2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(9)对数与对数函数

课时作业(九) [第9讲 对数与对数函数]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身 1．若lg2＝a ，lg3＝b ，则lg108＝________，lg 1825
＝________(用a ，b 表示)． 2．用“＜”“＞”填空：
log 0.27________log 0.29；log 35________log 65；(lg m )1.9________(lg m )2.1(其中m >10)．
3．函数y ＝log 2(x 2＋2x )的单调递增区间为________．
4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭
⎫21－x ＋a 为奇函数，则a 的值是________． 能力提升
5．函数f (x )＝log 2x 2＋2的值域为________．
6．[2011·江苏卷] 函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．
7．在同一坐标系中，三个函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象如图K9－1所示，那么a ，b ，c 的大小关系是________．
图K98．设f (x )＝log 3(3x ＋1)＋12
ax 是偶函数，则a 的值为________． 9．已知函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，若f (2)<f (3)，则实数a 的取值范围是________．
10．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．
11．[2011·宿迁模拟] 若函数f (x )＝log (a 2－3)(ax ＋4)在[－1,1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________．
12．[2012·苏南四校联考] 已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，
若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝________.
13．(8分)(1)用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：
log a xy z ；log a x 2y 3z
； (2)求值：lg8＋lg125－lg2－lg5lg 10lg0.1
.
14．(8分)(1)若log a 45
<1(a >0且a ≠1)，求实数a 的取值范围； (2)若log a 2<log b 2<0，求a 、b 、1三数的大小关系．
15．(12分)在函数f (x )＝log 12
(x 2－2ax ＋3)中． (1)若其在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围；
(2)若其在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围．
16．(12分)[2012·东海调研] 设函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，对于任意正实数m ，n 恒有f (mn )＝f (m )＋f (n )，且当x >1时，f (x )>0，f (2)＝1.
(1)求f ⎝⎛⎭⎫12的值；
(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(3)求方程4sin x ＝f (x )的根的个数．
课时作业(九)
【基础热身】
1．2a ＋3b 3a ＋2b －2 [解析] lg108＝lg(22×33)＝2lg2＋3lg3＝2a ＋3b ，
lg 1825
＝lg18－lg25＝lg(2×32)－lg52＝lg2＋2lg3－2lg5＝lg2＋2lg3－2(1－lg2)＝3lg2＋2lg3－2＝3a ＋2b －2.
2．＞ ＞ ＜ [解析] 对于log 0.27与log 0.29的大小比较，可利用函数y ＝log 0.2x 在定义域内单调减；对于log 35与log 65的大小比较，可先利用y ＝log 5x 单调增，再结合倒数法则；而对于(lg m )1.9与(lg m )2.1的大小比较，要对lg m 与1的大小关系进行讨论，因为m >10，所以填“＜”．
3．(0，＋∞) [解析] 令y ＝log 2u ，u ＝x 2＋2x ，可知外函数为增函数，所以内函数也要
为增函数且满足定义域，即：⎩⎪⎨⎪⎧
x >－1，x 2＋2x >0，
所以单调递增区间为(0，＋∞)． 4．－1 [解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (0)＝0，解得：a ＝－1.
【能力提升】
5.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ [解析] 令u ＝x 2＋2≥2，所以y ＝log 2u ≥12
. 6.⎝⎛⎭
⎫－12，＋∞ [解析] 因为y ＝log 5x 为增函数，故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为⎝⎛⎭
⎫－12，＋∞. 7．a >c >b [解析] 在图象上作出直线y ＝1，则它与图象的交点的横坐标即为相应的a ，b ，c ，从左向右依次为b ，c ，a .所以a >c >b .
8．－1 [解析] 由题意可得，f (－1)＝f (1)，即log 3(3－1＋1)－12a ＝log 3(3＋1)＋12
a ，解得a ＝－1.
