2022年河南省濮阳市油田第五中学高二数学理月考试卷含解析

2022年河南省濮阳市油田第五中学高二数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知满足约束条件则的最大值为( )
A . B. C.
D.
参考答案：
D
2. 已知复数的实部为﹣1，则复数z﹣b在复平面上对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
B
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由题意求得b，进一步求得复数z﹣b在复平面上对应的点的坐标得答案．
【解答】解：由的实部为﹣1，得，得b=6．
∴z=﹣1+5i，则z﹣b=﹣7+5i，在复平面上对应的点的坐标为（﹣7，5），在第二象限．
故选：B．
3. 若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
4. 对任意复数、，定义，其中是的共轭复数.对任意复数、、，有如下四个命题：
①；②；
③；④.
则真命题的个数是（）
A. B. C. D.参考答案：
B
5. 已知函数，在上任取一点，则的概率是
（）
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
B
略
6. 在用反证法证明“已知，且，则a，b，c中至少有一个大于1”时，假设应为（）
A．a，b，c中至多有一个大于1 B．a，b，c全都小于1
C．a，b，c中至少有两个大于1 D．a，b，c均不大于1
参考答案：
D
用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．
而要证命题的否定为：“假设，，均不大于”，
7. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．
A．2 B．3 C．5 D．6
参考答案：
B
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．
【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数
构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，
∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，
∴顶层有3盏灯，
故选：B．
8. 将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率
等于: ( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
9. 若，且为第四象限角，则的值等于( )
A. B. C. D.
参考答案：
B 【分析】
先计算，再计算
【详解】，且为第四象
故答案选B
【点睛】本题考查了同角三角函数值的关系，属于简单题.
10. 设x，y∈[0，1]，则满足y＞的概率为（）
A．1﹣B．C．D．
参考答案：
A
【考点】几何概型．
【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．
【解答】解：由题意可得，x，y∈[0，1]的区域为边长为1的正方形，面积为1，
∵满足y＞，x，y∈[0，1]，其面积S=1﹣，
∴x，y∈[0，1]，则满足y＞的概率为1﹣，
故选A．
【点评】本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出区域的面积，属于中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列{a n}，，，前n项和为S n，则
参考答案：
11
12. 如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有个．
参考答案：
12
略
13. 已知向量a,b满足，，，则夹角的大小是
参考答案：
14. 定义“”为双曲正弦函数,“”为双曲余弦函数,
它们与正、余弦函数有某些类似的性质,如:
等
,请你再写出一个类似的性质:
参考答案：
15. 定义：如果对于实数，使得命题“曲线，点到直线的距离”为真命题，就把
满足条件的的最小值称为曲线到直线的距离．已知曲线到直线的距离等于
曲线到直线的距离，则实数___________．
参考答案：
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
∴曲线到直线的距离为，
则曲线到直线的距离等于．
令解得，故切点为，
切点到直线的距离为，
即，解得或．
∵当时，直线与曲线相交，故不符合题意．
综上所述，．
16. 已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在
y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是．
参考答案：
（，1）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图
求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对
称点在y=kx﹣1的图象上，
而函数y=kx﹣1关于直线y=﹣1的对称图象为y=﹣kx﹣1，
∴f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，
作函数f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象如下，
易知直线y=﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），
