福建省厦门市高中毕业班适应性考试文科数学.5

厦门市高中毕业班适应性考试
数学（文科）试卷
注意事项；
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答。

答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名。

2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：
锥体的体积公式；1
3
V Sh =
，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积公式：2
4S r π=，体积公式：343
V r π=，其中r 为球的半径。

第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数1z i =-，则z =
A ．1
B ．2
C ．2
D ．3
2．已知命题():0,,sin 0p θπθ
∀∈，则
A ．():0,,sin 0p θπθ⌝∃∈
B ．():0,,sin 0p θπθ⌝∀∈≤
C ．():0,,sin 0p θπ⌝∃∈≤
D ．():0,,sin
0p θπ⌝∃∈
3．已知集合{}1,2,3,4,5M =，集合()()
{}
130N x R x x =∈--，则
M
N =
A ．{
}13x R x
∈
B ．{}31x R x x ∈或
C ．{}2
D ．{}4,5
4．阅读右边程序框图，若输出的S 的值等于15，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 A ．4i B ．5i C ．6i D ．7i 5．已知直线l 及三个不同平面,,αβγ，给出下列命题 （1）若//,////l l αβαβ则 （2）若,αβαγβγ⊥⊥⊥则
（3）若,//l l αβαβ⊥⊥则 （4）若,l l αβαβ⊂⊥⊥则 其中正确的命题是 A ．（1）（3）
B ．（3）（4）
C ．（2）（3）
D ．（2）（4）
6．若向量, a b 满足1,2a b ==，且()
a b a +⊥则向量a 和b 的夹角等于
A ．
4
π
B ．
6
π C ．
34
π D ．
56
π 7．已知函数()1
f x x x
=-，下列判断正确的是 A ．()f x 是奇函数，在()0,+∞上是增函数 B ．()f x 是奇函数，在()0,+∞上不是增函数 C ．()f x 不是奇函数，在()0,+∞上增函数
D ．()f x 不是奇函数，在()0,+∞上不是增函数
8．测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测
105,45,BCD BDC CD m ∠=︒∠=︒=的，并在点C 测得塔顶A 的仰
角
为60°，则塔高AB 为 A ．m B ．3m
C ．2m
D ．6m
9．已知变量,x y 满足条件1026x x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+≤⎩
，则2x y -的最小值是
A ． -4
B ． -2
C ．-1
D ．0
10．若直线():400,0l ax by a b ++=始终平分圆22:8210C x y x y ++++=，则ab 的最大
值为
A ．4
B ．2
C ．1
D ．
14
11．等差数列{}n a 的公差0d ，且224
12a a =，则数列{}n a 的前项和n S 取得最大值时n =
A ．7
B ．8
C ．7或8
D ．8或9
12．已知函数()10,x a f x x a
≥⎧=⎨⎩，，函数()2
1g x x x =-+，则函数()()()h x g x f x =-有两个零
点的充要条件是 A ．1a ≥
B ．1a ≤
C ．0a ≥
D ．0a ≤
第II 卷（非选题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。

13．曲线2sin y x x =+在点(,2)ππ处的切线斜率为
14若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线2
213
x y -=的右焦点重合，则p 的值等于 15．图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形。

若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是
1
4
，则此长方体的体积是
16．如果一个自然数n ，我们可以把它写成若干个连续自然数之和，则称其为自然数n 的一个“分拆”。

如9=4+5=2+3+4．我们就说“4+5”与“2+3+4”是9的两个“分拆”。

请写出自然数30的两个“分拆” 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

把解答过程填写在答题卡的相应位置。

17．（本小题满分12分） 已知函数()()sin 0,0,2
2f x A x A π
πωϕωϕ
⎛⎫
=+-
⎪⎝
⎭
，其部分图像如图所示。

（I ）
求函数()y f x =的表达式； （II ）
若,66a ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，且()35f α=，试求sin α的
值。

18.（本小题满分12分）
为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方分成五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，……第五组
[]17,18；按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示。

已知第一组、第二组、第三组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8.
（I ） 将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在
[)16,17内的人数；
（II ） 求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩； （III ）
若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率。

