2021年最新人教版八年级数学上期末复习最值问题专题训练含答案解析精心选题

2021年八年级数学上最值问题专题训练
一．选择题（共4小题）
1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM
∆周长的最小值为()
A．6B．8C．10D．12
2．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，
∆的周长最AC于点E，F，若D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BDM
小值为()
A．12B．8C．7D．6
3．如图，将等边ABC
∆折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若1
AD=，3
∆周长的最小值是()
AC=，OCD
A．4B．5C．6D．7
4．如图，四边形ABCD中，3
ACD
∠=︒，则对角线BD长
BC=，AC AD
=，60
AB=，2
的最大值为()
A．5B．C．D．1
二．填空题（共10小题）
5．如图，已知ABC ∆为等腰直角三角形，4AC BC ==，15BCD ∠=︒，P 为CD 上的动点，则||PA PB -的最大值为 ．
6．如图，在四边形ABCD 中，AD CD =，90D ∠=︒，60B ∠=︒，AC BC ⊥，点E 在AC 上，
EC BC =，点P 是CD 边上一动点，若4BC =，则PA PE +的最小值等于 ．
7．当式子23()x y -+有最大值时，最大值是 ，此时x 与y 的关系为
8．已知，在小房子里的地面C 处立着一架梯子，向左边墙靠到点M 时，75MCA ∠=︒，向右靠到点N 时，45NCB ∠=︒，若MA am =，NB bm =，则小房子的宽AB 为 m ．
9．如图，ABC ∆中，10BC =，4AC AB -=，AD 是BAC ∠的角平分线，CD AD ⊥，则BDC S ∆的最大值为 ．
10．如图，已知点P 在锐角AOB ∠内部，AOB α∠=，在OB 边上存在一点D ，在OA 边上存在一点C ，能使PD DC +最小，此时PDC ∠= ．
11．如图，在ABC
=，4
BC=，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，∆中，AB AC
∆周长的最AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则PCD
小值为．
12．如图，已知Rt ABC
∠=︒，延长BC至D使CD BC
=，连接
BAC
∠=︒，30
ACB
∆中，90
AD=，点P为线段AC上一动点，连接BP．则2BP AP
+的最小值为．AD，且4
13．如图，三角形ABO
∠=∠=︒，点B在x轴的正半轴，坐标为B
OAB AOB
∆中，15
0)．OC平分AOB
+的最小∠，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA MN
值是．
14．如图，等边ABC
=，∆中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM CN
连BM、BN，当BM BN
∠=度．
+最小时，MBN
三．解答题（共2小题）
15．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：
（1）画出格点ABC
∆（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△
A B C；
111
（2）在DE上画出点P，使得PAC
∆的周长最小；
（3）若网格上的最小正方形的边长为1，求ABC
∆的面积．
16．如图，在ABC
∠=︒，BC=D是BC边上的
BAC
∆中，已知6
AB AC
==，120
任意一动点，点B与点B'关于直线AD对称，直线AB'与直线BC相交于点E．
（1）求BC边上的高；
（2）当BD为何值时，ADB
∆'与ADC
∆重叠部分的面积最大，并求出最大值；
（3）连接BB'，当BDB
∆'为直角三角形时，求BAD
∠的度数．
2021年八年级数学上最值问题专题训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆周长的最小值为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
解：连接AD ，
ABC ∆是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
AD BC ∴⊥，
1141622
ABC S BC AD AD ∆∴=
=⨯⨯=，解得8AD =， EF 是线段AC 的垂直平分线，
∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，
AD ∴的长为CM MD +的最小值， CDM ∴∆的周长最短11()84821022
CM MD CD AD BC =++=+=+⨯=+=． 故选：C ．
2．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是12，腰AB 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，若D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则BDM ∆的周长最小值为( )
A ．12
B ．8
C ．7
D ．6
解：连接AD 交EF 与点M '，连结AM ．
ABC ∆是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
AD BC ∴⊥，
1141222
ABC S BC AD AD ∆∴=
=⨯⨯=，解得6AD =， EF 是线段AB 的垂直平分线，
AM BM ∴=．
BM M D M D AM ∴+=+．
∴当点M 位于点M '处时，MB MD +有最小值，最小值6． BDM ∴∆的周长的最小值为268DB AD +=+=；
故选：B ．
3．如图，将等边ABC ∆折叠，使得点B 恰好落在AC 边上的点D 处，折痕为EF ，O 为折痕EF 上一动点，若1AD =，3AC =，OCD ∆周长的最小值是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解：如图，连接BD ，OB ，
将等边ABC ∆折叠，使得点B 恰好落在AC 边上的点D 处， EF ∴是BD 的对称轴，
OB OD ∴=，
1AD =，3AC =，
2CD ∴=，
OCD ∆周长2CD OD OC BO OC =++=++，
∴当点B ，点O ，点C 共线时，OCD ∆周长最小值25BC =+=， 故选：B ．
4．如图，四边形ABCD 中，3AB =，2BC =，AC AD =，60ACD ∠=︒，则对角线BD 长
的最大值为( )
A ．5 B
．C
．D ．1 解：如图，在AB 的左侧作等边三角形ABK ∆，连接DK ．
则3AK AB BK ===，60KAB ∠=︒，
DAC KAB ∴∠=∠，
DAK CAB ∴∠=∠，
在DAK ∆和CAB ∆中，
DA CA DAK CAB KA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()DAK CAB SAS ∴∆≅∆，
2DK BC ∴==，
DK KB BD +，2DK =，3KB AB ==，
∴当D 、K 、B 共线时，BD 的值最大，最大值为5DK KB +=． 故选：A ．
二．填空题（共10小题）
5．如图，已知ABC ∆为等腰直角三角形，4AC BC ==，15BCD ∠=︒，P 为CD 上的动点，则||PA PB -的最大值为 4 ．
解：作A 关于CD 的对称点A '，连接A B '交CD 于P ，则点P 就是使||PA PB -的值最大的点，||PA PB A B -='，
连接A C '，
ABC ∆为等腰直角三角形，4AC BC ==，
45CAB ABC ∴∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，
15BCD ∠=︒，
75ACD ∴∠=︒，
15CAA ∴∠'=︒，
AC AC ='，
AC BC ∴'=，15CA A CAA ∠'=∠'=︒，
150ACA ∴∠'=︒，
90ACB ∠=︒，
60ACB ∴∠'=︒，
∴△A BC '是等边三角形，
4A B BC ∴'==．
故答案为：4．
6．如图，在四边形ABCD 中，AD CD =，90D ∠=︒，60B ∠=︒，AC BC ⊥，点E 在AC 上，
EC BC =，点P 是CD 边上一动点，若4BC =，则PA PE +的最小值等于 8 ．
解：作点E 关于CD 的对称点F ，交CD 于点G ，连接AF 交CD 于P ，连接EP ，CF CE CF ∴=，PE PF =，GE GF =．
在CGE ∆和CGF ∆中，
CE CF GE GF CG CG =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()CGE CGF SSS ∴∆≅∆，
GCE GCF ∴∠=∠．
AD CD =，90D ∠=︒，
45GCE ∴∠=︒，
45GCF ∴∠=︒，
90ACF ∴∠=︒．
4BC =，EC BC =，
4CF ∴=．
AC BC ⊥，
90ACB ∴∠=︒．
60B ∠=︒，
30BAC ∴∠=︒，
28AB BC ∴==．
AC BC ⊥，CF BC =，
