四川省资阳市简阳市镇金学区八年级数学上学期期中试卷(含解析) 新人教版

2016-2017学年四川省资阳市简阳市镇金学区八年级（上）期中数学试卷一、选择题
1．下列计算中，正确的是（）
A．（a3）2=a5B．（﹣3a2）3=﹣9a6C．（﹣a）•（﹣a）4=﹣a5 D．a3+a3=2a6
2．下列多项式是完全平方式的是（）
A．x2﹣4x﹣4 B．C．4a2﹣10ab+9b2 D．﹣a2﹣6a+9
3．在3.14，，，，，，0.2020020002…，﹣，中，无理数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．估计8﹣的整数部分是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．20142﹣2013×2015的计算结果是（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
6．如图：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB=CE，则下列结论：①DE=DF，②AE=AF，③BD=CD，④AD⊥BC．其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（）=16y4﹣9x4，括号内应填入下式中的（）
A．3x2﹣4y2B．4y2﹣3x2C．﹣3x2﹣4y2D．3x2+4y2
8．a、b、c是三角形的三条边长，则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（）
A．大于零B．小于零
C．等于零D．与零的大小无关
9．等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
10．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（1）可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．那么通过图（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+2b）=a2+ab﹣2b2
二、填空题
11．若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是．
12．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：．
13．若（x+1）（2x﹣3）=2x2+mx+n，则m= ，n= ．
14．计算：（﹣0.25）2014×42015= ．
三、解答题（共54分）
15．（16分）计算：
（1）（﹣2a）•（3a2﹣a+3）
（2）（x+3）（x+4）﹣（x﹣1）2
（3）（x+3）（x﹣3）（x2﹣9）
（4）2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
16．因式分解
（1）x4﹣2x3﹣35x2
（2）（x2+x）2﹣（x+1）2．
17．已知a，b在数轴上位置如图，化简﹣﹣﹣．
18．先化简，再求值：
[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x2﹣8x+y2﹣y+16=0．
19．已知：a+b=4，ab=1．求：
① a2+b2的值；
②a﹣b的值．
20．如图，C、F在BE上，∠A=∠D，AC∥DF，BF=EC．你知道AB与DE有什么关系？请说明理由．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．如果（x2+px+q）（x2﹣5x+7）的展开式中不含有x3，x2项，则p= ，q= ．
22．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有对全等三角形．
23．已知：2m=3，32n=5，则22m+10n= ．
24．已知如图数轴上A、B、C三点，AB=2BC，A、B表示的数分别是﹣2和1，则C表示的数为．
25．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，
根据前面各式的规律可得（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）= （其中n为正整数）．
五、计算题
26．若y=﹣1，化简求值[（2x+y）2﹣y（x+y）﹣4xy]÷2x．
27．已知：如图，AE，FC都垂直于BD，垂足为E、F，AD∥BC，BE=DF．求证：OA=OC．
28．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．
2016-2017学年四川省资阳市简阳市镇金学区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列计算中，正确的是（）
A．（a3）2=a5B．（﹣3a2）3=﹣9a6C．（﹣a）•（﹣a）4=﹣a5 D．a3+a3=2a6
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及合并同类项的知识求解即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、（a3）2=a6，故本选项错误；
B、（﹣3a2）3=﹣27a6，故本选项错误；
C、（﹣a）•（﹣a）4=（﹣a）5=﹣a5，故本选项正确；
D、a3+a3=2a3，故本选项错误．
故选C．
【点评】此题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及合并同类项的知识．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
2．下列多项式是完全平方式的是（）
A．x2﹣4x﹣4 B． C．4a2﹣10ab+9b2 D．﹣a2﹣6a+9
【考点】完全平方式．
【分析】根据完全平方式的定义即可解答．完全平方式是一个三项式，首尾两项是两个式子的平方，中间是首尾两项积的二倍的形式，据此即可解答．
【解答】解：x2+x+=x2+2×x×+（）2=（x+）2．
故选B．
【点评】此题主要考查了完全平方式的结构特点，注意两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．
3．在3.14，，，，，，0.2020020002…，﹣，中，无理数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】无理数．
【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数，由此即可判定选择项．
