求解能力，是基础题． 7．A 【分析】
根据f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），令x ＝n ，y ＝1，可得数列{a n }是以12为首项，以1
2
为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围． 【详解】
∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），
∴令x＝n，y＝1，得f（n）•f（1）＝f（n+1），
即
()
()
1
1
n
n
f n
a
a f n
+
+
==f（1）
1
2
=，
∴数列{a n}是以1
2
为首项，以
1
2
为等比的等比数列，
∴a n＝f（n）＝（1
2
）n，
∴S n
11
1
22
1
1
2
n
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
==
-
1﹣（
1
2
）n∈[
1
2
，1）．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y）得到数列{a n}是等比数列，属中档题．
8．B
【分析】
运用组合知识和间接法求两个梯队中至少选择一个的不同选法种数．
【详解】
从6个梯队中任选3个的选法有3
620
C=种，若没有舰载机梯队、歼击机梯队的选法有
3 44
C=种，则舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个的选法有：20416
-=种. 故选：B．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，本题运用间接法，可以避免讨论，简化计算，考查分析和计算能力，属于基础题．
9．A
【分析】
根据题意，分析可得f(x)为奇函数且在(0，+∞)上为减函数，由对数函数的性质比较可得1＜20.7＜2＜log24.2＜log25，结合函数的单调性分析可得答案．
【详解】
当x＞0时，﹣x＜0，
f (x )＝3﹣x ，f (﹣x )＝﹣3﹣x ， 所以f (x )＝﹣f (﹣x )， 当x ＜0时，﹣x ＞0，
f (x )＝﹣3x ，f (﹣x )＝3﹣(﹣x )＝3x ， 所以f (x )＝﹣f (﹣x )，
所以函数f (x )是奇函数，且在(﹣∞，0)，(0，+∞)上单调递减． 所以a ＝﹣f (log 2
15)＝f (﹣log 21
5
)＝f (log 25)， b ＝f (log 24.2)，c ＝f (20.7)， 又1＜20.7＜2＜log 24.2＜log 25， 所以f (20.7)＞f (log 24.2)＞f (log 25)， 即a ＜b ＜c ， 故选：A ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查指数函数和对数函数的性质，关键是分析函数的奇偶性与单调性． 10．A 【分析】
取BC 中点D ，过P 作PE ⊥平面ABC ，垂足为E ，则E 在AD 在上且为底面ABC 的中心，则PE 的中点O 是该三棱柱外接球的球心，由PE ⊥平面ABC ，得∠P AE 是P A 与平面ABC 所成角，由此能求出结果． 【详解】
取BC 中点D ，过P 作PE ⊥平面ABC ，垂足为E ，则E 在AD 在上且为底面ABC 的中心，则PE 的中点O 是该三棱柱外接球的球心，
∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，
∴AE 23AD =
==
∵该三棱柱外接球的表面积为14π，∴该三棱柱外接球的半径R =
=
，
∴PE ＝== ∵PE ⊥平面ABC ，∴∠P AE 是P A 与平面ABC 所成角，
tan ∠P AE
PE AE ===． ∴∠P AE 3
π=
．
故选：A ．
【点睛】
本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 11．C 【分析】
设P 的坐标，代入双曲线的方程，求出数量并利用双曲线的范围求出2122c PF PF a ⋅=x 2﹣c
2
﹣b 2
22c a
≥•a 2﹣c 2﹣b 2
＝﹣b 2，再由双曲线可得a ，b 的关系，进而求出离心率的最小值．
【详解】
设P （x ，y ），则|x |≥a ，所以()22
22100x y a b a b
-=＞，＞，
由题意可得F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），
所以12PF PF ⋅=（x +c ，y ）（x ﹣c ，y ）＝x 2
﹣c 2
+y 2
＝x 2
﹣c 2
+（22x a -1）b 2
22c a
=x 2﹣c 2﹣b 222c a ≥
•a 2﹣c 2﹣b 2＝﹣b 2，
所以﹣2a 2
≥﹣b 2
，即2a 2
≤b 2
，所以离心率e c a ==， 故选：C ． 【点睛】
本题考查双曲线的性质及数量积的运算，解题时注意双曲线中点的坐标的取值范围，属于中档题． 12．B 【分析】
存在x ，y ∈(0，+∞)使得f (x ，y )＝0，由x ln (2ax )+y ﹣x ln y ＝0，化为：ln2a ＝ln y y