8AF AB ∴==．
AF AP PF =+，
AF AP PE ∴=+，
8AP PE ∴+=
故答案为8．
7．当式子23()x y -+有最大值时，最大值是 3 ，此时x 与y 的关系为 解：当2()x y +取最小值0时，式子23()x y -+有最大值为3，此时0x y +=， 故答案为：3；0x y +=．
8．已知，在小房子里的地面C 处立着一架梯子，向左边墙靠到点M 时，75MCA ∠=︒，向右靠到点N 时，45NCB ∠=︒，若MA am =，NB bm =，则小房子的宽AB 为 a m ．
解：过N 点作MA 垂线，垂足点D ，连接NM ．
设梯子底端为C 点，AB x =，且AB ND x ==．
BNC ∴∆为等腰直角三角形，
180457560MCN ∴∠=︒-︒-︒=︒
CNM ∴∆为等边三角形，梯子长度相同，
45NCB ∠=︒，
45DNC ∴∠=︒，
604515MND ∴∠=︒-︒=︒，
cos15x NM
∴︒=， 又75MCA ∠=︒，
15AMC ∴∠=︒．
cos15MA MC
∴︒=， 故可得：
x MA MN CM
=． CNM ∆为等边三角形，
NM CM ∴=．
x MA a ∴==．
故答案为：a ．
9．如图，ABC ∆中，10BC =，4AC AB -=，AD 是BAC ∠的角平分线，CD AD ⊥，则BDC S ∆的最大值为 10 ．
解：如图：延长AB ，CD 交点于E ， AD 平分BAC ∠，
CAD EAD ∴∠=∠，
CD AD ⊥，
90ADC ADE ∴∠=∠=︒，
在ADE ∆和ADC ∆中，
ADE ADC AD AD
EAD CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ADE ADC ASA ∴∆≅∆，
AC AE ∴=，DE CD =；
4AC AB -=，
4AE AB ∴-=，即4BE =；
DE DC =，
12
BDC BEC S S ∆∆∴=， ∴当BE BC ⊥时，BDC S ∆面积最大，
即BDC S ∆最大面积111041022
=⨯⨯⨯=． 故答案为10．
10．如图，已知点P 在锐角AOB ∠内部，AOB α∠=，在OB 边上存在一点D ，在OA 边上存在一点C ，能使PD DC +最小，此时PDC ∠= 2α ．
解：过P 的作关于OB 的对称点P '，作P C OA '⊥于C ，交OB 于D ，此时PD PD ='，根据点到直线的距离最短可知PD DC P C +='最短，
PDB P DB ∠=∠'，CDO P DB ∠=∠'，
CDO PDB ∴∠=∠，
P C OA '⊥，AOB α∠=，
90CDO α∴∠=︒-，
1802(90)2PDC αα∴∠=︒-︒-=．
故答案为：2α．
11．如图，在ABC ∆中，AB AC =，4BC =，面积是12，AC 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 边于点E ，F ．若点D 为BC 边的中点，点P 为线段EF 上一动点，则PCD ∆周长的最小值为 8 ．
解：连接AD ，
ABC ∆是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
AD BC ∴⊥，
1141222
ABC S BC AD AD ∆∴=
=⨯⨯=， 解得6AD =，
EF 是线段AC 的垂直平分线，
∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，
AD ∴的长为CP PD +的最小值， CDP ∴∆的周长最短11()6462822
CP PD CD AD BC =++=+=+⨯=+=． 故答案为：8．
12．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，延长BC 至D 使CD BC =，连接
AD ，且4AD =，点P 为线段AC 上一动点，连接BP ．则2BP AP +的最小值为
解：如图中，作PF AD ⊥于F ，BF AD '⊥于F '，交AC 于P '．
30PAF ∠=︒，90PFA ∠=︒，
12
PF PA ∴=， 122()2()2
BP AP PB PA PB PF ∴+=+=+， ∴当B 、P 、F 共线时，即BF AD '⊥时，PB PF +最短，最小值为线段BF '， 在Rt △DF B '中，60D ∠=︒，4DB =，
sin 60BF DB ∴'=︒=
2BP AP ∴+的最小值为
故答案为：
13．如图，三角形ABO ∆中，15OAB AOB ∠=∠=︒，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B 0)．OC 平分AOB ∠，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA MN +的最小