【解答】解：在3.14，，，，，，0.2020020002…，﹣，中，
根据无理数的定义可得，无理数有：，，，0.2020020002…四个．
故选D．
【点评】此题主要考查了实数的分类．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…估计8﹣的整数部分是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】估算无理数的大小．
【专题】计算题；实数．
【分析】找出已知式子的整数部分即可．
【解答】解：∵16＜20＜25，
∴4＜＜5，即﹣5＜﹣＜﹣4，
∴3＜8﹣＜4，
则8﹣的整数部分是3，
故选A
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．20142﹣2013×2015的计算结果是（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】平方差公式．
【分析】根据平方差公式得出20142﹣（2014﹣1）×（2014+1），再计算即可．
【解答】解：原式=20142﹣（2014﹣1）×（2014+1），
=20142﹣20142+1），
=1，
故选A．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
6．如图：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且FB=CE，则下列结论：①DE=DF，②AE=AF，③BD=CD，④AD⊥BC．其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】证明题．
【分析】根据角平分线性质求出DF=DE即可；根据勾股定理和DE=DF即可求出AE=AF；求出AB=AC，根据等腰三角形的三线合一定理即可判断③④正确．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，∴①正确；
由勾股定理得：AF=，AE=，
∵AD=AD，DF=DE，
∴AE=AF，∴②正确；
∵AF=AE，BF=CE，
∴AB=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴BD=DC，AD⊥BC，
∴③④都正确；
∴正确的有4个．
故选D．
【点评】本题考查了勾股定理，角平分线性质和等腰三角形的性质等的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，题目比较典型，难度不大．
7．（﹣3x2﹣4y2）（）=16y4﹣9x4，括号内应填入下式中的（）
A．3x2﹣4y2B．4y2﹣3x2C．﹣3x2﹣4y2D．3x2+4y2
【考点】平方差公式．
【分析】利用平方差公式的结果特征判断即可．
【解答】解：∵16y4﹣9x4=（4y2+3x2）（4y2﹣3x2）=（﹣3x2﹣4y2）（3x2﹣4y2），
∴（﹣3x2﹣4y2）（3x2﹣4y2）=16y4﹣9x4，
故选：A．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
8．a、b、c是三角形的三条边长，则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（）
A．大于零B．小于零
C．等于零D．与零的大小无关
【考点】因式分解的应用；三角形三边关系．
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边．把代数式a2﹣2ab+b2﹣c2分解因式就可以进行判断．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．
∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．
故选：B．
【点评】此题考查了利用完全平方公式配方，利用平方差公式因式分解，三角形的三边关系，利用完全平方公式配方整理成两个因式乘积的形式是解题的关键．
9．等于（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】首先判断出a＜0，把a平方后移入根号内，即可求出答案．
【解答】解：a=﹣=﹣，
故选D．
【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当m≥0时，m=，当m≤0时，m=
﹣．
10．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（1）可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．那么通过图（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+2b）=a2+ab﹣2b2
【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】根据空白部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列式整理即可得解．
【解答】解：
空白部分的面积：（a﹣b）2，
还可以表示为：a2﹣2ab+b2，
∴此等式是（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
故选B
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用两种方法表示出空白部分的面积是解题的关键．
二、填空题
11．若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是9 ．
【考点】平方根．
【分析】首先根据整数有两个平方根，它们互为相反数可得2a﹣1﹣a+2=0，解方程可得a，然后再求出这个正数即可．
【解答】解：由题意得：2a﹣1﹣a+2=0，
解得：a=﹣1，
2a﹣1=﹣3，﹣a+2=3，
则这个正数为9，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
12．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．
【考点】命题与定理．
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．
【点评】本题考查了命题的改写．任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．
13．若（x+1）（2x﹣3）=2x2+mx+n，则m= ﹣1 ，n= ﹣3 ．
【考点】多项式乘多项式．
【分析】先根据多项式乘多项式的法则展开，再根据对应项的系数相等求解即可．