19.（本小题满分12分）
已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形。

（I ） 若M 为CB 中点，证明：
1//MA CNB 平面；
（II ） 求这个几何体的体积。

20.（本小题12分）
已知数列{}n a 的前n 项和()1
3312n n S n N -*⎛⎫
=⋅-∈ ⎪
⎝⎭
（I ） 试求{}n a 的通项公式，并说明{}n a 是否为等比数列； （II ）
设数列{}n b 满足1
31
2
log n n n a b a ++=
，求n b 的最小值。

21.(本小题满分12分)
已知椭圆过点()22
22:10x y C a
b
a b
+=过点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，且长轴等于4，12F F 、是椭圆的两个焦点。

（I ） 求椭圆C 的方程；
（II ）
O 是以12F F 为直径的圆，直线:l y kx m =+与O 相切，并与椭圆C 交于不同的两
点A B 、，若3
2
OA OB ⋅=-
，求k 的值。

22.（本小题满分14分）
已知函数()()3
2
2
,,f x ax bx cx a
a b c R =+++∈的单调递减区间是()1,2，且满足()01f =
（I ） 求()f x 的解析式；
（II ）
对任意实数(]0,2m ∈，关于x 的不等式()3
1In 32
f x m m m mt --+在[)2,x ∈+∞上有解，求实数t 的取值范围。

厦门市高中毕业班适应性考试
数学（文科）参考答案
一、选择题：本题考查基础的知识和基本运算，每题5分，满分60分。

1 C
2 C
3 D
4 B
5 B
6 C
7 A
8 D
9 A 10 C 11 C 12D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。

每题4分，满分16分。

13．1 14．4 15．3 16．9+10+11，4+5+6+7+8，6+7+8+9（选对其中两个即可） 三、解答题:本题共6大题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．本题主要考查三角函数的图像和性质，以及三角变换的知识，考查运算求解能力。

解：（I ）由图象知221,4()2,136A y T
ππππω==--== 将(
,1)6π
代入()f x 得()sin()16
f x π
ϕ=+=
因为2
2
π
π
ϕ-
<<
，所以3
π
ϕ=
所以()sin(),3
f x x x R π
=+∈
（II ）因为3(),5f a =
所以3
sin()35a π+= 4
cos()35
πα∴+=±
,6
6
6
3
2
π
π
π
π
π
αα-
<<
∴
<+
<
，
4
cos()3
5
π
α∴+
=
sin sin()sin()cos cos()sin 333333
31433352521010
a a a ππππππ
α∴=+
-=+-+=⨯-⨯=-
18．本题考查样本估计总体，古典概型，频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力。

解：（I ）百米成绩在[16,17)内的频率为0.3210.32⨯= 0.321000320⨯=
∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。

（II ）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x,8x,19x 依题意，得 3x+8x+19x+0.321+0.081=1⨯⨯,x=0.02∴ 设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则8
80.02n
⨯=n=50∴ ∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩。

（III ）百米成绩在第一组的学生数有30.021503⨯⨯⨯=，记他们的成绩为a,b,c 百米成绩在第五组的学生数由0.081504⨯⨯=，记他们的成绩为m,n,p,q 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}a,b ,a,c ,a,m ,a,n ,a,p ,a,q ,b,c ,b,m ,b,n ,b,p ,b,q ,c,m ,
c,n c,p ,c,q ,m,n ,m,p ,m,q ,n,p ,n,q ,p,q 21共个
其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}a,m ,a,n ,a,p ,a,q b,m ,b,n ,b,p ,b,q c,m ,c,n c,p ,c,q 12，，
个
所以124p=
217
= 19．本题主要考查线面平行与垂直关系，及多面体的体积计算等基础知识，考察空间想象能力、抽象概括能力和运算求解能力。

