数学物理方法作业习题第二篇第4章

数学物理方法作业习题第二篇第4章
习题
1. 解具有固定端的弦0≤x ≤l 的自由振动问题，如果弦的点的初始速度为零，而初始位移)()0,(x x u ?=： (1) 正弦曲线，即l x
n A x π?sin )(=，n 为整数； (2) 对称轴在直线l x 21=
上的抛物线，而顶点是点),2(h l
M ，即2)2()(l x h x --=?，这里24
1
l h =；
(3) 折线OAB ，其中l c l B h c A O <<0),0,(),,(),0,0(，讨论2
l
c =的
情况.
2. 解具有固定端的弦0≤x ≤l 的自由振动问题，如果弦的初始状态处于静止
)0)((=x ?，而初始速度)(x ψ为
(1) ],0[,const )(l x C x ∈==ψ；
(2) ??
∈∈=]
,[,0]
,[,)(0βαβαψx x v x ，其中0≤βα<≤l ；
(3) ??
+-∈+-∈-=],[,0]
,[,2)(cos )(00000ααααα
πψx x x x x x x x A x ，其中0≤αα+<-00x x ≤l .
3. 解均匀杆的纵振动（自由振动）问题，如果)()0,(x x u ?=，)()0,(x x u t ψ=，而端点：
(1)杆的一端0=x 是刚性固定，而另一端l x =是自由的； (2) 杆的两端是自由的；
(3) 杆的一端0=x 是自由的，而另一端l x =为弹性固定.
4. 解杆的自由纵振动，如果杆的一端0=x 是刚性固定的，而力P 施于另一端
l x =，在时刻0=t 时力P 停止作用，即解定解问题：
======0)0,(,)0,(0
,0),0(2x u x E x u u t u u a u t l x x xx tt σρ 这里σ为杆的横截面积，E 为杨氏模量.
5. 求解可变电流流过长度为l 的导线中的电流强度),(t x i ，如果没有漏电，且可以忽略电阻，假定在导线中（当0=t 时）初始电流等于零，而初始电压为l
x
E 2sin
0π，导线的左端)0(=x 是绝缘的，而右端)(l x =是接地的.
提示：问题归结为混合问题：
-=========l x
lL E i i i i i LCi t t
t l x x x xx tt 2cos 2,00,00000ππ
6. 解沿边缘固定的矩形薄膜)0,
0(b y a x <<<<的自由振动问题，如果
b
y
a
x
A u t ππsin
sin
=，00
==t t
u .
7. 解混合问题
======<<<<+=======y x u y x u u u u u y x u u a u t t t y y x x yy xx tt
4sin 3sin 5,2sin sin 30
)0,0(),(00
002π
πππ 8. 求解沿边缘固定的半径为a 的均匀圆薄膜的自由振动问题：
(1) 解混合问题
==+∞<=+=====0
)(,0)1(000
02
t t k t r a r r rr tt
u R r AJ u u u
u r
u c u μ，这里k μ是方程0)(0=μJ 的正根.
(2) 解混合问题
==+∞<=+=====)(),(,0)1(00
2r g u
r f u u u u r
u c u t t t r a r r rr tt
(3) 解混合问题
=-=+∞<=+=====0
),1(,0)1(022
00
2t t t r a r r rr
tt u R r A u u u u r u c u ， A 为常数. 提示：)(d )(10
0x xJ J x
=?ξξξ， )()4()(2d )(13
020
03x J x x x J x J x
-+=?ξξξ. 以上各小题中的2
c 是常数. 9. 解下列混合问题：
===><<+=====)(),()()0,10(,100
10x u
x u t g u u t x u x u u t t t x x x xx tt
ψ?有界，
(1) 若0)(,)2()2(121)(,
sin )(002=
-==x J x J x t t g ψ?；
(2) 若0)(,)
2()
2()(,
2cos )(00==
=x J x J x t t g ψ?； (3) 若1)(,1)()(,
1)(10=-=-=x x J x t t g ψμ?，其中1μ是方程
0)(0=μJ 的正根.
