【解析版】郴州市数学高一下期末经典练习题(培优提高)

一、选择题
1．(0分)[ID ：12725]已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若
9810S S S <<，则（ ）
A ．0d >，170S >
B ．0d <，170S <
C ．0d >，180S <
D ．0d >，180S >
2．(0分)[ID ：12718]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社
区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元
B ．11.8万元
C ．12.0万元
D ．12.2万元
3．(0分)[ID ：12715]设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，
{|12}C x R x =
∈-≤<，则()A B C =
A
．{1,1}- B ．{0,1} C ．
{1,0,1}-
D ．{2,3,4}
4．(0分)[ID ：12706]已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，
()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3
2
BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）
A ．
12
B ．
12
± C ．
12
± D ．
32
± 5．(0分)[ID ：12693](2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
6．(0分)[ID ：12679]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为
A ．
12
尺 B ．
815尺 C ．1629尺
D ．16
31
尺 7．(0分)[ID ：12676]已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数
()()2
10216()122x
x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩，若关于x 的方程[]()2
()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,24⎛⎫-
- ⎪⎝
⎭ B ．11,24⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭ C ．1111,,2448⎛⎫
⎛⎫
---- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
D ．11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭
8．(0分)[ID ：12675]要得到函数23sin 23y x x =+2sin 2y x =的图象（ ）
A ．向左平移
3
π
个单位 B ．向右平移
3
π
个单位
C ．向左平移
6
π
个单位 D ．向右平移
6
π
个单位 9．(0分)[ID ：12629]设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2019=6057，则1
a 2
+
4a 2018
的最小值为
A ．1
B ．2
3
C ．13
6
D ．3
2
10．(0分)[ID ：12661]记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数
{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(1,1)(3,4)-
B ．(1,3)
C ．(1,4)-
D ．(,1)
(4,)-∞-+∞
11．(0分)[ID ：12655]如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )
A ．
2
π B ． C ． D ．
3
π 12．(0分)[ID ：12644]若函数()(),1
231,1
x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的
取值范围是( ) A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．23,34⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
13．(0分)[ID ：12643]已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．c b a >>
14．(0分)[ID ：12636]如图，在△ABC 中, 1
3
AN NC =
,P 是BN 上的一点,若29
AP m AB AC −−→
−−→
−−
→=+,则实数m 的值为( )
A ．
B ．
C ．
19
D ．
15．(0分)[ID ：12677]已知{}n a 的前n 项和2
41n S n n =-+，则1210a a a ++
+=
（ ） A ．68
B ．67
C ．61
D ．60
二、填空题
16．(0分)[ID ：12808]一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体
积是___________
17．(0分)[ID ：12797]甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,
,9}a b ∈.若||1a b -，则称
甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______. 18．(0分)[ID ：12796]直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为 ．
19．(0分)[ID ：12792]已知抛物线()2
20y px p =>的准线与圆()2
2316x y -+=相切，
则p 的值为__________．
20．(0分)[ID ：12791]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.
21．(0分)[ID ：12781]已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则n
a n
的最小值为_______.
22
．(0分)[ID ：12755]已知点()M a b ，在直线3415x y +＝
上，则22a b +的最小值为_______．
23．(0分)[ID ：12733]若a 10=
12，a m =2
，则m =______． 24．(0分)[ID ：12769]设12a =，121n n a a +=+，2
1
n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通
项公式n b = ．
25．(0分)[ID ：12768]设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)
x y xy
++的最小值为
__________.
三、解答题
26．(0分)[ID ：12913]已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；
（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围. 27．(0分)[ID ：12890]已知函数()sin()(0,0)3
f x A x A π
ωω=+
>>的部分图象如图所示.
（1）求A 和ω的值；
（2）求函数()y f x =在[0,]π的单调增区间；
（3）若函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求b a -的最大值. 28．(0分)[ID ：12882]已知
(1,2),(2,1)(2)()a b m a t b n ka tb k R ==-=++=+∈，，．
（1）若1t =，且m n ，求k 的值； （2）若t R ∈，且5m n =，求证：k 2≤．
29．(0分)[ID ：12836]已知数列{a n }满足a 1＝1，11
14n n
a a +=-，其中n ∈N *． （1）设221
n n b a =-，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式．
（2）设41
n
n a c n =
+，数列{c n c n +2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<
对于n ∈N *，恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明． 30．(0分)[ID ：12843]设函数2
()cos 2sin 3f x x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
． （1）求函数()f x 的最小正周期． （2）求函数()f x 的单调递减区间；
（3）设,,A B C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =
，124C f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，且C 为锐角，求
sin A ．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 2．B 3．C 4．A
5．B
6．C
7．B
8．C
9．D
10．A
11．A
12．C
13．A
14．C
15．B
二、填空题
16．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题
17．【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有
18．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直
19．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则
20．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等
21．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案
22．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点
睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于
23．5【解析】
24．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则
25．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.
