2021-2022学年辽宁省沈阳七中文艺路校区九年级(上)期中数学试卷(附详解)

2021-2022学年辽宁省沈阳七中文艺路校区九年级（上）
期中数学试卷
1.下列关于x的方程中，是一元二次方程的为()
A. (a−1)x2−2x=0
B. x2+2
x
=−1
C. x2−4=2y
D. −2x2+3=0
2.若a
b =c
d
=e
f
=3(3b+d−2f≠0)，则3a+c−2e
3b+d−2f
的值是()
A. 1
B. 3
2
C. 3
D. 无法确定
3.如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五
边形POGMN的面积之比是()
A. 2：3
B. 3：2
C. 6：4
D. 9：4
4.如图所示的几何体，从上面看得到的图形是()
A.
B.
C.
D.
5.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：
EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与
△ABF的面积之比为()
A. 9：16
B. 3：4
C. 9：4
D. 3：2
6.在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参
加此会的学生为x名，据题意可列方程为()
A. x(x+1)=253
B. x(x−1)=253
C. 1
2x(x+1)=253 D. 1
2
x(x−1)=253
7.若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为()
A. 48
B. 24
C. 14
D. 12
8.如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，△OAB与△OCD的面
积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是()
A. C1
C2=3
2
B. S1
S2=3
2
C. OB
CD =3
2
D. OA
OD =3
2
9.对于反比例函数y=7
x
有以下四个结论，其中正确的是()
A. 图象在第二、第四象限
B. 当x<0时，y随x的增大而减小
C. 当x<7时，y>1
D. 若点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)在该图象上，且x1<x2<0<x3，则y1<y2<
y3
10.如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠DEC=30°，
连接AD、BE，若AC=3，AD=4，则线段BE的长是()
A. 3
4
√3 B. 3√3 C. 4√3 D. 5√3
11.在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次
从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有______个．
12.在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，OC在y轴
上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，位似比为
1
2
，那么点B′的坐标是______．
13.已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，且AC<CB，则AC的长度为______．
14.关于x的一元二次方程(k−2)x2+2kx+k=0有实数根，则k的取值范围是______
15.如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于点A，B，与双曲线y=k
x
在第二象限交于点C，若S△ABO=3
2
，AB=3BC，则k的值是______．
16.如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，
DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的
延长线于点F，BD=2，CD=1.下列结论：①∠AED=
∠ADC，②DE
DA =1
2
，③BF=2AC，④BE=DE.其中结论
正确的个数有______．17.解方程：
(1)x2−16=x+4．
(2)3
4
x2=1−
1
2
x.
18.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E为AD中点，过A点作BC的平行线交CE的
延长线于点F，且AF=BD．
(1)求证：BD=CD；
(2)如果AB=AC=4，BD=2，直接写出四边形ABDF的面积．
19.随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立
“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为______；
(2)用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
20.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+3与x轴交于点C，与直线AD交于
点A(4
3,5
3
)，点D的坐标为(0,1)
(1)求直线AD的表达式；
(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与
△BCE相似时，求点E的坐标．
21.为了测量路灯(OS)的高度，把一根长1.5米的竹竿
(AB)竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子(BC)长
为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米(BB′)，
再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长(B′C′)为
1.8米，求路灯离地面的高度．
22.列方程(组)解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
23.如图，平面直角坐标系中，直线y1=kx+b分别与x，y轴交于点A，B，与双曲线
y2=m
分别交于点C，D(点C在第一象限，点D在第三象限)，作CE⊥x轴于点E，
x
OA=4，OE=OB=2．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请直接写出使y1>y2的x取值范围；
(3)在y轴上是否存在一点P，使S△ABP=S△CEP？若存在，请直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
24.矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，设运动时间为t(单位：s)．
(1)如图1，若动点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2
是点P运动时，△APC的面积S(cm2)随时间t(秒)变化的函数图象．
①点P的运动速度是______ cm/s，m+n=______ ；
②若PC=2PB，求t的值；
(2)如图3，若点P，Q，R分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方