设直线AC与y=xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），
y′=lnx﹣1，故lnx﹣1=，
解得，x=1，故k AC=﹣1；
设直线AB与y=x2+x相切于点B（x，x2+x），
y′=2x+，
故2x+=，
解得，x=﹣1；
故k AB =﹣2+=﹣， 故﹣1＜﹣k ＜﹣， 即＜k ＜1； 故答案为（，1）．
17. 圆ρ=r 与圆ρ=﹣2rsin （θ+）（r ＞0
）的公共弦所在直线的方程为 ．
参考答案：
ρ（sin θ+cos θ）=﹣r
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】圆ρ=r，可得直角坐标方程：x 2+y 2=r 2．圆ρ=﹣2rsin （θ+）（r ＞0），即ρ2=﹣
2ρrsin（θ+
），可得直角坐标方程：x 2
+y 2
=﹣
rx ﹣
ry ．相减可得公共弦所在直线的方程．
【解答】解：圆ρ=r，可得直角坐标方程：x 2
+y 2
=r 2
． 圆ρ=﹣2rsin （θ+
）（r ＞0），即ρ2
=﹣2ρrsin（θ+
），可得直角坐标方程：x 2
+y 2
=﹣
rx ﹣
ry ．
相减可得公共弦所在直线的方程： x+
y+r=0．即
ρ（sin θ+cos θ）=﹣r ．
故答案为：
ρ（sin θ+cos θ）=﹣r ．
【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、两圆的公共弦，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 4个男同学和3个女同学站成一排
（1）甲乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？ （2）甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
（3）女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？（3个女生身高互不相等）
参考答案：
【考点】D3：计数原理的应用．
【分析】（1）因为要求甲乙之间恰有3人，可以先选3人放入甲乙之间，再把这5人看做一个整体，与剩余的2个元素进行全排列，注意甲乙之间还有一个排列；
（2）先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，由于甲乙要相邻，故再把甲、乙排好，最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中；
（3）因为女同学从左往右按从高到低排，所以3个同学的顺序是确定的，只需先不考虑女同学的顺序，把7人进行全排列，再除以女同学的一个全排列即可得到结果． 【解答】解：（1）甲乙两人先排好，有
种排法，再从余下的5人中选3人排在甲乙两人中间，有
种排法；这时把已排好的5人看作一个整体，与最后剩下得2人再排，又有
种排法这时共有
=720种不同排法．
（2）先排甲、乙和丙3人以外的其他4人有
种排法，由于甲乙要相邻，故再把甲、乙排好，有
种排法，最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中，有
种排法，共有
=960（种）不同排法．
（3）从7个位置中选出4个位置把男生排好，有
种排法；然后再在余下的3个空位置中排女生，
由于女生要按高矮排列，故仅有一种排法，共有
=840种不同排法．
19. （本小题10分）证明：
参考答案：
证明：
要证
只需证
即证
即证
即证
因为显然成立
所以原命题成立
略
20. （本小题满分12分）已知数列的前n项和为且满足：．
（1）证明数列是等比数列，并求出它的通项公式；
（2）若等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且，又成等比数列，求.
参考答案：
（1）由可得，两式相减得
，，又，
故是首项为，公比为的等比数列，∴.
（2）设的公差为，由得，可得，可得，
故可设，又.
由题意可得，解得.
∵等差数列的各项为正，∴∴.
21. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=
（1）求△ABC的周长；
（2）求sin（A﹣C）的值．
参考答案：
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）由条件利用余弦定理求得c的值，可得△ABC的周长a+b+c的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，求得sin（A﹣C）的值．
【解答】解：（1）△ABC中，已知a=1，b=2，cosC=，∴c===2，故△ABC的周长为a+b+c=5．
（2）∵b=c，∴B=C，∴cosB=cosC=，∴sinB=sinC=，
∴cosA=﹣cos（B+C）=﹣cosBcosC+sinBsinC=﹣+=，∴sinA==，
∴sin（A﹣C）=sinAcosC﹣cosAsinC=﹣=﹣．
【点评】本题主要考查余弦定理，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
22. 已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）首先可以将带入函数中，然后对这三个区间分别进行讨论，最后得出结果；
（2）首先可以求出函数的最小值，然后根据“对任意恒成立”列出不等式，最后计算得出结果。

【详解】（1）当时，不等式为，
当时，不等式为，即；
当时，不等式为，无解；
当时，不等式为，即；
综上可得不等式的解集为.
（2）因为，
而对任意恒成立，
所以，于是或，
即或，故。