2021北京101中学高二(上)期中数学(教师版)

2021北京101中学高二（上）期中
数 学
考生须知：1.本试卷满分100分。

2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。

3.试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题须用2B 铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。

一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．（5分）已知直线l 过点(0,3)A ，且与直线10x y ++=平行，则l 的方程是( ) A ．20x y +-=
B ．20x y -+=
C ．30x y +-=
D ．30x y -+=
2．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥
D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥
3．（5分）已知点(1,1)A -，(1,1)B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )
A ．222x y +=
B ．22x y +=
C ．221x y +=
D ．224x y +=
4．（5分）设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB BC ⋅=，0AD AC ⋅=，0AB AD ⋅=，M 为BC 中点，则AMD ∆是( ) A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
5．（5分）已知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||(AB = )
A ．2
B ．
C ．
D ．6
6．（5分）对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有(OP xOA yOB zOC x =++，y ，)z R ∈，则“2x =，2y =-，1z =”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
7．（5分）如图，在平面四边形ABCD 中，设1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-．使A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )
A ．AC BD '⊥
B ．90BA
C ∠'=︒
C ．CA '与平面A B
D '所成的角为60︒ D ．四面体A BCD '-的体积为1
3
8．（5分）在直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以线段AB 为直径的圆C 与直线40x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为( ) A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．1
2
π
9．（5分）如图，在三棱锥P ABC -中，5AB AC PB PC ====，4PA =，6BC =，点M 在平面PBC 内，且
AM =AM 与BC 所成的角为α，则cos α的最大值为( )
A B C ．
25
D 10．（5分）在平面斜坐标系xoy 中45xoy ∠=︒，点P 的斜坐标定义为：“若0102OP x e y e =+（其中12,e e 分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量），则点P 的坐标为0(x ，0)y ”．若1(1,0)F -，2(1,0)F ，且动点(,)M x y 满足12||||MF MF =，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )
A ．0x -=
B ．0x +=
C 0y -=
D 0y +=
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）过点(2,1)P 且倾斜角比直线101y x =-的倾斜角小
4
π
的直线的方程是 ． 12．（5分）已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果(2AB =，1-，4)-，(4AD =，2，0)，
(1AP =-，2，1)-．对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④//AP BD ．其
中正确的是 ．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知(3,3)A -，(9,4)B -，现沿x 轴将坐标平面折成90︒的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为 ．
14．（5分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，底面是以ABC ∠为直角的等腰三角形，
2AC =，13BB =，D 是11A C 的中点，点F 在线段1AA 上，当AF = 时，CF ⊥平面1B DF ．
15．（5分）已知点P 为圆22:4O x y +=上任意一点，过点P 作两直线分别交圆OA ，B 两点，且60APB ∠=︒，则
22||||PA PB +的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共4小题，共45分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．已知过点(1,1)A -的直线l 与直线1:260l x y +-=相交于B 点，且||7AB =，求直线l 的方程．
17．（15分）如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，
E ，
F 分别为BC ，11A C 的中点． （Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；