向匀速运动，当点Q到达点C(即点Q与点C重合)时，三个点随之停止运动；若点P运动速度与(1)中相同，且点P，Q，R的运动速度的比为2：4：3，是否存在t，使△PBQ 与△QCR相似，若存在，求出所有的t的值；若不存在，请说明理由．
25.【探究证明】(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻
边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、
DC于点G、H，求证：EF
GH =AB
AD
；
【结论应用】(2)如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB=2，BC=3.求折痕EF的长；
【拓展运用】(3)如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB=2，BC=3，EF=2√10
，请求BP的长．
3
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.当a=1时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】C
【解析】解：∵a b=c d=e f=3(3b+d−2f≠0)，
∴a=3b，c=3d，e=3f，
∴3a+c−2e 3b+d−2f =9b+3d−6f
3b+d−2f
=3(3b+d−2f)
3b+d−2f
=3．
故选：C．
利用比例的性质得到a=3b，c=3d，e=3f，再把它们代入3a+c−2e
3b+d−2f
中进行分式的运算即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握常用的性质(内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质)是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，
∴相似比为3：2，
∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的面积比是9：4，
故选：D．
根据相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：从上边看是一个六边形，中间为圆．
故选：D ．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是要把所看到的棱都表示到图中．
5.【答案】A
【解析】解：∵DE ：EC =3：1，
∴DE ：DC =3：4，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB =CD ，AB//CD ，
∴DE ：AB =3：4，∠FDE =∠FBA ，∠FED =∠FAB ，
∴△DEF∽△ABF ，
∴△DEF 的面积与△ABF 的面积之比=(34)2=916=9:16，
故选：A ．
根据平行四边形的性质得到AB =CD ，AB//CD ，然后证明出△DEF∽△ABF ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，注意相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键． 每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关
系为：1
2
×学生数×(学生数−1)=总握手次数，把相关数值代入即可求解．【解答】
解：参加此会的学生为x名，每个学生都要握手(x−1)次，
∴可列方程为1
2
x(x−1)=253，
故选：D．
7.【答案】B
【解析】解：∵菱形的两条对角线分别长8、6，
∴S=1
2
×8×6=24
故选：B．
由菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形面积=1
2
ab(a、b是两条对角线的长度)是本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，
∴C1
C2=3
2
，A正确；
∴S1
S2=9
4
，B错误；
∴OB
OD =3
2
，C错误；
∴OA：OC=3：2，D错误；
故选：A．
根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．9.【答案】B
【解析】解：A、反比例函数y=7
x
中，k=7>0，
∴图象在第一、第三象限，本选项说法错误；
B、当x<0时，y随x的增大而减小，本选项说法正确；
C、当x<7时，在第一象限y>1，本选项说法错误；
D、点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)在该图象上，x1<x2<0<x3时，y2<y1<0<y3，本选项说法错误；
故选：B．
根据反比例函数的性质判断即可．
本题考查的是反比例函数的性质，当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小、当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
10.【答案】C
【解析】解：∵在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠DEC=30°，∴∠ACD=∠BCE，BC=√3AC，EC=√3CD，
∴BC
AC =EC
CD
=√3，
∴△ECB∽△DCA，
∴EB
DA =CB
CA
=√3，
∵AD=4，∴EB=4√3，故选：C．
证明△ECB∽△DCA，推出EB
DA =CB
CA
=√3，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明△ECB∽△DCA，推出EB
DA =CB
CA
=
√3．
11.【答案】7
【解析】解：设袋中红球有x个，
根据题意，得：x
3+x
=0.7，
解得：x=7，
经检验：x=7是分式方程的解，
所以袋中红球有7个，
故答案为：7．
根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
12.【答案】(−2,3)或(2,−3)
【解析】解：由题意可得：点B的坐标为(−4,6)，
∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，位似比为1
2
，
∴点B′的坐标为(−4×1
2,6×1
2
)或(−4×(−1
2
),6×(−1
2
))，即(−2,3)或(2.−3)，
故答案为：(−2,3)或(2,−3)．
根据题意求出点B的坐标，根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
13.【答案】3−√5
2
【解析】解：由于C为线段AB=1的黄金分割点，
且AC<CB，
则AC=1−√5−1
2=3−√5
2
．
故本题答案为：3−√5
2
．
根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段；则AC=1−√5−1
2=3−√5
2
．
理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．14.【答案】k≥0且k≠2