10. 设长度为l 的重均匀绳索，在端点l x =处悬挂，使绳索无初速离开平衡位
置，假定介质无阻力，在重力作用下，绳索的振动问题就归结为解混合问题：
===><<===0
)0,(),()0,(,0)0,0(,)(02x u x x u u u t l x xu a u t x l x x x tt ?有界这里g a =
，g 为重力加速度.
11. 已知长度为l ，侧面是绝热的均匀细杆，求杆中的温度分布),(t x u . 若(1) 杆端0=x ，l x =保持为零度。

而初始温度)()0,(x x u ?=，其
中设①A x =)(?（常数），②)()(x l Ax x -=?，A 为常数； (2) 杆端0=x 保持零度，而在l x =端与周围为零度的介质发生热交换，杆的初始温度)()0,(x x u ?=；
(3) 在杆的两端0=x 与l x =都有与周围为零度的介质热交换，而杆的初始温度为)()0,(x x u ?=；提示：其边界条件为：
0)(,0)(0=+=-==l x x x x hu u hu u .
(4) 杆端（0=x ，l x =）是绝热的，而初始条件为0)0,(u x u =（常数）；
(5) 杆端是绝热的，而初始温度分布为
<<<<==l
20,20,const )0,(0
x l
l x u x u 讨论当+∞→t 时),(t x u 的状态.
(6) 杆端是绝热的，而初始温度分布为
<<-<<=l
2,)(220,2)0,(00
x l x l l
u l x x l u x u ， 0
u 为常数，求),(lim t x u t +∞
→.
12. 设球心在坐标原点半径为a 的均匀球体，求球内的温度),(t r u .
若(1) 球的外侧球面保持为零度，即0),(==a r t r u ，而初始温度仅与到球
心的距离r 有关，即)(0r u t ?==；
(2) 在球面上与零度的介质发生按牛顿定律的对流热交换，而初始温度
)(0r u t ?==；
提示：半径为a ，球心在坐标原点的均匀球体，当球的任一点的温度仅与
该点离球心的距离r 有关的情况，热分布问题归结为热传导方程
)2
(2r rr t u r
u c u +=.
13. 有半径为1的球体，其上半球面的温度常保持为)0(0>u ，其下半球面的
温度常保持为C 0
0，试求球内的稳定温度分布),(θr u .
提示：问题归结为边值问题：
<<<<==+++π
θππθθθ
θθθθ2,020,),1(0sin cos 20
2
u u u u ru u r r rr
14. 已知半径为a 的球面保持温度为0u ，半球底面保持绝热，试求这个半球里
的稳定温度分布),(θr u . 提示：问题归结为解混合问题：
=??≤≤=<<<<<=?==0)20(,)20,20,(,020π
θθπ
θπ?πθu u u a r u a r
15. 解下列混合问题：
(1) ??
====><<+=0
)0,()0,(0),(),0()
0,0(,22x u x u t l u t u t l x b u a u t xx tt ，这里b 为常数.
(2) ??
====><<+=0
)0,()0,(0
),(),0()
0,0(,
cos 2x u x u t u t u t x t u a u t xx tt ππ
16. 设长为l 的均匀弦，弦的两端0=x 与l x =固定，初始条件为零，弦所受
外力密度（连续分布）为t A t x p ωρsin ),(=，),2,1( =≠
n l
a
n πω，求解弦的强迫振动问题.
17. 设长度为l 的均匀杆，将杆0=x 端悬挂，求解在重力作用下杆的纵向振动
问题（设l x =端是自由的）.归结为解混合问题：
====><<+=0
)0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(,2x u x u t l u t u t l x g u a u t x xx tt
这里g 为重力加速度.
18. 设圆心在坐标原点半径为a 的均匀圆膜，如果它的边缘固定，初始条件为
零，假定介质无阻力，振动是由附加在薄膜一侧的均匀分布压力t p p ωsin 0=引起的，这里n c a
μω1
≠
，n μ是方程0)(0=μJ 的正根，求解此强迫振动问题.