x x
-，令t y
x
=
＞0，g (t )＝ln t ﹣t ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出． 【详解】
∵存在x ，y ∈(0，+∞)使得f (x ，y )＝0， ∴x ln (2ax )+y ﹣x ln y ＝0，化为：ln2a ＝ln y y x x
-， 令t y
x
=
>0，g (t )＝ln t ﹣t ， 则()g t '1t =-11t
t
-=，(0,1),()0,()t g t g t ∈'>单调递增，
(1,),()0,()t g t g t ∈+∞'<单调递减，
所以当t ＝1时，函数g (t )取得极大值即最大值，(1)1g =-． ∴ln21a ≤-，解得0＜a 1
2e
≤． ∴实数a 的最大值为12e
． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．
34
π 【分析】
求得2
2ln 2y x x x =--+的导数，将1x =代入，可得切线的斜率，再由直线的斜率公式，计算可得所求倾斜角． 【详解】
函数2
2ln 2y x x x =--+的导数为122y x x
'=--
， 可得曲线2
2ln 2y x x x =--+在点()1,1处的切线的斜率为1k =-， 则切线的倾斜角θ满足tan 1θ=-，
0θπ<<，解得34
πθ=
. 故答案为：34
π． 【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题．
14 【分析】
利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2
m 的值，进而可求得m 的值.
【详解】
根据题意，两个单位向量1e 、2e 的夹角为60，则121211cos601122
e e e e ⋅=⋅=⨯⨯
=， 1232m e e =-，则()
2
2
2
2212
11221
329124131272
m m e e e e e e ==-=-⋅+=-⨯=，
因此，7m =.
. 【点睛】
本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题． 15．1- 【分析】
求出直线FM 的斜率，通过向量的数量积为0，得到直线AM 的斜率，进而求出直线AM 的
方程，求出点A 的坐标，然后求解直线AF 的方程，与抛物线联立求解即可． 【详解】
因为点()0,2M ，抛物线2
4y x =的焦点()1,0F ，
所以20
201
MF k -=
=--， 由0AM FM ⋅=可得AM FM ⊥，
所以直线AM 的斜率12AM k =
， 所以直线AM 的方程为122
y x -=即1
22y x =+，
由2122
4y x y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩化简得28160x x -+=，解得4x =，可得点()4,4A ， 所以直线AF 的斜率44413
AF k =
=-，所以直线AF 的方程为：()4
13y x =-，
联立()244
13y x
y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
，消去x 可得：2
340y y --=，解得1y =-或4y =， 所以点B 的纵坐标为1-． 故答案为：1-． 【点睛】
本题考查了直线与抛物线位置关系的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题． 16
【分析】
根据11AC AB BC CC =++，两边平方，然后根据向量的数量积进行计算即可. 【详解】
平行六面体1111ABCD A B C D -中，
5AB =，3AD =，17AA =，3
BAD π∠=
，114
BAA DAA π
∠=∠=
11AC AB BC CC =++，
则()2
2
2
11
||==++AC AC AB BC CC
2
22111||||2||||cos
2||cos
2||cos
3
4
4
π
π
π
=+++⋅+⋅⋅+⋅AB BC CC AB BC BC CC AB CC
1
2594925323725798222=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+
1198AC AC ∴==．
． 【点睛】
本题考查利用空间向量法求线段长，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属中档题. 17．（1）(),2k k k π
ππ⎡
⎤
-∈⎢⎥⎣
⎦
Z ；（2）3． 【分析】
（1）利用函数图象求得A 、ω的值，再由函数()y f x =的图象过点,28π⎛⎫
⎪⎝⎭
求得ϕ的值，进而可得出()2sin 24x f x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，由此可得出()2cos2g x x =，然后解不等式()222k x k k Z πππ-≤≤∈，即可得出函数()y g x =的单调递增区间；；