【解答】解：∵（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2+（2﹣3）x﹣3，
又∵（x+1）（2x﹣3）=2x2+mx+n，
∴m=﹣1，n=﹣3．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则，根据对应项的系数相等求解是解题的关键．
14．计算：（﹣0.25）2014×42015= 4 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用积的乘方运算法则变形，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=（﹣0.25×4）2014×4=4，
故答案为：4
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题（共54分）
15．计算：
（1）（﹣2a）•（3a2﹣a+3）
（2）（x+3）（x+4）﹣（x﹣1）2
（3）（x+3）（x﹣3）（x2﹣9）
（4）2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
【考点】整式的混合运算．
【分析】（1）根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可；
（2）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可；
（3）根据平方差公式进行计算即可；
（4）根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）（﹣2a）•（3a2﹣a+3）=﹣6a3+2a2﹣6a；
（2）（x+3）（x+4）﹣（x﹣1）2=x2+7x+12﹣x2+2x﹣1
=9x+11；
（3）（x+3）（x﹣3）（x2﹣9）=（x2﹣9）2
=x4﹣18x2+81；
（4）2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
=（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）
=（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）
=332﹣1．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握单项式乘以多项式、平方差公式和完全平方公式运算法则是解题的关键．
16．因式分解
（1）x4﹣2x3﹣35x2
（2）（x2+x）2﹣（x+1）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）根据提公因式法，可得答案；
（2）根据平方差公式，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：（1）原式=x2（x2﹣2x﹣35）；
（2）原式=[（x2+x）+（x+1）][（x2+x）﹣（x﹣1）]
=（x2+2x+1）（x2+1）
=（x+1）2（x2+1）．
【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．
17．已知a，b在数轴上位置如图，化简﹣﹣﹣．
【考点】二次根式的加减法；实数与数轴．
【分析】本题利用实数与数轴的关系，判断a+b、a﹣b的符号，利用=|a|， =|b|进行计算．【解答】解：由a，b在数轴上的位置可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，a﹣b＜0，
∴﹣﹣﹣
=﹣（a+b）+a﹣b+a﹣b
=a﹣3b．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值是大数减小数．
18．先化简，再求值：
[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x2﹣8x+y2﹣y+16=0．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】首先把x2﹣8x+y2﹣y+16=0化成非负数的和的形式，根据非负数的性质求得x和y的值，把所求的式子首先利用完全平方公式和单项式与多项式的乘法法则计算，对括号内的式子合并同类项，然后计算除法即可化简，最后代入数值计算即可．
【解答】解：x2﹣8x+y2﹣y+16=0即x2﹣8x+16+y2﹣y+=0，
则（x﹣4）2+（y﹣）2=0，
则x﹣4=0且y﹣=0，
解得：x=4，y=．
原式=[x2﹣4y2﹣（x2+8xy+16y2）]÷4y
=[x2﹣4y2﹣x2﹣8xy﹣16y2]÷4y
=（﹣8xy﹣20y2）÷4y
=﹣2x﹣5y，
当x=4，y=时，原式=8﹣=．
【点评】本题考查了整式的化简求值，以及非负数的性质，正确对已知的式子进行变形求得x和y 的值是关键．
19．已知：a+b=4，ab=1．求：
① a2+b2的值；
②a﹣b的值．
【考点】完全平方公式．
【分析】①先根据完全平方公式进行变形，再整体代入求出即可
②利用完全平方公式列出关系式，把a+b与ab的值代入，开方即可求出a﹣b的值．
【解答】解：①∵a+b=4，ab=1，
∴a2+b2
=（a+b）2﹣2ab
=42﹣2×1=15；
②∵a+b=4，ab=1，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=16﹣4=12，
则a﹣b=±2．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式是解此题的关键，注意：完全平方公式是（a ±b）2=a2±2ab+b2．
20．如图，C、F在BE上，∠A=∠D，AC∥DF，BF=EC．你知道AB与DE有什么关系？请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先求出BC=EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠DFC，再根据等角的补角相等求出∠ACB=∠DFE，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=DE，全等三角形对应角相等可得∠B=∠E，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥DE．
【解答】解：AB=DE且AB∥DE．
理由如下：∵BF=EC，
∴BF﹣CF=EC﹣CF，
即BC=EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACF=∠DFC，