（Ⅰ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；
（Ⅰ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1
ACD 没有公共点，求1
AD
DB 的值．
18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点
(2,4)A ．
（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且||||BC OA =，求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．
19．（10分）将边长为1的正三角形ABC 的各边都(n n N ∈且2)n 等分，过各分点做平行于其他两边的直线，将这个三角形等分成小三角形，各小三角形的顶点称为结点，在每个结点处放置了一个实数，满足以下两个条件：①A ，B ，C 三点上放置的数分别为a ，b ，c ；②在每个由有公共边的两个小三角形组成的菱形中，两组相对顶点上放置的和相等．
（1）当2n =，1a =，2b =，3c =时，如图1，ABC ∆的三个结点处放置的三个实数分别为x ，y ，z ，那么
x y z ++= （请直接写出答案）
； （2）当3n 时，如图2，与ABC ∆的边平行的直线上的三个连续的结点上放置的数为x ，y ，z ，那么求证：
2x y z y ++=．并求所有结点上最大数与最小数对应结点的距离r （规定当最大数与最小数相同时对应结点
的距离为0)；
（3）求结点上所有数的和S ．
2021北京101中学高二（上）期中数学
参考答案
一、选择题（共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．【分析】直接利用平行直线系的应用求出结果．
【解答】解：设过点(0,3)A ，且与直线10x y ++=平行的直线方程为0x y t ++=， 所以3t =-．
故直线的方程为30x y +-=． 故选：C ．
【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 2．【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A 的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B 的正误；用线面垂直的判定定理判断C 的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D 的正误．
【解答】解：A 、//m α，//n α，则//m n ，m 与n 可能相交也可能异面，所以A 不正确；
B 、//m α，//m β，则//αβ，还有α与β可能相交，所以B 不正确；
C 、//m n ，m α⊥，则n α⊥，满足直线与平面垂直的性质定理，故C 正确．
D 、//m α，αβ⊥，则m β⊥，也可能//m β，也可能m A β=，所以D 不正确；
故选：C ．
【点评】本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．
3．【分析】由线段的中点坐标公式和两点间的距离公式，分别算出圆的圆心和半径，即可得出所求圆的方程． 【解答】解：点(1,1)A -，(1,1)B -，
∴以线段AB 为直径的圆，圆心为AB 中点(0,0)
半径11
||22
r AB =
=因此，所求圆的方程为222x y += 故选：A ．
【点评】本题给出A 、B 的坐标，求以AB 为直径的圆方程．着重考查了线段中点坐标公式、两点间的距离公式和圆的方程等知识，属于基础题．
4．【分析】由1
()2
AD AM AD AB AC ⋅=⋅+，结合数量积的运算法则展开运算可得0AD AM ⋅=，从而得解．
【解答】解：因为M 为BC 中点， 所以1
()2
AM AB AC =+，
所以111
()()(00)0222
AD AM AD AB AC AD AB AD AC ⋅=⋅+=⋅+⋅=⨯+=，
所以AD AM ⊥，即AMD ∆为Rt △． 故选：C ．
【点评】本题考查空间向量的混合运算，熟练掌握空间向量的加法、数乘和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5．【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线:10l x ay +-=经过圆C 的圆心(2,1)，求得a 的值，可得点
A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得||A
B 的值．
【解答】解：圆22:4210C x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=， 表示以(2,1)C 为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线:10l x ay +-=经过圆C 的圆心(2,1)， 故有210a +-=，1a ∴=-，点(4,1)A --．
(AC ==，2CB R ==，
∴切线的长||6AB =．
故选：D ．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
6．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合空间四点共面的等价条件进行判断即可．
【解答】解：(OP xOA yOB zOC x =++，y ，)z R ∈，且P ，A ，B ，C 四点共面的等价条件是1x y z ++=． 若2x =，2y =-，1z =，满足2211x y z ++=-+=，则P ，A ，B ，C 四点共面， 但P ，A ，B ，C 四点共面，不一定有2x =，2y =-，1z =， 故2x =，2y =-，1z =是P ，A ，B ，C 四点共面的充分不必要条件， 故选：A ．
【点评】本题考查充分条件和必要条件的判断，根据空间四点共面的等价条件是解决本题的关键，考查推理能力，属于基础题．
7．【分析】A 用反证法判断；B 用勾股定理逆定理判断；C 求直线与平面成角判断；D 求三棱锥体积判断． 【解答】解：对于A ，假设A 对，AC BD '⊥，
因为BD CD ⊥，A C
CD D '=，