9．a >1 [解析] 若a >1时，函数f (x )＝log a x 为单调递增函数，则f (2)<f (3)成立； 若0<a <1时，函数f (x )＝log a x 为单调递减函数，则f (2)<f (3)不成立．
则实数a 的取值范围是a >1.
10．2 [解析] 无论a >1还是0<a <1总有a 1＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.
11．(－2，－3)∪(2,4) [解析] 首先由a 2－3>0，可得a >3或a <－ 3.
当a >3时，函数g (x )＝ax ＋4在[－1,1]上是增函数，则需a 2－3>1，故a >2.又函数g (x )＝ax ＋4>0在[－1,1]上恒成立，故g (－1)＝4－a >0，即2<a <4.
当a <－3时，函数g (x )＝ax ＋4在[－1,1]上是减函数，则需0<a 2－3<1，故－2<a <－ 3. 又函数g (x )＝ax ＋4>0在[－1,1]上恒成立，故g (1)＝a ＋4>0，即a >－4.综上所述，实数a 的取值范围为(－2，－3)∪(2,4)．
12.52
[解析] 本题结合函数的性质考查数形结合方法的应用：由函数f (x )＝|log 2x |得到其图象如下图所示：
又因为f (m )＝f (n )，所以mn ＝x ＝m 2
或x ＝n 处．
当最大值出现在x ＝m 2时，即m 2＝14⇒m ＝12
⇒f (m )＝1＝f (n )⇒n ＝2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝12，n ＝2，
⇒m ＋n ＝52. 当最大值出现在x ＝n 处时，即n ＝4⇒m ＝14，m 2＝116
，f (m 2)>2，不符合题意．故m ＋n ＝52
. 13．[解答] (1)log a xy z
＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ； log a x 2y 3z
＝log a (x 2y )－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －13
log a z . (2)原式＝3lg2＋3lg5－lg2－lg512×(－1)＝2(lg2＋lg5)－12
＝－4lg10＝－4. 14．[解答] (1)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调增函数，log a 45<log a a ，∴a >45
，∴a >1.
当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调减函数，log a 45<log a a ，∴0<a <45，∴0<a <45
. 综上所述：实数a 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫0，45∪(1，＋∞)． (2)用倒数法则将不等式log a 2<log b 2<0改写成0>log 2a >log 2b ，由对数函数的单调性可求得0＜b ＜a ＜1.
15．[解答] (1)命题等价于“u ＝g (x )＝x 2－2ax ＋3>0对x ∈[－1，＋∞)恒成立”．对函
数g (x )的对称轴x 0＝a 进行讨论有：⎩⎪⎨⎪⎧ a <－1，g (－1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－1，Δ＝4a 2－12<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a <－1，a >－2或⎩⎨⎧ a ≥－1，－3<a <3，
∴a 的取值范围是(－2，3)．
(2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，原命题等价于⎩
⎪⎨⎪⎧ g (x )在(－∞，1]上为减函数，g (x )>0对x ∈(－∞，1]恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝a ≥1，g (1)>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥1，a <2，∴a 的取值范围是[1,2)． 16．[解答] (1)令m ＝n ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，
∴f (1)＝0.
令m ＝2，n ＝12
，则f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫2×12＝f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝f (1)－f (2)＝－1. (2)证明：设0<x 1<x 2，则x 2x 1
>1. ∵当x >1时，f (x )>0，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0.
∴f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1×x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭
⎫x 2x 1>f (x 1)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
(3)∵y ＝4sin x 的图象如下图所示：
又f(4)＝f(2×2)＝2，f(16)＝f(4
由y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，f(16)＝4，
可得y＝f(x)的图象大致形状如上图所示，由图象在[0,2π]内有1个交点，在(2π，4π]内有2个交点，在(4π，5π]内有2个交点，又5π<16<6π，后面y＝f(x)的图象均在y＝4sin x图象的上方．
故方程4sin x＝f(x)的根的个数为5个．。