提示：问题归结为解混合问题：
===><<++=====0
,0,0,)0,0(,sin 111
000
2t t t a r r r rr tt
u u u u t a r t u r u u c 有界ωρ
19. 解下列混合问题：
(1) ??
===><<++-=x e x u t l u t u t l x t x u u a u x x xx t πsin )0,(0 ),(),0()
0,0(,
2)2(2
(2) ??
===><
<+-+====x u u u t x x x x u u u t x x x xx t 0200
,0)
0,2
0(,cos 2sin 2ππ
(3)
+===><<--=--===20,0)0,0(,293cos sin 4920
022x u u u t x x x t u u u t x x x x xx t ππ
20. 设弦长为l ，一端0=x 为固定，而另一端l x =受t A ωsin 的力扰动作用，
这里),2,1( =≠k l
a
k πω，在时刻0=t 时位移和速度设为零，解此弦强迫的横振动问题归结为解下列定解问题：
=====0
)0,(,0)0,(sin ),(,0),0(2x u x u t A t l u t u u a u t xx tt ω 21. 设长度为l 的杆处于静止状态，它的一端0=x 刚性固定，在时刻0=t 沿杆作用在杆的自由端l x =为常力Q ，求杆的位移),(t x u . 此问题归结为解混合问题：
====><<=0
)0,(,0)0,(),(,0),0()0,0(,2x u x u E Q t l u t u t l x u a u t x
xx tt σ
其中E 为弹性模量，σ为杆的横截面积.
22. 解下列混合问题：
(1)
====><
<+=+-x x u x x u t
t u t t u t x x e x u u u t x t
t xx tt 2)0,(,cos )0,(),2(,2),0()
0,2
0(,cos 842πππ
(2) ??
====><<--+=--x
x u x e x u t
t u t u t x t x u u u u t x x x xx t tt )0,(,sin )0,(),(,0),0()
0,0(,2323πππ
(3)
===><
<+=x x u t u t u t x x x u u x xx t )0,(1
),2(,0),0()
0,2
0(,2sin sin 2ππ
(4) ??
===><<+-=-x x u t
t u t t u t x t t xt u u x x xx t 2cos )0,(),(,),0()
0,0(,cos 2)2(22ππ
23. 设半径为a 的无限长圆柱体，圆柱侧面保持常温0u ，圆柱体
内的初始温度，
求圆柱体内的温度分布),(t r u .
24. 设半径为a 的无限长圆柱体，它的侧面发生热辐射到温度为零的周围介质
中去，其初始温度为)(r ?，求圆柱体内的温度分布),(t r u . 提示：边界条件),(t r u 当0=r 为有界，0)(=+=a r r hu u . 25. 解下列定解问题：
(1) ?
===-=><<=++∞
→0),(,0),0(0
),(lim ),()0,()
0,0(,0y a u y u y x u a x x x u y a x u u y yy xx
(2) ??
====<<<<=+0),(,0)0,(0
),(,0),0()0,0(,
b x u x u y a u y u b y a x
c u u yy xx
这里c 为常数.
(3) =<=+=xy
u a r y u u a r yy xx )(,2
，其中222y x r +=.
(4)
=-=+∞<≤==><<=++∞→0),(lim ),1()0,()
0(,0),(,0),0()0,0(,
0y x u a x A x u y y a u y u y a x u u y yy xx
(5)
==≤≤==<<<<=+0
),(,0)0,()0(,),(,),0()0,0(,0b x u x u b y Ay y a u A y u b y a x u u y y
yy xx
(6) 在矩形区域?
≤≤-
≤≤22
,0),(:b y b
a x y x G ，求泊松方程在区域G 的边界上取零值的解. (7) ??
=-=+=0
4
a r yy xx u u u ，其中222y x r +=.
(8)
≤≤==≤≤==<<<<=+)
0(,),(,)0,()0(,),(,),0()0,0(,0a x B b x u B x u b y A y a u A y u b y a x u u y y
x x yy xx ，其中B A ,为已知常数.。