【详解】
9810S S S <<，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
2．B
解析：B 【解析】 试题分析：由题
，
，所以
．
试题解析：由已知
，
又因为ˆˆˆy
bx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以
，即该家庭支出为
万元．
考点：线性回归与变量间的关系．
3．C
解析：C 【解析】
分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】
∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，
∴()()
BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅
()()22
11AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅
()()232441212222
λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴1
2λ=.
故选：A. 5．B
解析：B 【解析】
试题分析：设圆锥底面半径为r ，则
1
2384r ⨯⨯=，所以163
r =，所以米堆的体积为21116
3()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
6．C
解析：C 【解析】
试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为
，
,求公差，，解得：
尺，故选C.
考点：等差数列
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，21
04
t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】
由题意，作出函数()y f x =的图像如下，
由图像可得，10()(2)4
f x f ≤≤=
关于x 的方程[]()2
()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根， 设()f x t =，
20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；
且114t =，2104
t << 又
12a t t -=+
11,24a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭
故选：B 【点睛】
本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
化简函数223sin 23y x x =+-. 【详解】
依题意2
ππ23sin 232sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移
6
π
个单位.所以选C. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.
9．D
解析：D 【解析】
先利用等差数列的求和公式得出S 2019=
2019(a 1+a 2019)
2
=6057，再利用等差数列的基本性
质得出a 2+a 2018=a 1+a 2019=6，再将代数式a 2+a 2018和1
a 2
+4
a 2018
相乘，展开后利用
基本不等式可求出1a 2
+4
a
2018
的最小值.
【详解】
由等差数列的前n 项和公式可得S 2019=
2019(a 1+a 2019)
2
=6057，所以，a 1+a 2019=6，
由等差数列的基本性质可得a 2+a 2018=a 1+a 2019=6， ∴6(1a 2
+4
a
2018
)=(a 2+a 2018)(1a 2
+4
a
2018
)=5+4a 2
a
2018
+
a 2018a 2
≥5+2√4a 2
a
2018
⋅
a 2018a 2
=9，
所以，1a 2
+4a
2018
≥
96
=3
2
，当且仅当
4a 2
a 2018
=
a 2018a 2
，即当a 2018=2a 2时，等号成立，
因此，1
a 2
+4
a
2018
的最小值为32
，故选：D.
【点睛】
本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。

10．A
解析：A 【解析】 【分析】
画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】
函数()f x 的图象如图，
直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.
11．A
解析：A 【解析】
由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】
设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．
平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，2225
2()2a A B a BM a =
=+=，，
222313
(
)22
a A M a a =+=，
222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，
当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：2
3
a >， 且在1x =处，有：()1
2311a a -⨯+≥，解得：34
a ≤
， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 本题选择C 选项. 【点睛】
对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
13．A
解析：A
由0.5
0.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，
所以a c b >>，故选A .
14．C
解析：C 【解析】 【分析】
先根据共线关系用基底AB AC
→→
，表示
AP
→
，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m
的值. 【详解】
如下图，∵,,B P N 三点共线，∴
，∴，即
,
∴
①,又∵1
3
AN NC
=
，∴，
∴28=99
AP m AB AC m AB AC →
→
→→→=++②， 对比①，②，由平面向量基本定理可得：．
【点睛】
本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.
15．B
解析：B 【解析】 【分析】
首先运用11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可
得到答案． 【详解】
当1n =时，112S a ==-；
当2n ≥时，()
()()2
2
141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦
， 故2,1
25,2n n a n n -=⎧=⎨
-≥⎩
；
所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，
()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S ++
+=-+++++=-=-⨯-=.
故选：B ． 【点睛】
本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.