（2）由()1g C =-可求得角C 的值，利用正弦定理边角互化思想得出2b a =，结合余弦定理可求得a 、b ，进而可判断出ABC 为直角三角形，且角B 为直角．可计算出BM 的长，进而可求得BMC △的周长. 【详解】
（1）由函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象可得2A =，
5288
T ππ=-，即T π=，则22T πω==，
又函数()y f x =的图象过点28π⎛⎫
⎪⎝⎭
，，则()2282k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即
()24
k k Z π
ϕπ=+
∈，
又0ϕπ<<，4
π
ϕ∴=，
即()2sin 24x f x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则()2sin 22cos 2884g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=+
=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， 由()222k x k k Z πππ-≤≤∈，得()2
k x k k Z π
ππ-
≤≤∈，
所以函数()y g x =的单调增区间为(),2k k k π
ππ⎡
⎤
-∈⎢⎥⎣
⎦
Z ； （2）由()1g C =-，得1cos 22
C =-， 因为02
C <<
π
，所以02C π<<，所以223
C π
=
，得3C π=，
又sin 2sin B A =，由正弦定理得2b
a
=，① 由余弦定理，得2
222cos
3
c
a b ab π
=+-，即223a b ab +-=，②
由①②解得1a =，2b =．
又c =
，所以222a c b +=，所以ABC 为直角三角形，且角B 为直角．
故11
122
BM AC b ===，所以ABC 的周长为1113BM MC CB ++=++=． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．考查运算能力，属于综合性题．
18．（1）详见解析；（2；（3） 【分析】
（1）由题意可得DE ⊥AC ，AC ⊥BD ，根据线面垂直的判定可得AC ⊥平面BDE ，由线面垂直的性质即可得证；
（2）由DA ，DC ，DE 两两垂直，建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，求出平面BEF 的一个法向
量n 、平面BDE 的一个法向量CA ，由cos n CA n CA n CA
⋅=⋅，
即可得解；
（3）设M (t ,t ,0)，则AM = (t ﹣3,t ,0)，由AM //平面BEF 可得0AM n ⋅=，求得t 后即可得解． 【详解】
（1）证明：因为在长方体ABCD ﹣HKLE 中， DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 又BD ∩DE ＝D ，所以AC ⊥平面BDE ， 而BE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥BE ；
（2）因为在长方体ABCD ﹣HKLE 中，DA ，DC ，DE 两两垂直， 所以建立空间直角坐标系D ﹣xyz 如图所示：
由DE ⊥平面ABCD 可知∠DBE 为直线BE 与平面ABCD 所成的角， 又因为BE 与平面ABCD 所成角为3π
，所以3
DBE π∠=，
所以tan ED
DBE DB
∠=
=，由AD ＝3，可知DB =DE ＝，
所以AH ＝，
又2AF HF +=0，即AF 1
3
AH =
，故AF =
则A (3,0,0)，F )，E )，B (3,3,0)，C (0,3,0)，
所以BF =(0,﹣)，EF =(3,0,﹣)，
设平面BEF 的一个法向量为n =(x ,y ,z )，
则00n BF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即30
30
y x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩
，令z =n =
)，
因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，CA =(3,﹣3,0)，
所以cos 26n CA n CA n CA
⋅==
=
⋅，
, 因为二面角为锐角，所以二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值为
13
； （3）因为点M 是线段BD 上一个动点，设M (t ,t ,0)，则AM =(t ﹣3,t ,0)， 因为AM //平面BEF ，所以0AM n ⋅
=，
即4(t ﹣3)+2t ＝0，解得t ＝2． 此时，点M 坐标为(2,2,0)，DM ==，符合题意．
【点睛】
本题考查了正方体几何特征的应用与线面垂直的判定与性质，考查了空间向量的应用与运算求解能力，属于中档题．
19．（1）分布列详见解析，数学期望E （X ）32=；（2）19
32
． 【分析】
（1）设代表队共有n 人，则
