(集合、逻辑、不等式)2022年高三数学一轮复习易错题、精典题滚动训练(江苏等新高考地区)(解析版)

试卷02（集合、逻辑、不等式）
数 学
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．集合11,,,3663n n M x x n Z N x x n Z ⎧⎫⎧⎫
==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，则下列关系正确的是（ ） A ．M N ⊆ B ．M N ⋂=∅ C ．N M ⊆ D ．M N Z ⋃=
【答案】C 【分析】
将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系. 【详解】
221,,,66n n M x x n N x x n ++⎧⎫⎧⎫
==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
Z Z ，
2n +表示整数，21n 表示奇数，故N M ⊆，
故A 错误，B 错误，C 正确，而M N ⋃中的元素有分数，故D 错误. 故选：C ．
2．已知命题p ：0x R ∃∈，200220x x ++≤，则p ⌝是（ ） A ．x R ∀∈，2220x x ++≤
B ．x R ∀∈，2220x x ++>
C ．0x R ∃∈，2
00220x x ++>
D ．0x R ∃∈，2
00220x x ++≥
【答案】B 【分析】
根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得出答案. 【详解】
解：因为命题p ：0x R ∃∈，2
00220x x ++≤，
所以p ⌝：x R ∀∈，2220x x ++>. 故选：B.
3．已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是（ ） A ．a 2＜b 2 B ．a 2b ＜ab 2 C ．
2211ab a b < D ．
b a a b
< 【答案】C 【分析】
根据反例或作差法逐项判断后可得正确的选项. 【详解】
对于A ，取3,2a b =-=-，则a b <，但22a b >，故A 错误.
对于B ，取3,2a b =-=，则a b <，但221812a b ab =>-=，故B 错误.
而2332b a
a b
=->-=，故D 错误. 对于C ，因为2222110a b ab a b a b --=<，故2211
ab a b
<，故C 正确.
故选：C.
4．已知函数2,0()12,0
x
x f x x x -⎧≥⎪
=+⎨⎪<⎩，则不等式2(2)(2)f x x f x -<的解集为（ ）
A ．()(),04,-∞+∞
B ．()(),02,-∞+∞
C ．(),2-∞
D ．()2,4
【答案】A 【分析】
作出函数图像，由图像判断函数的单调性，进而解出答案. 【详解】
函数图像如图所示，
则不等式等价于2
20
020x x x x <⎧⇒<⎨-≥⎩
或22204x x x x ->≥⇒> ∴()(),04,x ∈-∞⋃+∞. 故选：A.
5．若00a b >>，，则下面结论正确的有（ ）
A ．()
222
2()a b a b +≤+
B ．若
142a b +=，则 92
a b +≥ C ．若22ab b +=，则4a b +≥ D ．若1a b +=，则ab 有最大值
1
2
【答案】B 【分析】
对于选项ABD 利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C 取特值即可判断即可. 【详解】
对于选项A ：若00a b >>，，
由基本不等式得222a b ab +≥，即(
)()
2
22
2a b
a b +≥+，
当且仅当a b =时取等号；所以选项A 不正确； 对于选项B ：若00a b >>，，
11412a b ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭
，
()11414522b a a b a a a b b b +=+⎛⎫⎛⎫⨯+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛
≥+= ⎝， 当且仅当
142a b +=且4b a
a b
=， 即
3,32
a b ==时取等号，所以选项B 正确； 对于选项C ：由00a b >>，，
()22ab b b a b +=+=， 即2a b b
+=
， 如2b =时，2
142
a b +=
=<，所以选项C 不正确； 对于选项D ：2
124
a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等
则ab 有最大值1
4
，所以选项D 不正确； 故选：B
6．不等式20ax x c -+>的解集为{21}x x -<<∣，则函数2y ax x c =++的图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【分析】
根据不等式的解集求出参数，从而可得22y x x =-++，根据该形式可得正确的选项． 【详解】
因为不等式20ax x c -+>的解集为{21}x
x -<<∣， 故021121a c a a ⎧
⎪<⎪
⎪
-⨯=⎨⎪
⎪
-+=⎪⎩
，故1,2a c =-=，故222y ax x c x x =++=-++，
令220x x -++=，解得1x =-或2x =，
故抛物线开口向下，与x 轴的交点的横坐标为1,2-， 故选：C ．
7．已知不等式8
201
x m x ++>-对一切()1,x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．8m <- B ．10m <-
C ．8m >-
D ．10m >-
【答案】D
【分析】
由参变量分离法可得8
21m x x -<+-，利用基本不等式求出当()1,x ∈+∞时，821
x x +-的最小值，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】
由参变量分离法可得821m x x -<+
-，当()1,x ∈+∞时，min
821m x x ⎛
⎫-<+ ⎪-⎝⎭，
当()1,x ∈+∞时，10x ->，()
88221221011x x x x +
=-++≥=--， 当且仅当3x =时，等号成立，故10m -<，解得10m >-. 故选：D.