二、填空题
16．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题
解析：
32
【解析】 【分析】
先还原几何体，再根据柱体体积公式求解 【详解】
空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为1,3的直角三角形，高为3的棱柱，所以体积为
1313322
⨯⨯⨯=
【点睛】
本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题
17．【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数
（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有 解析：
725
【解析】 【分析】
由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -所有可能情况，代入公式得到结果。

【详解】
从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，则||1a b -的情况有：()0,0，
()1,1，()2,2，()3,3，()4,4，()5,5，()6,6，()7,7，()8,8，()9,9，()0,1，
()1,0，()1,2，()2,1，()2,3，()3,2，()3,4，()4,3，()4,5，()5,4，()5,6，
()6,5，()6,7，()7,6，()7,8，()8,7，()8,9，()9,8共有28种，所以287
10025
P =
=
. 【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算问题，属于基础题。

18．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直 解析：2y x =
【解析】
试题分析：设与直线20x y +=垂直的直线方程：20x y b -+=，圆
22240x y x y +--=化为()()2
2
125x y -+-=，圆心坐标()1
2，．因为直线平分圆，圆心在直线20x y b -+=上，所以21120b ⨯-⨯+=，解得0b =，故所求直线方程为
2y x =．
考点：1．直线与圆的位置关系；2．直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，据此设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．
19．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则
解析：2 【解析】
抛物线的准线为2p
x =-
，与圆相切，则342
p +=，2p =． 20．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等
【解析】 【分析】
连接1CD ，可得出1//EF CD ，证明出四边形11A BCD 为平行四边形，可得11//A B CD ，可得出异面直线EF 与11A C 所成角为11BA C ∠或其补角，分析11A BC ∆的形状，即可得出
11BA C ∠的大小，即可得出答案.
【详解】
连接1CD 、1A B 、1BC ，
11
3
DE DF
DD DC ==，1//EF CD ∴， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D AD ，//AD BC ，11//A D BC ∴， 所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//A B CD ∴， 所以，异面直线EF 与11A C 所成的角为11BA C ∠. 易知11A BC ∆为等边三角形，1160BA C ∴∠=.
故答案为：60. 【点睛】
本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.
21．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案
解析：
415
. 【解析】 【分析】
根据递推公式和累加法可求得数列{}n a 的通项公式.代入n
a n
中,由数列中*n N ∈的性质,结合数列的单调性即可求得最小值.
因为12n n a a n +=+,所以12n n a a n +-=, 从而12(1)(2)n n a a n n --=-≥ …,
3222a a -=⨯ 2121a a -=⨯,
累加可得12[12(1)]n a a n -=⨯++⋅⋅⋅+-,
2(1)22
n n
n n -=⨯
=- 而121,a =
所以2
21n a n n =-+,
则221211n a n n n n n n
-+==+-, 因为21
()1f n n n
=+-在(0,4]递减,在[5,)+∞递增 当4n =时,338.254
n a n ==, 当5n =时,
418.25n a n ==, 所以5n =时n a n 取得最小值,最小值为
41
5. 故答案为:41
5
【点睛】
本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.
22．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于
解析：3 【解析】 【分析】
()0,0到点(),a b 的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果. 【详解】
()0,0到点(),a b 的距离，又∵点(),M a b 在直线:3425
l x y +=
()
0,0到直线34150
x y
+-=
的距离，且
3
d==.
【点睛】
本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.
23．5【解析】
解析：5
【解析】
5,5
2
a m
====24．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4
公比为2的等比数列则
解析：2n+1
【解析】
由条件得11
1
1
1
2
2
22
22
2
11
1
n n n
n n
n n
n
a a a
b b
a a
a
++
+
+
+
+
++
====
--
-
，且14
b=，所以数列{}n b是首项为4，公比为2的等比数列，则11
422
n n
n
b-+
=⋅=．
25．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立
解析：
9
2
.