所以BD ⊥平面A CD '， 因为A D '⊂平面平面A CD '，
所以BD A D ⊥'，但45A DB ∠'=︒，矛盾，所以A 错；
对于B ，因为平面A BD '⊥平面BCD ，所以BD 是A D '在平面BCD 内投影， 又因为BD CD ⊥，所以CD A D ⊥'，
所以A C '=
又因为1A B '=，BC =，
所以222A C A B BC '+'=，所以90BAC ∠'=︒，所以B 对； 对于C ，因为CD BD ⊥，CD A D ⊥'，所以CD ⊥平面A BD '， 所以CA '与平面A BD '所成的角为45CA D ∠'=︒，所以C 错； 对于D ，取BD 中点O ，连接A O '，AO BD '⊥，
因为平面A BD '⊥平面BCD ，平面A BD '⋂平面BCD BD =，
所以A O '⊥平面BCD ，所以1111326A BCD V '-=⋅=，所以A 错．
故选：B ．
【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了直线与平面的位置关系，考查直线与平面成角问题，属于中档题．
8．【分析】由O 向直线40x y +-=作垂线，垂足为D ，当D 恰为圆与直线的切点时，圆C 的半径最小，此时圆的
直径为(0,0)O 到直线40x y +-=的距离，由此能求出圆C 面积最小值． 【解答】解：
AB 为直径，90AOB ∠=︒，
O ∴点必在圆C 上，
由O 向直线40x y +-=作垂线，垂足为D ， 则当D 恰为圆与直线的切点时，圆C 的半径最小，
此时圆的直径为(0,0)O 到直线40x y +-=的距离
d =
=，
∴此时圆的半径r =
∴圆C 面积最小值22min S r ππ==．
故选：B ．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题．
9．【分析】设线段BC 的中点为D ，连接AD ，过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，证明出PO ⊥平面ABC ，然后以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设BM mBP nBC =+，其中0m ，0n 且1m n +，求出363m n +-的最大值，利用空间向量法可求得cos α的最
大值．
【解答】解：设线段BC 的中点为D ，连接AD ， 5AB AC ==，D 为BC 的中点，则AD BC ⊥，
5BC =，则3BD CD ==，∴4AD ==，
同理可得4PD =，PD BC ⊥，
PD
AD D =，BC ∴⊥平面PAD ，
过点P 在平面PAD 内作PO AD ⊥，垂足为点O ，
因为4PA PD AD ===，所以，PAD ∆为等边三角形，故O 为AD 的中点， BC ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，则BC PO ⊥， PO AD ⊥，AD
BC D =，PO ∴⊥平面ABC ，
以点O 为坐标原点，CB 、AD 、OP 分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，
因为PAD ∆是边长为4的等边三角形，O 为AD 的中点，则sin 60OP PA =︒=
则(0A ，2-，0)、(3B ，2，0)、(3C -，2，0)、P ， 由于点M 在平面PBC 内，
可设(3,(6,0,0)(36,2)BM mBP nBC m n m n m =+=--+-=---， 其中0m ，0n 且1m n +，
从而(3,4,0)(36,2)(336,42)AM AB BM m n m m n m =+=+---=---， 因为||15AM =222(336)(42)1215m n m m --+-+=， 所以，222(336)16161(42)3m n m m m --=-+-=--+， 故当1
2
m =
时，216161m m -+-有最大值3，即2(363)3m n +-，
故33633m n +-，即363m n +-
所以，|||6(363cos |cos ,|
||||615
AM BC AM BC AM BC α⋅=<>==
=
⋅． 故选：D ．
【点评】本题主要考查异面直线所成的角，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
10．【分析】欲求点M 在斜坐标系中的轨迹方程，设(,)P x y ，只须求出其坐标x ，y 之间的关系即可，根据
12||||MF MF =，建立等式关系，解之即可求出点M 的轨迹方程．
【解答】解：设(,)M x y ，1(1,0)F -，2(1,0)F ，
∴由定义知，112[(1)]MF x e ye =-++，212[(1)]MF x e ye =--+，
由12||||MF MF =，得：1212|(1)||(1)|x e ye x e ye ++=-+，
∴
0y +=． 故选：D ．
【点评】本题是新信息题，读懂信息，斜坐标系是一个两坐标轴夹角为45︒的坐标系，这是区别于以前学习过的坐标系的地方，本小题主要考查向量的模、平面向量的基本定理及其意义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11．【分析】根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【解答】解：直线101y x =-的斜率为1， ∴可得倾斜角为
4
π
， ∴所求直线的倾斜角为
04
4
π
π
-
=，
又所求直线过点(2,1)P ， ∴所求直线的方程为1y =．
故答案为：1y =．
【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题． 12．【分析】利用向量垂直与平行的性质能求出结果．
【解答】解：由(2AB =，1-，4)-，(4AD =，2，0)，(1AP =-，2，1)-，知： 在①中，2240AP AB =--+=，∴AP AB ⊥，AP AB ∴⊥，故①正确；
在②中，4400AP AD =-++=，∴AP AD ⊥，AP AD ∴⊥，故②正确； 在③中，由AP AB ⊥，AP AD ⊥，AB AD A =，知AP 是平面ABCD 的法向量，故③正确；
在④中，(2BD AD AB =-=，3，4)，
假设存在λ使得AP BD λ=，则122314λλλ-=⎧⎪
=⎨⎪-=⎩，无解，