550
16n
=，所以n ＝160，再设一等奖代表队男生人数为x ，可根据表格中的数据列出关于x 的方程，解之可得x ＝30，因此三个代表队中前排就坐的比例是按照一等奖：二等奖：三等奖＝6：5：5，故前排就坐的16人中一等奖代表队共6人，有3男3女，所以X 的可能取值为0，1，2，3，然后根据超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；
（2）试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ，y ）|﹣2≤x ≤2，﹣2≤y ≤2}，事件A 表示
代表队队员获得奖品，所构成的区域为()2222{|}12
x y A x y x y x y -≤≤⎧⎪-≤≤⎪
=⎨
+≤⎪⎪+≥-⎩，，然后依次求出两个区域的面积，根据几何概型即可得解．
【详解】
（1）设代表队共有n 人，则
55016n
=，所以n ＝160， 设一等奖代表队男生人数为x ，则x +30+20+30+（x ﹣10）+30＝160，解得x ＝30， 所以一等奖代表队的男生人数为30，
所以三个代表队中前排就坐的比例是按照一等奖：二等奖：三等奖＝60：50：50＝6：5：5， 故前排就坐的16人中一等奖代表队有3男3女，共6人． 于是X 的可能取值为0，1，2，3．
则P （X ＝0）033336120C C C ==，P （X ＝1）123336920C C C ==，P （X ＝2）21333
69
20C C C ==，P （X ＝3）30
333
6120
C C C ==， 所以X 的分布列为
∴数学期望E （X ）199130123202020202
=⨯
+⨯+⨯+⨯=． （2）试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ，y ）|﹣2≤x ≤2，﹣2≤y ≤2}，面积为S Ω＝4×4＝16，
事件A 表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为()2222|12x y A x y x y x y ⎧⎫
-≤≤⎧⎪⎪⎪-≤≤⎪⎪⎪
=⎨⎨⎬+≤⎪⎪⎪
⎪⎪⎪+≥-⎩⎩⎭
，，
如图，阴影部分的面积为1119
442233222
A S =⨯-⨯⨯-⨯⨯=，
这是一个几何概型，所以19
1921632
A S P A S Ω===（），即代表队队员获得奖品的概率为1932． 【点睛】
本题考查分层抽样的特点、几何概型、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．
20．（1）有唯一一个零点，理由详见解析；（2）①1ln x x -≥，证明详见解析；②证明见解析．
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合导数可判断函数的单调性，结合函数的性质可求函数的零点个数；
（2）①令()1ln g x x x =--，然后对其求导，结合导数可研究函数的单调性，进而由函数的取值范围可比较大小；
②结合①的结论，利用分析法分析结论成立的条件，然后利用导数可求．
【详解】
（1）因为()sin cos f x x x x =-，所以()sin f x x x '=．
当(0,)x π∈时，()sin 0,0x f x '>>，函数()f x 在(0,)π上单调递增，
所以()()00f x f >=，且()0f ππ=>，故()f x 在(0,)π上无零点；
当(,2)x ππ∈时，()sin 0,0x f x '<<，函数()f x 在(,2)ππ上单调递减，
又由()0,(2)20f f ππππ=>=-<，
故()f x 在区间(,2)ππ上有唯一零点；
综上，函数()f x 在区间(0,2)π上有唯一一个零点．
（2）①1ln x x -≥，证明过程如下：
设函数()1ln g x x x =--，则()1,(0)x g x x x π-'=
<<， 令()0g x '<，即
10x x -<，解得01x <<； 令()0g x '>，即10x x
->，解得1x π<<， 所以函数()y g x =在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，π）上单调递增．
则函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值()10g =，
即ln 10x x --≥，
综上可得，1ln x x -≥成立；
②要证：ln [f （x ）]+1≤e cosx f （x ）﹣cosx 成立，
即证明ln （sinx ﹣xcosx ）≤（sinx ﹣xcosx ）e cosx ﹣cosx ﹣1成立，
因为f （x ）在（0，π）上单调递增，()()00f x f >=，
即sinx ﹣xcosx ＞0，所以（sinx ﹣xcosx ）e cosx ＞0，
由①知1ln x x -≥，即有1ln x x ≥+，
有（sinx ﹣xcosx ）e cosx ≥1+ln [（sinx ﹣xcosx ）e cosx ]成立， 当12x π=时，11cos 22111111(sin cos )1ln[sin cos ]222222