【解析】
【分析】
把分子展开化为
(1)(21)221255
2
x y xy x y xy
xy xy xy xy
++++++
===+，再利用基本不等式求最值．
【详解】
由24
x y
+=
，得24
x y
+=≥，得2
xy≤
(1)(21)22125559
22
22
x y xy x y xy
xy xy xy xy
++++++
===+≥+=，
等号当且仅当2
x y
=，即2,1
x y
==时成立．
故所求的最小值为
9
2
．
【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
三、解答题 26．
（1）[
)1,+∞；（2）5,4
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
【解析】 【分析】
（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪
=--≤≤⎨⎪⎩
，＜，
，＞，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；
（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max 5
4
=，从而可得m 的取值范围． 【详解】
解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪
=--≤≤⎨⎪⎩
，＜，
，＞，f （x ）≥1， ∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．
（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．
由（1）知，g （x ）22
231311232x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--⎨⎪-++≥⎩
，，
＜＜，， 当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x 1
2
=-＞1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；
当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x 3
2
=∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （
32）9942=-+-154
=； 当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x 1
2
=＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g （x ）max 54
=
，
∴m 的取值范围为（﹣∞，54
]． 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．
27．
（1）2A =，2ω=;（2）[0,]12
π
和7[
,]12π
π;（3）173
π. 【解析】
【试题分析】（1）直接依据图像中所提供的数据信息可得224
312
4T
A π
π
π
ω
==-
=
，，进而求出2ω=；（2）依据正弦函数的单调区间解不等式2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
求
出单调增区间51212
x k ππ
ππ-≤≤+，（k Z ∈），然后求出函数()y f x =在[]0,π的单调增区间为0,
12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.（3）先求出函数()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭中的512x k ππ=+或34
x k π
π=+（k Z ∈），进而借助周期性求出b a -的最大值为217533
T ππ+
=。

解：（1）2A =， 2,243124T πππωω
=-==. （2）由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，（k Z ∈）
得51212
k x k ππ
ππ-
≤≤+，（k Z ∈） 又因为[]0,x π∈，所以函数()y f x =在[]
0,π的单调增区间为0,12π⎡
⎤⎢⎥⎣⎦和7,12π
π⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦. （3）由()2sin 213f x x π⎛
⎫
=+
=- ⎪⎝
⎭得512x k ππ=+或34
x k π
π=+（k Z ∈）. 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， 所以b a -的最大值为217533
T ππ+
=. 28．
（1）1
3
k =
；（2）见解析；
【解析】 【分析】
（1）根据向量共线定理即可求出k 的值.
（2）根据向量的数量积和向量的垂直可得221k t t =--+，根据二次函数的性质即可证明。

【详解】
（1）若1t =，3()m a b n ka b k R =+=+∈， ，又因为m n ∥，所以存在实数λ，使得
=m n λ，即3a b n ka b λλ+=+=,得13k λλ
=⎧⎨
=⎩ 解得：1
3k = ；
（2）[(2)]()m n a t b ka b ⋅=++⋅+
22(2)(2)55(2)ka t t b kt k t a b k t t =++⋅+++⋅=++，0a b ⋅=且5m n ⋅=
55(2)5k t t ∴++=
2221(1)22k t t t ∴=--+=-++≤
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算和向量的平行和垂直，以及二次函数的性质，属于中档题．
29．
（1）1
2n n a n
+=；（2）3 【解析】 试题分析：
(1)结合递推关系可证得b n +1-b n =2，且b 1＝2，即数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式为1
2n n a n
+=． (2)结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+⎛⎫=-
⎪+⎝⎭
求和有1
11213212n T n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭
．据此结合单调性讨论可得正整数m 的最小值为3． 试题解析： （1）证明：b n +1-b n 12
2
2121
n n a a +=
-
--
2
2
2112114n n a a =
-
-⎛⎫
-- ⎪
⎝
⎭ 42
22121
n n n a a a =
-=--． 又由a 1＝1，得b 1＝2，所以数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，所以b n ＝2+(n -1)×2＝2n ，由221
n n b a =
-，得1
2n n a n
+=
．
（2）解：2
n c n =，()2411222n n c c n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
所以
1
11213212n T n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭
． 依题意，要使11n m m T c c +<
对于n ∈N *恒成立，只需()
134
m m +≥，解得m ≥3或m ≤-4．又
m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3．
30．
（1）π（2）减区间为ππk π,k π44⎡⎤
-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈（3
【解析】 【分析】
()1利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
()2利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的单调递减区间．
()3利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得sinA 的值．
【详解】
() 1函数
(
)2π11cos2x 1f x cos 2x sin x cos2x 3222-⎛
⎫=++=+=+ ⎪⎝
⎭，
故它的最小正周期为
2π
π2
=． ()2对于函数(
)1
f x 2
=+，令ππ2k π2x 2k π22-≤≤+，求得
ππ
k πx k π44
-
≤≤+， 可得它的减区间为ππk π,k π44⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈． ()
3ABC 中，若1
cosB 3=
，sinB 3
∴==．
若C 11f 224⎛⎫=+=-
⎪⎝⎭
，sinC ∴=，C 为锐角，πC 3∴=． (
)ππ11sinA sin B C sinBcos
cosBsin 3332326
∴=+=+=⋅+⋅=
． 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．。