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式Δ≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．
根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围． 【解答】
解：∵关于x 的一元二次方程(k −2)x 2+2kx +k =0有实数根，
∴{k −2≠0
Δ=(2k)2−4k(k −2)≥0
, 解得：k ≥0且k ≠2． 故答案为：k ≥0且k ≠2．
15.【答案】−4
3
【解析】解：作CD ⊥x 轴于D ，CE ⊥y 轴于E ， ∵CD//OB ，CE//OA ，
∴△AOB∽△ADC ，△AOB∽△CEB ， ∵S △ABO =3
2，AB =3BC ， ∴S △ADC S △AOB
=(AC
AB )2，
∴
S △ADC
3
2
=(4
3)2，
∴S △ADC =8
3
，
同理证得S △CEB =1
6，
∴S 四边形BODC =S △ADC −S △AOB =8
3−3
2=7
6，
∴S 矩形EODC =S 四边形BODC +S △CEB =7
6+1
6=4
3， ∵S 矩形EODC =|k|，k <0， ∴k =−4
3， 故答案为−43．
作CD ⊥x 轴于D ，CE ⊥y 轴于E ，通过证得三角形相似求得S △ADC =8
3，进一步求得S 四边形BODC =S △ADC −S △AOB =7
6，同理证得S △CEB =1
6
，即可求得S 矩形EODC =|k|=4
3，
根据反比例函数的性质即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，证得矩形EODC的面积是解题的关键．
16.【答案】3个
【解析】解：①∠AED=90°−∠EAD，∠ADC=90°−∠DAC，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC，
故①正确；
②∵∠EAD=∠DAC，
∠ADE=∠ACD=90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴DE
DA =DC
AC
=3
AC
，
∵AC的值未知，
故②不一定正确；
③连接DM，
∵MD为斜边AE的中线，
∴DM=MA，
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，∴DM//BF//AC，
∴FM
MC =BD
DC
=2
1
，
∴BF
AC =FM
MC
=2
1
，
∴BF=2AC，故③正确；
④由③知，BM MA =BF AC =2
1， ∵
BD DC
=2
1
， ∴DM//AC ，DM ⊥BC ， ∴∠MDA =DAC =DAM ， ∵∠ADE =90°， ∴DM =MA =ME ， ∵BM =2AM ， ∴BE =EM ， ∴ED =BE ， 故④正确， 故答案为：3个．
由AD 平分∠CAB ，得∠EAD =∠DAC ，从而可得∠AED =∠ADC ，故①正确；由△ADE∽△ACD ，得DE
DA =DC
AC =3
AC ，故②不一定正确；连接DM ，由DM//BF//AC ，得FM
MC =BD
DC =2
1，则BF
AC =FM
MC =21，故BF =2AC ，可知③正确；由DM =MA =ME ，得BM =2AM ，可知BE =EM ，可判断④正确．
本题主要考查了角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵x 2−16=x +4，
∴x 2−x −12=0， ∴(x +3)(x −4)=0， 则x +3=0或x −4=0， 解得x 1=−3，x 2=4；
(2)整理为一般式，得：3x 2+2x −4=0， ∵a =3，b =2，c =−4， ∴Δ=22−4×3×(−4)=52>0， 则x =−b±√b 2
−4ac 2a =−2±2√136=−1±√133，
∴x 1=−1+√13
3
，x 2=
−1−√13
3
．
【解析】(1)先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
(2)先整理成一般式，再利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
{∠AFE=∠DCE AE=DE
∠AEF=∠DEC
，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
(2)解：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°
∵AF=BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF//BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形，
∵BD=2，AB=4，
∴AD=√AB2−BD2=√42−22=2√3，
∴四边形ABDF的面积=BD⋅AD=2×2√3=4√3．
【解析】(1)先由AF//BC，利用平行线的性质可证∠AFE=∠DCE，而E是AD中点，那
么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，从而有BD=CD；
(2)四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB=
AC ，BD =CD ，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD ⊥BC ，即∠ADB =90°，那么可证四边形AFBD 是矩形，进而解答即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识．
19.【答案】(1)1
4；
(2)画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4， 所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率=4
16=1
4． 【解析】 【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率． (1)直接利用概率公式计算；
(2)画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】
解：(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率=1
4； 故答案为：1
4； (2)见答案．
20.【答案】解：(1)设直线AD 的解析式为y =kx +b ，
将A(43,5
3)，D(0,1)代入得：{4
3k +b =5
3b =1
，
解得：{k =1
2
b =1
．
故直线AD 的解析式为：y =1
2x +1；
(2)∵直线AD与x轴的交点为(−2,0)，∴OB=2，
∵点D的坐标为(0,1)，
∴OD=1，
∵y=−x+3与x轴交于点C(3,0)，∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD与△BEC相似，
∴①BD
BC =BO
BE
=OD
CE
，
∴√5
5=2
BE
=1
CE
，
∴BE=2√5，CE=√5，
∵BC⋅EF=BE⋅CE，
∴EF=2，CF=√CE2−EF22=1，∴E(2,2)，
②OB
BC =OD
CE
，
∴2
5=1
CE
，
∴CE=5
2
，
∴E(3,5 2 ).