e e πππππππ-⋅≥+-⋅成立， 由11cos 22111111(sin cos )1ln[sin cos ]222222
e e πππππππ-⋅=+-⋅成立， 此时能取等号，即有cos (sin cos )1ln[(sin cos )cos ]x x x x e
x x x x -⋅≥+-+成立， 即()()cos ln[]1cos x f x e
f x x +≤⋅-成立.
【点睛】 本题主要运用导数研究考查了函数的零点个数，比较函数式的大小及证明不等式，其中解答中合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于难题．
21．（1）22x +y 2＝1；（2）（2，2-） 或（22-）；（3）3．
【分析】
（1）由椭圆过的点的坐标和辅助圆x 2+y 2＝a 2过的坐标，代入可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；
（2）设N 的坐标和M 的坐标，代入椭圆和辅助圆求出N ，M 的坐标的关系，进而求出△OMN
的面积S △OMN 12=x 0（y 1﹣y 0）8
=，则x 0y 14=-和，202x +y 12＝1，联立求出下辅助点N 的坐标；
（3）设A ，B 的坐标将直线AB 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB 的中点坐标，因为四边形OAPB 是对边平行且相等，即四边形OAPB 恰好为平行四边形，所以OP OA OB =+．所以三角形OAB 面积为
2112121
2888t m S t m m m m ⎛⎫+=-=⋅=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当m 2＝2，t 2＝1时取等号，进而可得m 2+t 2的值为3．
【详解】
（1）因为椭圆E ：2222x y a b +=1，过点（1，，辅助圆x 2+y 2＝a 2过（1，1），所以可得a 2＝12+（﹣1）2＝2，
所以椭圆的实半轴长的平方a 2＝2， 所以21224b
+=1，解得：b 2＝1， ∴椭圆E 的方程为：2
2
x +y 2＝1； （2）设点N （x 0，y 0），（y 0＜0），则由题意可得点M （x 0，y 1），（y 1＜0），将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，x 02+y 02＝2，202
x +y 12＝1，
故y 02＝2y 12，即y 01=
，
又S △OMN 12=x 0（y 1﹣y 0）=x 0y 14=-
联立
01
2
2
1
4
1
2
x y
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，可解得
2
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
或
02
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，∴下辅助点N
的坐标为（
2
，
；
（3）由题意可设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立
2
21
2
x
y
x my t
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
整理得（m2+2）y2+2mty+t2﹣2＝0，
则△＝8（m2+2﹣t2）＞0．
根据韦达定理得
122
2
122
2
2
2
2
mt
y y
m
t
y y
m
-
⎧
+=
⎪⎪+
⎨
-
⎪=
⎪+
⎩
，
因为四边形OAPB是对边平行且相等，即四边形OAPB恰好为平行四边形，
所以OP OA OB
=+．所以122
2
2
P
mt
y y y
m
-
=+=
+
，
()
1212122
4
2
2
P
t
x x x my t my t m y y t
m
=+=+++=++=
+
因为点P在椭圆E上，所以()()
222
22
22
164
1
222
t m t
m m
+=
++
，
整理得
()
()
22
2
2
42
1
2
m t
m
+
=
+
，即4t2＝m2+2，
在直线l：x﹣my﹣t＝0中，由于直线l与坐标轴围成三角形，则t≠0，m≠0．
令x＝0，得
t
y
m
=-，令y＝0，得x＝t．
所以三角形OAB
面积为
2
112121
28884
t m
S t m
m m m
⎛⎫
+
=-=⋅=+≥⨯=
⎪
⎪
⎝⎭
，
当且仅当m2＝2，t2＝1时，取等号，此时△＝24＞0．且有m2+t2＝3，
故所求m2+t2的值为3．
【点睛】
本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的综合和面积公式，均值不等式的应用，属于中档题．
22．（1）42x cos y sin θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）；4；（2）2cos sin 30ρθρθ--=
【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果.