8．若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()0,∞+
C ．()1,+∞
D ．(),0-∞
【答案】C 【分析】
由0a ≠，判别式0∆>及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】
因为关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，
所以2
044010
a a a a ⎧
⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪>⎩
，解得1a >，故实数a 的取值范围是()1,+∞.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知全集U =Z ，集合{}
210,A x x x =+≥∈Z ，{}1,0,1,2B =-，则（ ） A ．{}0,1,2A
B =
B ．{}
0A B x x ⋃=≥
C ．
(
){}1U
A B =-
D ．A B 的真子集个数是7
【答案】ACD 【分析】
求出集合A ，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解. 【详解】
{}1
210,,2A x x x x x x ⎧⎫=+≥∈=≥-∈⎨⎬⎩⎭
Z Z ，{}1,0,1,2B =-，
{}0,1,2A B =，故A 正确；
{}1,A B x x x Z ⋃=≥-∈，故B 错误；
1
,2U
A x x x Z ⎧⎫=<-∈⎨⎬⎩⎭
，所以(){}1U A B =-，故C 正确； 由{}0,1,2A
B =，则A B 的真子集个数是3217-=，故D 正确.
故选：ACD
10．给出下列四个命题，则不正确的是（ ）
A ．“(),0x ∀∈-∞，23x x >”的否定是“(),0x ∃∈-∞，23x x <”
B ．α∃、R β∈，使得()sin sin sin αβαβ+=+
C ．“2x >”是“2320x x -+>”的必要不充分条件
D ．“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件 【答案】ACD 【分析】
利用全称命题的否定可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用集合的包含关系可判断C 选项的正误；利用充分条件和必要条件的定义可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，“(),0x ∀∈-∞，23x x >”的否定是“(),0x ∃∈-∞，23x x ≤”，A 选项错误； 对于B 选项，取0αβ==，则()sin sin0sin0sin0sin sin αβαβ+==+=+，B 选项正确； 对于C 选项，解不等式2320x x -+>得1x <或2x >，
{}2x x > {1x x <或}2x >，所以，“2x >”是“2
320x
x -+>”的充分不必要条件，C 选项错误；
对于D 选项，充分性：若p q ∧为真，则p 、q 均为真命题，从而p q ∨为真，充分性成立；
必要性：若p q ∨为真，则p 、q 中至少一个为真命题，从而p q ∧不一定为真命题，必要性不成立.D 选项错误. 故选：ACD.
11．已知正实数a ，b 满足0a >，0b >，且1a b +=，则下列不等式成立的有（ ）
A ．22a b +≥
B ．221a b +<
C ．
11
4 a b
+≤ D ．1
2a a
+≥
【答案】AB 【分析】
选项A. 由直接由均值不等式可得22a b +≥，从而可判断；选项B. 由条件可得
22222a b a b ab +<++，从而可判断；选项C. 由
()11112b a
a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭
，利用均值不等式，从而可判断；选项D. 直接利用均值不等式可判断. 【详解】
解：∴22a b +≥==a b =时取等号，∴A 正确， ∴()2
222221a b a b ab a b +<++=+=，∴B 正确，
∴
()1111224a b b a a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，当且仅当a b =时取等号，∴C 错误， ∴0a >，0b >，1a b +=，∴01a <<，
∴12a a +
≥=，当且仅当1a =时取等号，∴12a a +>，D 错误．
故选：AB ．
12．下列说法正确的有（ ）
A ．21
x y x
+=的最小值为2
B ．已知1x >，则4
211
y x x =+
--的最小值为1 C ．若正数x 、y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为3
D ．设x 、y 为实数，若2291x y xy ++=，则3x y +.