值是
解：作A 关于直线OC 的对称点D ，交x 轴于D ，
过D 作DN OA ⊥于N 交OC 于M ，
则DN MA MN =+的最小值，
过A 作AE OD ⊥于E ，
OC 平分AOB ∠，
OD OA ∴=， DN AE ∴=，
坐标为B 0)．
OB ∴=，
15OAB AOB ∠=∠=︒，
AB OB ∴==
30ABD BOA AOB ∠=∠+∠=︒，
1
2
AE AB ∴==
DN ∴=
∴+的最小值=
MA MN
故答案为：
14．如图，等边ABC
=，∆中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM CN
连BM、BN，当BM BN
∠=30度．
+最小时，MBN
解：如图1中，作CH BC
=，连接NH，BH．
⊥，使得CH BC
⊥，CH BC
⊥，
∆是等边三角形，AD BC
ABC
AD CH，
∴∠=∠=︒，//
30
DAC DAB
∴∠=∠=∠=︒，
30
HCN CAD BAM
=，AB BC CH
==，
AM CN
∴∆≅∆，
()
ABM CHN SAS
∴=，
BM HN
+，
BN HN BH
∴，N，H共线时，BM BN NH BN
B
+=+的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
ABM CHN ∆≅∆，
45ABM CHB CBH ∴∠=∠=∠=︒，
60ABD ∠=︒，
15DBM ∴∠=︒，
451530MBN ∴∠=︒-︒=︒，
∴当BM BN +的值最小时，30MBN ∠=︒，
故答案为30．
三．解答题（共2小题）
15．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：
（1）画出格点ABC ∆（顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△111A B C ；
（2）在DE 上画出点P ，使得PAC ∆的周长最小；
（3）若网格上的最小正方形的边长为1，求ABC ∆的面积．
解：（1）如图，△111A B C 即为所求．
（2）如图，点P 即为所求．
（3）11133133212 3.5222
ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．
16．如图，在ABC ∆中，已知6AB AC ==，120BAC ∠=︒，BC =D 是BC 边上的任意一动点，点B 与点B '关于直线AD 对称，直线AB '与直线BC 相交于点E ．
（1）求BC 边上的高；
（2）当BD 为何值时，ADB ∆'与ADC ∆重叠部分的面积最大，并求出最大值；
（3）连接BB '，当BDB ∆'为直角三角形时，求BAD ∠的度数．
解：（1）如图1，过点A 作AP BC ⊥垂足为P ，
AB AC =且120BAC ∠=︒，
1(180)302
B C BAC ∴∠=∠=︒-∠=︒， 在Rt APC ∆中，30C ∠=︒，6AC =，
132
AP AC ∴==， ∴底边BC 上的高为3AP =；
（2）当BD =ADB '∆与ADC ∆重叠部分的面积最大． 此时B '、E 、C 三点重合，重叠部分为ADC ∆，如图2，
其面积为：11111322222ADC ABC S S BC AP ∆∆==⨯=⨯⨯= 理由如下：点B 与点B '关于直线AD 对称，
ADB '∴∆与ADB ∆关于直线AD 对称，
ADB ADB '∴∆≅∆，
AB D ADB S S '∆∴=，
BD 与DC 至少有一段不会超过BC 的一半，
AB D S '∴与ADC S ∆至少有一个不会超过ABC S ∆的一半，
∴当ADB '∆与ADC ∆完全重合时，ADB '∆与ADC ∆重叠部分的面积最大，并且最大值为
ABC S ∆的一半．
（3）由轴对称可知：BD B D '=，
90DBB BB D ''∴∠=∠≠︒
即当BDB '∆为直角三角形时，90BDB '∠=︒， 如图3：当点E 在点D 右侧时，
由轴对称可知：ADB ADB '∠=∠，
3603609013522
BDB ADB '︒-∠︒-︒∴∠===︒， 1801801353015BAD ADB ABD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 如图4：当点E 在点D 左侧时， 由轴对称可知：11904522
ADB ADB BDB ''∠=∠=∠=⨯︒=︒， 1801804530105BAD ADB ABD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 综上所述，当BDB '∆为直角三角形时，BAD ∠的度数为15︒或105︒．。