（2）利用中点坐标公式的应用和直线垂直的充要条件的应用求出结果.
【详解】
解：（1）将曲线方程()()22221164
x y -++=，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到曲线C 的方程为()()2222221164x y -++-+=， 即22
1164
x y +=， 故曲线C 的参数方程为42x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；
又点M （x ，y ）为曲线C 上任意一点，
所以12x =2
cos θθ-=4cos （3
πθ+）.
所以
12x 的最大值为4； （2）由（1）知曲线C 的直角坐标方程为22
1164
x y +=， 又直线l 的参数方程为22x t y t =⎧⎨=-⎩
，（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为x +2y ﹣4＝0， 所以有22
2401164x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，
解得40x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩.
所以线段EF 的中点坐标为（402022
++，）， 即线段EF 的中点坐标为（2，1），
直线l 的斜率为12
-， 则与直线l 垂直的直线的斜率为2，
故所求直线的直角坐标方程为y ﹣1＝2（x ﹣2），
即2x ﹣y ﹣3＝0，
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，
得其极坐标方程为2ρcos θ﹣ρsin θ﹣3＝0.
【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式，直线与曲线位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 23．（1）{|1x x >或3}x <-；（2）见解析
【分析】
（1）由题意可得|2x ﹣3|<x 2，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
（2）由a >0，b >0，根据绝对值三角不等式，化简可得F （x ）的最小值，可得a +b 的值，再由乘1法和基本不等式，即可得证.
【详解】
（1）解：不等式f （x ）<x 2化为|2x ﹣3|<x 2，等价于23223x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩或232
32x x x
⎧<⎪⎨⎪-<⎩， 即为32x x R ⎧≥⎪⎨⎪∈⎩或3213
x x x ⎧<⎪⎨⎪><-⎩或， 解得x 32≥
或x <﹣3或1<x 32
<， 所以不等式f （x ）<x 2的解集为{x |x >1或x <﹣3}； （2）证明：由a >0，b >0，
根据绝对值三角不等式可知F （x ）=f （x ）+g （x ）=|2x ﹣3|+|2x +a +b |=|3﹣2x |+|2x +a +b | ≥|3﹣2x +2x +a +b |=|a +b +3|=a +b +3，
又F（x）=f（x）+g（x）的值域为[5，+∞），可得a+b+3=5，
即a+b=2，
即（a+2）+（b+2）=6，
故
111
226
a b
+=
++
[（a+2）+（b+2）]（
11
22
a b
+
++
）
1
6
=（2
22
22
b a
a b
++
++
++
）
1
6
≥（）
2
3
=，
当且仅当
22
22
b a
a b
++
=
++
，即a=b=1时取等号时，
故
222
223 b a
a b
++
+≥
++
.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查均值不等式的运用：证明不等式，主要考查分类讨论思想和转化思想、化简运算能力和推理能力，属于中档题.。