【答案】BCD 【分析】
取0x <可判断A 选项；利用基本不等式可判断B 选项；分析得出213x y +=，将代数式2x y +与1213x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
相乘，展开后利用基本不等式可判断C 选项的正误；利用基本不等式可得出关于3x y +的不等式，解之可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，当0x <时，21
0x y x
+=<，A 选项错误；
对于B 选项，当1x >时，10x ->，
则()44212111111y x x x x =+
-=-++≥=--，
当且仅当1x =时，等号成立，B 选项正确；
对于C 选项，若正数x 、y 满足23x y xy +=，则221
3x y xy x y
+=
=+，
所以，()112212255333321x y x y x y y x x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=
+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭⎝+， 当且仅当1x y ==时，等号成立，C 选项正确；
对于D 选项，()
()2
2222
5
19965333
x y xy x xy y xy x y x y =++=++-=+-
⋅⋅ ()()()2
22
357333412
x y x y x y +≥+-⋅=+，
所以，()2
1237x y +≤
，可得3x y ≤+≤
当且仅当3y x =时，等号成立，故3x y +，D 选项正确. 故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若“2[2,1],20x x x m ∃∈-+->”为假命题，则实数m 的最小值为___________.
【答案】3
【分析】
写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m 的取值范围即可． 【详解】
解：命题“[]
2,1x ∃∈-，有220x x m +->”是假命题，
它的否定命题是“[]2,1x ∀∈-，有220x x m +-≤”，是真命题，
即[]2,1x ∀∈-，22x x m +≤恒成立，所以()
2
max
2m x x
+≥，[]2,1x ∀∈-
因为()()2
2
211f x x x x =+=+-，在()2,1--上单调递减，()1,1-上单调递增，又()13f =，()20f -=，
所以()max 3f x = 所以3m ≥，
m ∴的最小值为3，
故答案为：3．
14．已知实数x ＞0，y ＞0，且满足x 2y +xy 2﹣11xy +8x +2y ＝0，则x +y 的取值范围是________． 【答案】[2，9] 【分析】
根据已知条件可考虑等式两边同时除以xy ，使得等式中有“x y +”，进一步利用基本不等式求解即可． 【详解】
解：由0x >，0y >，得2211820x y xy xy x y +-++=等式两边同时除以xy ， 有28110x y x y ++
+-=，即28
11()x y x y
+=-+， 令x y t +=，则0t >．
由28282()()1010218y x x y x y x y x ++=+
++， 当且仅当
28y x x y =，2y x =，即23x =、4
3y =或3x =、6y =时，等号成立． 所以
28
18x y
t
+，所以1811t t -，所以18
11t t -，
所以211180t t -+，即(2)(9)0t t --，解得29t ， 当23x =
、4
3
y =时，2t x y =+=；当3x =、6y =时，9t x y =+=，
所以x y +的取值范围为[2，9]． 故答案为：[2，9]． 15．已知正数a ，b 满足
11
2a b +=，则31
a b -+的最大值为______．
【答案】
53
- 【分析】 由条件得21a b a =-，进而得
3511
[()]13313
a a
b a -=-+-+-，由基本不等式可得解. 【详解】
由
112a b +=，得21
a
b a =-， 由0,0a b >>，得1
2
a >，
所以333(21)1311
21
a a a a
a b a a --=-=-+-+-
5115[()]33133a a =-+-≤-=
-， 当且仅当
11
313a a =--
，即a =、 所以
3
1a b -+
.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是利用等量代换实现二元换一元3511[()]13313
a a
b a -=-+-+-，进而可利于基本不等式求最值.
16．已知正实数a ，b ，c 满足,1,a b c
a b ab abc
+++==则2+a b 的最小值为_________；实数c 的取值范
围为_________.
