第一讲 数学建模前言

认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型， 认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型，作 出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。 出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。 下面介绍两个基本的人口模型，并利用表 给出的近 下面介绍两个基本的人口模型，并利用表1给出的近 两个世纪的美国人口统计数据（单位：百万） 两个世纪的美国人口统计数据（单位：百万）对模型作 出检验，最后用它预报2010年美国的人口。 年美国的人口。 出检验，最后用它预报 年美国的人口
1910 92.0 68.4 1970 204.0 230.1
1920 106.5 83.7 1980 226.5 281.7
1930 123.2 102.5 1990 251.4 344.8
1940 131.7 125.5 2000 281.4 422.1
1950 150.7 153.6
初始时 ( t = 0 ) 的人口为 x0 ，从 t 到 增量为 ∆x ，则有
t + ∆t
时间内人口的
∆x = x ( t + ∆t ) − x ( t ) = r ⋅ x ( t ) ⋅ ∆t.
dx = rx . dt x ( 0 ) = x0
令 ∆t → 0, 则得到 x ( t ) 应满足的微分方程： 应满足的微分方程： ⑵
k
⑴Leabharlann 在上面的问题中，假定人口的增长率 r 是一个不变的常 在上面的问题中， 数。 200多年前，马尔萨斯基于增长率不变的基础，建立 多年前，马尔萨斯基于增长率不变的基础， 多年前 了著名的人口指数模型。 了著名的人口指数模型。
建模
并视其为连续变量， 记时刻 t 时的人口为 x ( t )，并视其为连续变量，
数学建模的意义
在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武 之地。 在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少 的工具。 数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓 了许多新的处女地。 数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现： 预测与决策；分析与设计；控制与优化；规划 与管理
数学建模实例之一——
人口增长的预报问题
1820 9.6 9.5 11.1 1880 50.2 49.5 37.3
1830 12.9 12.5 13.6 1890 62.9 65.1 45.7
1840 17.1 16.5 16.6 1900 76.0 85.6 55.9
表2 指数增长模型拟合美国人口数据的结果
年 人口 x1 x2 年 人口 x1 x2
数学建模概述
2、一些常见的模型分类 形象模型：根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称 为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。形象模型 又称为直观模型。 物理模型：物理模型主要指科研工作者为一定的目的根据相似原 理构造的模型，它不仅可以可以显示原型的外形或相似特征，而 且可以用来进行模拟实验，间接地研究模型的某些规律。 思维模型：思维模型是指人们对原型的反复认识，将获取的知识 以经验形式直接存储于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相 应的决策。 符号模型：用一些比较生动、鲜明的符号来刻画某种事物的特征， 这种模型称为符号模型。例如地图、电路图、化学结构表等。
y = rt + a,
其中： 其中：y
⑷
= ln x.a = ln x0 。
以1790年到 年到1900年的数据拟合⑷式，可得 年的数据拟合⑷ 年到 年的数据拟合
r = 0.2743/10年, x0 = 4.1884.
年到2000年的全部数据拟合⑷式，可得 年的全部数据拟合⑷ 以1790年到 年到 年的全部数据拟合
全国大学生数学建模竞赛简介
全国大学生数学建模于每年9月的第三个星期 五开始。数学建模竞赛以通讯形式进行，三名 大学生组成一队，可以自由地收集资料、调查 研究，使用计算机和任何软件，甚至上网查询， 但不得与队外任何人讨论。在三天时间内，完 成一篇包括模型的假设、建立和求解，计算方 法的设计和计算机实现，结果的分析和检验， 模型的改进等方面的论文。竞赛评奖以假设的 合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字 表述的清晰程度为主要标准。
从表中看出，人口每增加十亿的时间， 从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩 短至十二、三年。常此以往， 短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界 经济的发展。 经济的发展。
下表是我国在20世纪中人口发展的状况： 下表是我国在 世纪中人口发展的状况： 世纪中人口发展的状况
年 人口（ 人口（亿） 年 人口（ 人口（亿） 1908 3.0 1982 10.3 1933 4.7 1990 11.3 1953 6.0 2000 12.95 1964 7.2
课程介绍
本课程的目的 本课程主要是面对初次学习数学建模的学生， 主要介绍一些基本的应用数学知识和建模范例 来展示数学建模的基本思想和方法，使学生从 中领悟到什么是数学建模，怎样进行数学建模， 如何利用计算机进行建模，以及如何通过数学 模型去分析、解决实际问题，从而达到发展思 维和发展想象力的作用。 同时也为有的同学参加数学建模竞赛提供一定 的理论知识。
为了利用简单的最小二乘法将式取对数后得24以1790年到1900年的数据拟合式可得2517901900实际人口与计算人口的比较101220406080100计算人口曲线实际人口2617902000实际人口与计算人口比较101520100200300400500计算人口曲线实际人口27179018001810182018301840人口3953729612917142557295125165607491111136166185018601870188018901900人口232314386502629760217286376495651856203249305373457559指数增长模型拟合美国人口数据的结果28191019201930194019501960人口9201065123213171507179368483710251255153618801970198019902000人口20402265251428142301281734484221指数增长模型拟合美国人口数据的结果续29结果分析用上面得到的参数代入式将计算结果与实际数据作比较得下表表中计算人口1790年的数据拟合的结果
课程介绍
什么是数学建模？ 数学建模是一种具有创新性的科学方法，它将现实问 题简化、抽象为一个数学问题或数学模型，然后采用 恰当的数学方法求解，进而对现实问题进行定量分析 和研究，最终达到解决实际问题的目的。 本课程的主要内容 本课程主要介绍数学模型的基本概念、初等模型、优 化模型、微分方程与差分方程模型、模糊数学方法、 图与网络模型、插值与拟合模型、对策与决策模型等
y 容易求出该问题的解： 容易求出该问题的解：
20km/h，水速为5km/h。 ，水速为 。
= 20, x = 5 。即船速为
在上面的例中我们看到数学模型的一般意义： 在上面的例中我们看到数学模型的一般意义： 对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目 对于现实世界的一个特定对象， 的，根据特有的内在规律，作出一些必要的假设，运用 根据特有的内在规律，作出一些必要的假设， 适当的数学工具，得到一个数学结构。 适当的数学工具，得到一个数学结构。 注意：本课程的重点并不是单单介绍现实世界的数学 注意： 模型， 模型，而主要的是介绍建立数学模型的全部过程和求解 过程。 过程。
由这个方程容易解得： 由这个方程容易解得：
x ( t ) = x0e rt .