即：E(2,2)，或(3,5
2
).
【解析】(1)设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A(4
3,5
3
)，D(0,1)的坐标
代入即可；
(2)由直线AD与x轴的交点为(−2,0)，得到OB=2，由点D的坐标为(0,1)，得到OD=1，
求得BC=5，根据相似三角形的性质得到BD
BC =BO
BE
=OD
CE
或OB
BC
=OD
CE
，代入数据即可得到结
论．
本题考查了一次函数综合题，熟练运用相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式等知识点，正确的作出图形是解题的关键．
21.【答案】解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，∴SO//AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴BC
BC+OB =AB
OS
，即1
1+OB
=1.5
ℎ
，
解得OB=2
3
ℎ−1①，同理，∵A′B′⊥OC′，∴△A′B′C′∽△SOC′，
∴B′C′
B′C′+BB′+OB =A′B′
OS
， 1.8
1.8+4+OB
=1.5
ℎ
②，
把①代入②得，1.8
5.8+2
3ℎ−1
=1.5
ℎ
，
解得ℎ=9(米)．
答：路灯离地面的高度是9米．
【解析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．先根据AB⊥OC′，OS⊥OC′可知△ABC∽△SOC，同理可得△A′B′C′∽△SOC′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出ℎ的值．
22.【答案】解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
(38−x−22)(160+x
3
×120)=3640，
整理得x2−12x+27=0，
∴x=3或x=9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x=9，
∴售价为38−9=29元．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
【解析】设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)在Rt △AOB 中，OA =4，OE =OB =2，
故点A 、B 的坐标分别为(−4,0)、(0,2)，
将点A 、B 的坐标代入直线的表达式，
得{b =20=−4k +b
， 解得{k =12b =2
， 故直线AB 的表达式为y =12x +2①，
当x =2时，y =12x +2=3，故点C(2,3)，
将点C 的坐标代入反比例函数表达式得：3=m 2，解得m =6，
故反比例函数的解析式y 2=6x ②；
(2)联立①②并整理得：x 2+4x −12=0，解得x =2或−6，
故点D(−6,−1)，
观察函数图象知，y 1>y 2的x 取值范围是x >2或−6<x <0；
(3)设点P 的坐标为(0,t)，
则S △CEP =12CE ×OE =12×2×3=3，
而S △ABP =12BP ×OA =12|2−t|×4=2|2−t|=3，
解得t =12或72，
故点P 的坐标为(0,12)或(0,72).