【答案】3+ 41,3
⎛⎤ ⎥⎝⎦
【分析】
由a b ab +=得1
b a b =
-代入2+a b 后应用基本不等式可得最小值，注意说明1b >，同时求出4ab ≥，然后由1a b c abc ++=得111c ab =+-，由此可得c 的范围． 【详解】
由a b ab +=得(1)(1)1a b --=，又0,0a b >>，所以1,1a b >>，111
a b =+-，
11
2122(1)311a b b b b b +=
++=+-+--33≥=，当且仅当12(1)1b b =--，
即212
b 时等号成立．所以2+a b 的最小值是3+
a b ab +=≥4ab ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，所以ab 的取值范围是[4,)+∞， 由1a b c abc ++=得11111
a b ab c ab ab ab +===+---， ∴4ab ≥，所以11013ab <≤-，141113ab <+≤-，即41,3c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．
故答案为：3+41,3
⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）已知集合{|25},{|121}A x x B x m x m =-<<=+≤≤-
（1）当3m =时，求()R A B ；
（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）
(){}5R A B =；（2）3m <.
【分析】
（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，然后分类B =∅和B ≠∅求解．
【详解】
（1）当3m =时，B 中不等式为45x ≤≤，即{}|45B x x =≤≤，
∴{|2R A x x =≤-或5}x ，则(){}5R A B =
（2）∴A B A ⋃=，∴B A ⊆，
∴当B =∅时，121m m +>-，即2m <，此时B A ⊆；
∴当B ≠∅时，12112215m m m m +≤+⎧⎪+>-⎨⎪-<⎩
，即23m ≤<，此时B A ⊆.
综上m 的取值范围为3m <.
18．（本小题12分）已知集合{}{}34,211A x x B x m x m =-≤<=-≤≤+
（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.
（2）命题q ：“x A ∃∈，使得x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）1m ≥-；（2）[4,2]-.
【分析】
（1）B A ⊆，分B 为空集和B 不是空集两种情况讨论求解即可；
（2）由x A ∃∈，使得x B ∈，可知B 为非空集合且A B ⋂≠∅，然后求解A
B =∅的情况，求出m 的
范围后再求其补集可得答案
【详解】
解：（1）∴当B 为空集时，121,2m m m +<->成立. ∴当B 不是空集时，∴B A ⊆，12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩
，∴12m -≤≤
综上∴∴，1m ≥-.
（2）x A ∃∈，使得x B ∈，∴B 为非空集合且,121,2A
B m m m ≠∅+≥-≤. 当A B =∅时2142m m -≥⎧⎨≤⎩，无解或132m m +<-⎧⎨≤⎩
，4m <-，
∴,[4,2]A B m ≠∅∈-.
19．（本小题12分）已知2()3f x x ax =-+.
（1）当2a =时，解不等式()6f x >；
（2）当()0,x ∈+∞时，2()1f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）{1x x <-或3x ；（2）4a ≤.
【分析】
（1）将参数代入函数，解一元二次不等式即可；
（2）将题设转化为2a 2x x
≤+
在()0,x ∈+∞上恒成立，应用基本不等式，即可求参数a 的范围. 【详解】
（1）当2a =时，()6f x >，即 2236x x -+>，
2230x x ∴-->，即()()130x x +->，解得1x <-或3x >，
∴原不等式的解集为{|1x x <-或3}x >.
（2）当()0,x ∈+∞时2()1f x x ≥-恒成立， 2231x ax x ∴-+≥-，即2a 2x x
≤+，
设2()24g x x x =+≥=，当且仅当1x =时等号成立， 4a ∴≤.
20．（本小题12分）已知正数a 、b 满足0a b ab +-=．
（1）求4a b +的最小值；
（2）求911
a
b a b 的最小值． 【答案】（1）9；（2）16．
【分析】
（1）由题意111a b +=，根据()4141a a b b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
+即可求出最值；
（2）因为111a b +=且a 、b 为正数，可得10a ->，10b ->，则919191111a b a b a b ，再用基本不等式即可求出答案． 【详解】
解：（1）因为0a b ab +-=，所以
111a b +=， 又因为a 、b 是正数，
所以()11444559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭
， 当且仅当23a b ==时等号成立，
故4a b +的最小值为9；
（2）因为111a b
+=且a 、b 为正数， 所以1a >，1b >，所以10a ->，10b ->， 则91919919102102161111111
a b a b a b a b ab a b ， 当且仅当43a =
、4b =时等号成立， 故
911
a
b a b 的最小值为16．
21．（本小题12分）已知函数()211f x x a x a ⎛
⎫=-++ ⎪⎝⎭
. （1）若不等式()0f x <解集为1{2}2
x x <<时，求实数a 的值； （2）[]1,2a ∀∈时，()0f x ≥恒成立，求实数x 的取值范围.