称为指数增长模型。 称为指数增长模型。
⑶
式表明人口将按指数规律无限增长。 当 r > 0 时，⑶式表明人口将按指数规律无限增长。故 参数估计：⑶式中的 r和 x0 可以用表 中的数据进行 可以用表1中的数据进行 参数估计： 估计。为了利用简单的最小二乘法， 估计。为了利用简单的最小二乘法，将⑶式取对数后得
数学建模
洛阳理工学院数理部 运士伟
全国大学生数学建模竞赛简介
全国大学生数学建模比赛是由教育部高教司和 中国工业与应用数学学会共同主办，面向全国 高等院校的规模最大、参与院校最多、涉及面 最广的一项科技竞赛活动。自1992年举办第一 届以来，参赛队平均每年以20%递增。 我校自2003年参赛以来，通过师生的共同努力， 取得了丰硕的成果。
1830 12.9 1890 62.9 1950 150.7
1840 17.1 1900 76.0 1960 179.3
美国人口数据统计
⑴指数增长模型 一个简单的人口模型是指数模型：记今年人口为 x0 ， 一个简单的人口模型是指数模型： 年增长率为 r ，则以后第 k 年的人口为
xk = x0 (1 + r ) .
数学建模概述
4、身边的数学模型 、 甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需 例 甲乙两地相距 ， 小时， 小时， 要30小时，从乙地到甲地逆水需要 小时，问船速、水 小时 从乙地到甲地逆水需要50小时 问船速、 速各为多少？ 速各为多少？ 分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的， 分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且 假定在考察问题的时间段中水的流速不变， 假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假 设之下，我们可以得出问题的解。 设之下，我们可以得出问题的解。 求解 设水的流速为 x ，船的行驶速度为 y，则当顺
随着科学技术的发展，在近几个世纪来， 随着科学技术的发展，在近几个世纪来，世界人口也 得到了快速的的增长。 得到了快速的的增长。下面的数据表反映了近几个世纪 的人口增长情况。 的人口增长情况。
年 人口（亿） 人口（ 年 人口（亿） 人口（ 1625 5 1974 40 1830 10 1987 50 1930 20 1999 60 1960 30
水航行时有关系
( x + y ) 30 = 750,
当船只逆水航行时， 当船只逆水航行时，有
( y − x ) 50 = 750,
即有方程组
( x + y ) 30 = 750, ( y − x ) 50 = 750.
上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。 上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。
年 人口 年 人口 年 人口 年 人口
1790 3.9 1850 23.2 1910 92.0 1970 204.0
1800 5.3 1860 31.4 1920 106.5 1980 226.5
表1
1810 7.2 1870 38.6 1930 123.2 1990 251.4
1820 9.6 1880 50.2 1940 131.7 2000 281.4
学习本课程的参考书
1.《数学模型（第三版）》 姜启源 谢金星 叶俊 编 高等教育出版社 2.《数学建模方法及其应用》韩中庚 编著高等 教育出版社 3.《数学实验》 萧树铁 主编 高等教育出版社
作业与考试
平时作业要求以论文形式完成，以Word形式编辑， 程序附在文档后。如果是参考别人论文、或者是从网 上下载部分内容、或者从其它参考书中摘录部分内容， 请在文章后附上参考文献。 严禁相互之间copy，严禁不加修改从网上下载；如果 发现，将对所有相同的论文不计成绩。 最后考试以一篇论文结束，平时作业将占总成绩的 60%，考试占40%。 作业上交到lyysw2002@邮箱中
数学建模概述
1、原型与模型 “原型”（Prototype）和“模型”是一对对偶体。 原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、 管理的实际对象。在科技领域中通常使用系统、过程 等词汇来描述相应的对象。 模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简 缩、提炼而构成的原型替代物。 尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。 原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与 某种目的有关的那些方面和层次。因此原型既简单于 原型，又高于原型。
数学建模概述
3、数学模型与数学建模 数学模型：对于现实中的原型，为了某个特定目的， 作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得 到一个数学结构。也可以说，数学建模是利用数学语 言（符号、式子与图象）模拟现实的模型。把现实模 型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特征。 它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对 象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控 制。 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型， 求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型 所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这 一应用过程称为数学建模。
1790—2000实际人口与计算人口比较 实际人口与计算人口比较
年 人口 x1 x2 年 人口 x1 x2
1790 3.9 4.2 6.0 1850 23.2 21.7 20.3
1800 5.3 5.5 7.4 1860 31.4 28.6 24.9
1810 7.2 7.2 9.1 1870 38.6 37.6 30.5
r = 0.2022 /10年, x0 = 6.0450.
计算人口曲线 实际人口
x 10 0 8 0 6 0 4 0 2 0 t 2 4 6 8 1 0 1 2
1790—1900实际人口与计算人口的比较 实际人口与计算人口的比较
计算人口曲线 实际人口
x 50 0 40 0 30 0 20 0 10 0 t 5 1 0 1 5 2 0