2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第87讲集合运算的方法

第87讲集合运算的方法
【知识要点】
、集合间的基本关系
1、子集
A 与
B ，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，我们就说集合 A 包含 B 包含集合 A ，也说集合 A 是集合B 的子集，记为A 二B 或B 二A •如：集合 {x | x ：： 1}就是集合 {x | x ：： 3}的子集.
2、真子集
B 的真子集•记为A B 或B 二A .如：集合{1,2, 3}就是集合{1,2,3, 4的真子集•
、相等关系
如果集合 A 是集合B 的子集，且集合 B 是集合A 的子集，此时，集合 A 与集合B 中的元
二、集合的运算
1、交集的定义： 一般地，由所有属于 A 且属于B 的兀素所组成的集合叫做 A 、B 的交集.记作A n B
(读作” A 交 B ”)，即 A n B ={x|x € A ，且 x € B }.
2、 并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 、B 的并集. 记作：A U B (读作” A
并 B ”)，即 A U B ={x|x € A ，或 x € B }.
3、 交集与并集的性质：
A n A = A A n = A n
B = B n A ； A U A = A A U = A A U B = B U A .
4、 全集与补集
(1)全集：如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集 •通常 用U 来表示•
(2)补集：设U 是一个集合，A 是U 的一个子集，由U 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 U
中子集A 的补集.记作：C u A={x|x ，U 且x^A}
三、集合的运算常用的有三种方法：列举法、维恩图和数轴
对于两个集合
于集合B ，或集
对于两个集合 A 与B ，如果A M B ，且集合B 中至少有一个元素不属于集合 A ，则称集合A 是 集合 素是 样的，因此集合 A 与集合B 相等•记作A =B .
四、涉及集合的关系（子集、真子集和相等）和运算（交集、并集和补集），不要遗忘了空集这个特
殊的集合.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.如：A B ,则A有可能是空集；
A二B （B^）则B也有可能是空集.
五、集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用
六、集合的运算注意端点的取等问题，最好是直接代入原题检验
【例1】已知集合A二{123,4,5} ,B={（x,y）x・ A,y・A,x-y A},则B中所含元素的个数为（）
A. 3
B. 6 C•匚 D.工
【解析】要使当无=5时，p可罡1,為3, 4-当x = 4时，尹可是1, 2； 3-当工=3时, 卩可是1,去当"2时，尹可罡1,综上共有10个，选"
【点评】由于集合A的元素个数很少，集合B的元素又与集合A的元素有关系，所以采用列举法解答，
直观准确.
【反馈检测1】定义集合运算：1宀一；\「一—；—；：,设A={1 , 2}, B={3,6},则集合：•的所
有元素之和为
解题步骤先把运算的集合的兀素在维恩图中表示出来，再观察写出结果
【例2】设全集U ={x|0 ：：：x JO, x. N }，若A"B 二{3} , AD C u B ={1,5,7} , C u Af] C u B
={9}，集合A =
【解析】= 3, 5, 7}, B={2, 3, 4, 6, 8} •
【点评】由于本题涉及有限集合的运算，并且关系较为复杂，所以选择维恩图解答更方便快捷
【反馈检测2】如图，已知U ={1，2, 3, 4, 5, 6，乙8，9, 10}, 集合A ={2，3, 4，5, 6, 8}, B ={1，
3,4,5,7}, C={2,4,5,7,8,9},用列举法写出图中阴影部分表示的集合为_____________________________________ . ____________
方法三数轴运算
使用情景一般涉及无限集的集合的运算•
【例3】集合A ={x|x2 5x -6 乞0}, B ={x|x2 3x 0}，求AU B,A“B .
【解析】^-{x|x a+ 5%-6<O} = {x|^<x<l}J B={x\^+3x>Qi^^>Q^x<-3\
如图所示，
T —3 0 1 倉
所以A\JB={^|^ + 5^-6<0}11{^ | x AO或x<-3}=JZ
jn^={Jt|^+5x-6<0}n{x|x>0^c<-3} = {x|-6<x<-3^0<jr<l}
【点评】（1）数轴是集合运算常用的工具，运用它解题时，要注意等号，即注意点的实心和空心
问题•（2）利用数轴解答集合的运算，实际上就是数形结合思想的体现.在今后的数学学习中要注意体会数学思想在解题中的应用和作用•
【反馈检测3】已知集合A ={x|x2 x -6 _0}，B ={x| x2 -6x 5 ：： 0}，C ={ x |m -1 岂x 乞2m}（1）求Ap]B，C R A IJB ；（2 ）若B D C二c,求实数m的取值范围.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第87讲:
集合运算的方法参考答案
【反馈检测1答案】21
【反馈检测1详细解析】当x=1,y=3时，z=3;当x=1,y=6时，z=6;当x=2,y=3时，z=6;当x=2时，z=12.
由题得，故集合的所有元素之和为21.故答案为21.
【反馈检测2答案】ADC PlC u B二{2,8}
【反馈检测2详细解析】由题得阴影部分表示的集合为A0C “C U B二{2,8}.
一5【反馈检测3 答案】(1)A「|B ={x|2 岂x ：：：5}，C R A IjB二{x|-3 ：： x ：：5} ；(2) (―#,-1)U (2, ?).
【反馈检测3详细解析】＜1〉- ,月={盂|1＜乂＜5},
A Ar\B={x\2<x<5}, C JE^={X|-3<X<2})={x|-3<x<5}.
(2) me二C :.C^B.
①当时，二胡一1 ＞2用即m＜-l；
wi —1 <2m
②当CH0时…朋一1A1
2m < 5
综上所述：梯的取值范围是(TO, -l)U(i •
£。