【答案】（1）12a =
或2a =；（2）1(,][2,)2-∞+∞. 【分析】
（1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系有152
a a +=，即可求参数a 的值；
（2）讨论0x ≤、0x >求符合题设的x 的范围，而当0x >时令1()g a a a
=+要使原不等式恒成立，只需[1,2]a ∈上max 1()g a x x ≤+
即可，进而取并集. 【详解】
（1）由题设，1{2}2x
x <<是2110x a x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭的解集， ∴152a a +=，整理得22520a a -+=，解得12
a =或2a =； （2）由题意，[]1,2a ∀∈时()0f x ≥恒成立，
当0x ≤时，[1,2]a ∈则有()21110f x x a x a ⎛
⎫=-++≥> ⎪⎝⎭
恒成立，符合题意； 当0x >时，()0f x ≥则有11a x a x
+≤+， 若1()g a a a =+，要使题设不等式恒成立，仅需max 1()g a x x ≤+即可，而[1,2]a ∈上5()[2,]2g a ∈， ∴152x x +≥，解之得1(0,][2,)2
x ∈⋃+∞ 综上，x ∈1
(,][2,)2-∞+∞.
22．（本小题12分）已知函数()2
f x x ax b =++(a ，b R ∈) （1）若关于x 的不等式()0f x >的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭
，求实数a ，b 的值； （2）若2a =-，0b =函数()()x f x kx =-，[]0,2x ∈，不等式()<1F x 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）若函数()0f x =在区间()1,2上有两个零点，求()1f 的取值范围.
【答案】（1）52
a =，1
b =；（2）102k -<<；（3）()0,1.
【分析】
（1）由()0f x >的解集知，()0f x =的两根为2-和12-
，根据韦达定理求得参数值. （2）由题意得，2a =-，0b =，所以()22f x x x =-，不等式恒成立等价于2121x x kx -<--<在[]
0,2恒成立.通过讨论x 的值，分离参数1122x k x x x
-
-<<+-在(]0,2恒成立，根据函数单调性，求得最值，从而求得k 的取值范围. （3）方程()0f x =在区间()1,2有两个不同的实根，应满足条件()()2110242012240
f a b f a b a a b ⎧=++>⎪=++>⎪⎪⎨<-<⎪⎪∆=->⎪⎩，把条件中的b 用(1)f 和a 表示，从而解得(1)f 的取值范围.
【详解】
（1）因为()0f x >的解集为()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭， 所以()0f x =的两根为2-和12
-， 由韦达定理得()()122122a b ⎧⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩
，
所以52
a =，1
b =. （2）由题意得，2a =-，0b =，所以()22f x x x =-，
因为()()1f x g x -<在[]0,2恒成立，
所以2121x x kx -<--<在[]0,2恒成立.
∴当0x =时，101-<<满足题意，
∴当(]0,2x ∈时，1122x k x x x
--<<+-在(]0,2恒成立， 即max min
1122x k x x x ⎛
⎫⎛⎫--<<+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
因为12y x x =--在(]0,2单调递增，12y x x
=+-在(]0,1上单调递减， 在(]1,2上单调递增，所以max 1122x x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，min
120x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 所以102
k -<<； （3）因为方程()0f x =在区间()1,2有两个不同的实根，
所以()()2110242012240
f a b f a b a a b ⎧=++>⎪=++>⎪⎪⎨<-<⎪⎪∆=->⎪⎩， 所以()11b f a =--，
所以()()()()21042110424110f a f a a a f a ⎧>⎪++-->⎪⎨-<<-⎪⎪--->⎩
， 由()131f a >-->-，由()()
24110a f a --->得()()24124f a <+<，得()11f <， 综上所述：()011f <<.
所以()1f 的取值范围是()0,1.。