∴AP 与BD 不可能平行．故④不正确；
综上可得：①②③正确． 故答案为：①②③．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量垂直、向量平行等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
13．【分析】求出沿x 轴将坐标平面折成90︒的二面角后，点A 在平面xOy 上的射影为C 的坐标，作BD x ⊥轴，交
x 轴于点(9,0)D ，然后利用空间向量表示AB ，利用向量的模的性质进行求解，即可得到答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，(3,3)A -，(9,4)B -，
现沿x 轴将坐标平面折成90︒的二面角后，点A 在平面xOy 上的射影为(3,0)C -， 作BD x ⊥轴，交x 轴于点(9,0)D ，
所以AB AC CD DB =++，2
2
2
2
2222223124169AB AC CD DB AC CD AC DB CD DB =+++⋅+⋅+⋅=++=， 所以||13AB =． 故答案为：13．
【点评】本题考查了空间中两点之间的距离，涉及了二面角的应用，解题的关键是将立体几何问题转化为空间向量问题，属于中档题．
14．【分析】利用已知条件判断1B D ⊥平面11AA C C ，然后说明CF DF ⊥．设(03)AF x x =<<，由直角三角形的勾股定理，计算可得所求值．
【解答】解：由已知得1111A B B C =，又D 是11A C 的中点， 所以111B D AC ⊥，又侧棱1AA ⊥底面ABC ， 可得侧棱1AA ⊥平面111A B C ，又1B D ⊂平面111A B C ， 所以11AA B D ⊥，因为1111AA A C A =，
所以1B D ⊥平面11AA C C ，
又CF ⊂平面11AA C C ，所以1B D CF ⊥， 若CF ⊥平面1B DF ，则必有CF DF ⊥． 在平面11AA C C 中，
设(03)AF x x =<<，则13A F x =-， 则224CF x =+，
2221(3)DF x =+-，又2221310CD =+=，
所以221041(3)x x =+++-， 解得1x =或2． 故答案为：1或2．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，主要是垂直的判定，考查空间想象能力以及运算能力、推理能力，
属于中档题．
15．【分析】不妨设(1,0)P -，(0)2APO πθθ∠=<，根据圆的对称性得到22||||2sin(2)46
PA PB π
θ+=++，由
02
π
θ<
，求出22||||PA PB +的取值范围即可．
【解答】解：根据圆的对称性，可设(1,0)P -，(0)2APO π
θθ∠=<，
则2AOx θ∠=，223
BOx π
θ∠=
-， (cos2,sin 2)A θθ∴，4
(cos(2)3
B πθ+，4sin(2))3πθ+．
222||(cos21)(sin 2)22cos2PA θθθ∴=++=+，
222444
||(cos(2)1)(sin(2))22cos(2)333PB πθπθπθ=++++=++，
22||||4cos222sin(2)46PA PB π
θθθ∴+=+=++，
02
π
θ<
，∴
726
66π
π
θπ+
，32sin(2)466
π
θ∴<++， 22||||PA PB ∴+的取值范围是(3，6]．
故答案为：(3，6]．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，三角函数的图象与性质，考查运算求解能力及化归与转化思想，是中档题．
三、解答题（本大题共4小题，共45分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．【分析】设(,)B m n ，代入直线1l 的方程中，可得关系式①，再由两点间的距离公式可得关系式②，解之即可得
m 和n 的值，再由点斜式写出直线方程，即可．
【解答】解：设(,)B m n ，
因为点B 在直线1l 上，所以260m n +-=①，
因为||7AB =
7=②， 由①②，得2518230m m --=， 解得23
5
m =
，165n =-或1m =-，8n =，
当23(5B ，16)5-时，直线l 的方程为16
1
51(1)2315
y x -
--=
++，即3410x y +-=； 当(1,8)B -时，直线l 的方程为1x =-， 故直线l 的方程为3410x y +-=或1x =-．
【点评】本题考查直线的方程，两点间的距离公式等，考查分类讨论思想，运算求解能力，属于中档题． 17．【分析】()I 根据勾股定理即可证明OA OB =，从而可得对角线相等，得出结论；
()II 建立空间坐标系，求出平面11A ACC 的法向量m ，则线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值为|cos ,|EF m <>；
()III 设D 点坐标为(0，0y ，0)，求出平面1ACD 的法向量n ，令0n EF ⋅=求出0y 即可得出1
AD
DB 的值． 【解答】解：（Ⅰ）连结CO ．
C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，
CO ∴⊥平面11A ABB ． CO OB ∴⊥，OC OA ⊥，
由已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均相等， 所以AC BC =，且11A ABB 为菱形．
由勾股定理得OB
，OA OA OB ∴=，即11AB A B =． ∴四边形11A ABB 为正方形．
（Ⅰ）由（Ⅰ）知CO ⊥平面11A ABB ，CO OA ⊥，1CO OA ⊥．
在正方形11A ABB 中，1OA OA ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．
由题意得11(0,0,0),(O A A B C C
，
(E F ．
所以1(2,2,0),(0,A A AC =-=-． 设平面11A ACC 的法向量为(m x =，y ，)z ， 则100m AA m AC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪
⎩
，即0,0.
⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1x =，则1y =，1z =，于是(1m =，1，1)
． 又因为3(
2EF =， 设直线EF 与平面11A ACC 所成角为θ
，则||sin |cos ,|||||3m
EF m EF m EF θ⋅=<>=
== 所以直线EF 与平面1A AC ． （Ⅰ
）直线EF 与平面1ACD 没有公共点，即//EF 平面1
ACD ． 设D 点坐标为(0
，0y ，0)
，D 与O 重合时不合题意，所以00y ≠． 因为10(,0)A D y =-，1(A C =-． 设1(n x =，1
y ，1)
z 为平面1ACD 的法向量，
则1100n A D n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即
101110,0.
y y ⎧+=⎪⎨
=⎪⎩
令11x =，则10y =
11z =，于是(1n =
，1)． 若//EF 平面1ACD ，0n EF ⋅=． 又32(
2EF =，
00-=
，解得0y =
． 此时EF ⊂/平面1ACD ，
所以AD =
，1DB =． 所以
112
AD DB =．
【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
18．【分析】（1）设(6,)N n ，则圆N 为：222(6)()x y n n -+-=，0n >，从而得到|7|||5n n -=+，由此能求出圆N
的标准方程．
（2
）由题意得OA =2OA k =，设:2l y x b =+，则圆心M 到直线l
的距离：d =，由此能求出直线
l 的方程．
（3
）任意[2t ∈-
，2+，欲使TA TQ TP PQ =-=，此时，||10TA ，只需要作直线TA 的平行线，
，由此能求出实数t 的取值范围．
【解答】解：（1）N 在直线6x =上，∴设(6,)N n ，
圆N 与x 轴相切，∴圆N 为：222(6)()x y n n -+-=，0n >，
又圆N 与圆M 外切，圆22:1214600M x y x y +--+=，即圆22:(6)(7)25M x y -+-=， |7|||5n n ∴-=+，解得1n =，
∴圆N 的标准方程为22(6)(1)1x y -+-=．
（2
）由题意得OA =2OA k =，设:2l y x b =+，
则圆心M 到直线l
的距离：d ，
则||BC =
BC =
解得5b =或15b =-，
∴直线l 的方程为：25y x =+或215y x =-．
（3）TA TP TQ +=，即TA TQ TP PQ =-=，
又||10PQ 210
，解得[2
t ∈-2
+， 对于任意[2
t ∈-，2+，欲使TA TQ TP PQ =-=， 此时，||10TA ，
只需要作直线TA ，
必然与圆交于P 、Q 两点，此时||||TA PQ =，即TA PQ =
， 因此实数t 的取值范围为[2
t ∈-2+．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用． 19．【分析】（1）根据题意即可得出答案；
（2）条件②可叙述为：在所述菱形中，两相邻顶点上放置的数的差与另两个相邻顶点上放置的数的差相等，即可证明2x z y +=；分a b c l ===和a ，b ，c 不相等两种情况讨论即可得解；
（3）根据题意可知S 是a ，b ，c 的对称式（对称函数），因此a ，b ，c 的系数相等，即()S k a b c h =+++，其中k ，h 为待定系数，令0a b c ===，1a b c ===，求出k ，h ，即可得解． 【解答】（1）解：由题意可得123x z y
z x y x y z +=+⎧⎪
+=+⎨⎪+=+⎩
，所以6x y z ++=；
（2）证明：条件②可叙述为：在所述菱形中，两相邻顶点上放置的数的差与另两个相邻顶点上放置的数的差相等，
由此在图2中同一条线上的三个连续的结点上放置的数成等差数列（因为有两个结点既与这三个连续结点的前
两个构成菱形，也与后两个构成菱形），
所以2
x z y
+=；
由于等差数列的每一项都是首项与另一项的一次式，所以各结点上放置的数都是a，b，c的一次式，
若1
a b c
===，那么所放置的数均相等，所以0
r=，
若a，b，c不相等，设a最大，c最小，由于等差数列中，最大（最小）的项是首项或末项，所以在所放置的数中也是a最大，c最小，所以1
r=．
综上，1
a b c
===，0
r=；a，b，c不相等，1
r=；
（3）解：当a，b，c任意两个字母互换时，相当于改变三角形的位置，所以总和S保持不变，即S是a，b，c的对称式（对称函数），
因此a，b，c的系数相等，即()
S k a b c h
=+++，其中k，h为待定系数，
令0
a b c
-==，这时所有结点上的数为0，0
S=，从而0
h=，
令1
a b c
===，这时所有结点上的数为1，S等于结点的个数为
(1)(2) 12(1)
2
n n
n
++
++⋯++=，
从而
(1)(2)
6
n n
k
++ =，
所以
(1)(2)
()
6
n n
S a b c
++
=++．
【点评】本题考查了数列的应用，解题的关键是在每个由有公共边的两个小三角形组成的菱形中，两组相对顶点上放置的和相等，考查了逻辑推理能力和数学分析能力，难度较大．。