∴180°﹣∠ACF=180°﹣∠DFC，
即∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，，
∴AB=DE，∠B=∠E，
∴AB∥DE，
综上所述，AB与DE的关系是AB=DE且AB∥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．如果（x2+px+q）（x2﹣5x+7）的展开式中不含有x3，x2项，则p= 5 ，q= 18 ．
【考点】多项式乘多项式．
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p、q看作常数合并关于x的同类项，令x3，x2项的系数为0，构造关于p、q的二元一次方程组，求出p、q的值．
【解答】解：∵（x2+px+q）（x2﹣5x+7）=x4+（p﹣5）x3+（7﹣5p+q）x2+（7﹣5q）x+7q，
又∵展开式中不含x3，x2项，
∴p﹣5=0，7﹣5p+q=0，
解得p=5，q=18．
故答案为5，18．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
22．已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么，图中共有 3 对全等三角形．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证．
【解答】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴图中共有3对全等三角形．
故答案为：3．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
23．已知：2m=3，32n=5，则22m+10n= 225 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的运算性质即可求出答案．
【解答】解：32n=（25）n=25n=5，
∴22m+10n=22m×210n=（2m）2×（25n）2=9×25=225，
故答案为：225
【点评】本题考查幂的运算性质，要注意公式的灵活运用．
24．已知如图数轴上A、B、C三点，AB=2BC，A、B表示的数分别是﹣2和1，则C表示的数为
+．
【考点】实数与数轴．
【分析】根据A、B两点表示的数分别为﹣2和1，求出AB的值，再根据AB=2BC，即可得出C点表示的数．
【解答】解：∵A、B两点表示的数分别为﹣2和1，
∴AB=1+2，
∵AB=2BC，
∴BC=AB=+，
∴C点表示的数是：1+（+）=+；
故答案为+．
【点评】此题考查了实数与数轴，求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较大的数，就用较小的数加上两点间的距离．
25．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，
根据前面各式的规律可得（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）= x n+1﹣1 （其中n为正整数）．
【考点】平方差公式．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】观察其右边的结果：第一个是x2﹣1；第二个是x3﹣1；…依此类推，则第n个的结果即可求得．
【解答】解：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…x+1）=x n+1﹣1．
故答案为：x n+1﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式，发现规律：右边x的指数正好比前边x的最高指数大1是解题的关键．
五、计算题
26．若y=﹣1，化简求值[（2x+y）2﹣y（x+y）﹣4xy]÷2x．
【考点】整式的混合运算—化简求值；二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可求得x的值，则y的值即可求得．首先利用完全平方公式和单项式与多项式的乘法法则计算，对括号内的式子合并同类项，然后计算除法即可化简，最后代入数值计算即可．
【解答】解：根据题意得：x2﹣4=0，解得x=2或﹣2．
又∵x+2≠0，即x≠﹣2．
∴x=2．
则y=﹣1．
原式=（4x2+4xy+y2﹣xy﹣y2﹣4xy）÷2x
=（4x2﹣xy）÷2x
=2x﹣y，
当x=2，y=﹣1时，原式=4+=．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件以及整式的化简求值，正确理解完全平方公式以及二次根式的性质求得x的值是关键．
27．已知：如图，AE，FC都垂直于BD，垂足为E、F，AD∥BC，BE=DF．求证：OA=OC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠D，再求出BF=DE，然后利用“角边角”证明△ADE 和△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，再利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠B=∠D，
∵AE，FC都垂直于BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
即BF=DE，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OA=OC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键，难点在于二次证明三角形全等．
28．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题．
【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；
（2）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CE﹣CD=AD﹣BE；
（3）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CD﹣CE=BE﹣AD．
【解答】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；
（2）证明：与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；
（3）解：DE=BE﹣AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．。