【解析】(1)在Rt △AOB 中，OA =4，OE =OB =2，再用待定系数法即可求解；
(2)观察函数图象即可求解；
(3)设点P 的坐标为(0,t)，则S △CEP =12CE ×OE =12×2×3=3，而S △ABP =12BP ×OA =12|2−t|×4=2|2−t|=3，即可求解．
本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用绝对值的方法确定PB 的长度，属于中考常考题型．
24.【答案】227
【解析】解：(1)①观察图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，故点P的运动速度为
8
4
=2(cm/s)．
∴m=6
2=3，此时n=1
2
×6×8=24，
∴m+n=3+24=27．
故答案为：2，27．
②∵∠B=90°，PC=2PB，
∴∠PCB=30°，
∴PB=BC⋅tan30°=8√3
3
(cm)，
∴PA=(6−8√3
3
)(cm)，
∴t=PA
2=3−4√3
3
．
(2)∵点P的运动速度为2cm/s，且点P，Q，R的运动速度的比为2：4：3，∴点Q的运动速度为4cm/s，点R的运动速度为3cm/s．
如图3中，由题意，PB=6−2t，BQ=4t，CQ=8−4t，CR=3t，
①当PB
QC =BQ
CR
时，△PBQ与△QCR相似，
∴6−2t
8−4t =4t
3t
，
解得t=7
5
，
经检验，t=7
5
是分式方程的解，且符合题意．
②当时，PB
CR =BQ
CQ
时，△PBQ与△QCR相似，
∴6−2t
3t =4t
8−4t
，
解得t=−5+√37或−5−√37(舍弃)，
经检验，t=−5+√37是分式方程的解，且符合题意．
综上所述，满足条件的t的值为7
5
或−5+√37．
(1)①由图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，故点P的运动速度为8
4
=2(cm/s).再求出点P在AB的运动时间即可解决问题．
②证明∠PCB=30°，解直角三角形求出PB即可解决问题．
(2)分两种情形：①当PB
QC =BQ
CR
时，△PBQ与△QCR相似，②当
PB
CR
=BQ
CQ
时，△PBQ与△QCR
相似，分别构建方程求解即可．
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)：如图①，过点A作AP//EF，交BC于P，过点B作BQ//GH，交CD于Q，BQ交AP于T．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//DC，AD//BC．
∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，
∴AP=EF，GH=BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠BAT+∠ABT=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP=∠C=90°，AD=BC，
∴∠ABT+∠CBQ=90°，
∴∠BAP=∠CBQ，
∴△ABP∽△BCQ，
∴AP
BQ =AB
BC
，
∴EF
GH =AB
AD
．
(2)如图②中，连接BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AB=CD=2，
∴BD=√BC2+CD2=√32+22=√13，∵D，B关于EF对称，
∴BD⊥EF，
∴EF
BD =AB
AD
，
∴
√13=2
3
，
∴EF=2√13
3
．
(3)如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，AD=BC=3，∠A=90°，
∴2√10
3
DG
=2
3
，
∴DG=√10，
∴AG=√DG2−AD2=√10−9=1，
由翻折可知：ED=EG，设ED=EG=x，在Rt△AEG中，∵EG2=AE2+AG2，
∴x2=AG2+AE2，
∴x 2=(3−x)2+1，
∴x =53
， ∴DE =EG =53
， ∵FH ⊥EG ，
∴∠FHG =∠HGP =∠GPF =90°，
∴四边形HGPF 是矩形，
∴FH =PG =CD =2，
∴EH =√EF 2−FH 2=(2√103
)=23， ∴GH =FP =CF =EG −EH =53−23=1，
∵PF//EG ，EA//FB ，
∴∠AEG =∠IPF ，
∵∠A =∠FJP =90°，
∴△AEG∽△JFP ，
∴
AE FJ =AG PJ =EG FP ， ∴43FJ =1
PJ =531， ∴FJ =45，PJ =35， ∴BJ =BC −FJ −CF =3−45−1=65
， 在Rt △BJP 中，BP =√BJ 2+PJ 2=√(35)2+(65
)2=3√55．
【解析】(1)过点A 作AP//EF ，交CD 于P ，过点B 作BQ//GH ，交AD 于Q ，BQ 交AP 于T ，如图1，易证AP =EF ，GH =BQ ，△ABP∽△BCQ ，然后运用相似三角形的性质就可解决问题．
(2)利用探究的结论解决问题即可．
(3)如图③中，过点F 作FH ⊥EG 于H ，过点P 作PJ ⊥BF 于J.利用探究的结论求出DG ，利用勾股定理求出AG ，设ED =EG =x ，在Rt △AEG 中，根据EG 2=AE 2+AG 2，求出DE ，EG ，证明△AEG∽△JFP ，推出AE FJ =AG
PJ =EG
FP ，求出FJ ，PJ 即可解决问题． 本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数
解决问题，属于中考压轴题．。