（I ）证明：取1CB 的重点P ，连MP,
已知M 为CB 中点，1MP||BB ∴，且11
MP=
BB 2
由三视图可知，四边形1ABB N 为直角梯形，111
AN||BB AN=
BB 2
∴且 MP||AN MP=AN ∴且，∴四边形ANPM 为平行四边形，AM||NP ∴， 又AM ⊄平面1CNB PN ⊂，平面1CNB ，AM||∴平面1CNB （II ）
该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
1BA BC BB ∴，，两两垂直
∴11BC BA BC B B BB ⊥⊥，且与BA 相交于B ， BC ∴⊥平面1AB BN ，BC 为三棱锥C-ABN 的高 取1BB 的重点Q ，连QN ，四边形1ABB N 的直角梯形且
11
AN=
BB =42
，四边形ABQN 为正方形，1NQ BB ⊥， 又BC ⊥ 平面1ABB N ，
QN ⊂平面1ABB N BC NQ ∴⊥，
且BC 与1BB 相交于B ，NQ ∴⊥平面11C B BC
NQ 为四棱锥11N-CBB C 的体积1111
11
33
C ABN K CBB C ABN BCC B V V V CB S NQ S --∆=+=+
111160
4444483233
=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
20．本题主要考查数列的该概念、等差数列、等比数列的通项及前n 项和等基础知识，考察推
理论证能力、函数与方程思想以及分类与整合思想
解：（I ）1n =时，113112a S ==⨯-= 2n ≥时，1
2113333()
3()()2
22n n n n n n a S S ----===⨯-⨯=
1
2 1 3() 2 2
n n n a n -=⎧⎪
=⎨≥⎪⎩1113
2()2
a -=≠
()n a ∴不是等比数列
（II ）131
2
3()2log n
n n n a b a n
++=
=，
11333()()1
332222()()()()12(1)22(1)
n n n
n n n n n n b b n n n n n n +----∴-=-==+++ 所以当2n ≤时有：11230,>n n b b b b b +-≤=即 当 2n >时有：1345-0,n n b b b b b +><<< 即……； n b ∴的最小值为239
8
b b ==
（注：作商比较也可）
21．本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识，考察运算求解能力及化归与转换和数形结合思想。

解：（I ）由题意椭圆的长轴24,2a a ==得， 3点(1,) 2在椭圆上，2219
1,344b b
∴
+== ∴椭圆的方程为22
143
x y += （II ）由直线l 与圆O 222
1,11m k k =∴=++
设
1122(,),(,)
A x y
B x y ，由
22
14
3x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去
y
，整理得
222(34)84120k x kmx m +++-=
由题可知圆O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，0∴∆>
2121222
8412
3434km m x x x x k k -+=-+=++，
22
12121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++
2222
2
222
4128312()343434m km m k k
km m k k k --=+-+=+++ 222221212222
41241271212
343434m m k m k x x y y k k k ----∴+=+=+++ 2
2
2
12122
551,+34k m k x x y y k --=+∴=+
22
235531,,23422
k OA OB k k k --=-∴=-∴=∴+的值为22± 22．本题主要考查函数与倒数的基本知识及综合应用知识的能力，考察分类与整合思想、化归
与转换思想，考察分析问题和解决问题的能力。

解：（I ）由已知得，2
'()32f x ax bx c =++
函数3
2
2'()+f x ax bx cx a =++的单调递减区间是（1，2），'()0f x ∴<的解是
12x <<
2
'()320f x ax bx c ∴=++=的两个根本分别是1和2，且0a > 从2
(0)1f a ==且0a >，可得1a =
又'(1)320'(2)1240f b c f b c =++=⎧⎨=++=⎩得9,26
b c ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
329()612x x x x ∴=-++
（II ）由（I ）得，2
'()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--
2x ∴>时，'()0,()f x f x >∴在[2,)+∞上是增函数，
对[2,),x ∈+∞当x=2时，min f ()(2)3x f == 要使3
1()32
f x m mInm mt <--+在[2,)x ∈+∞上有解， 即
3
min 13()2m mInm mt f x --+> 3133,2m mInm mt ∴--+>既31
2mt m mInm <-对任意(0,2]m ∈恒成立， 即2
1I n 2
t m m <-对任意(0,2]m ∈恒成立，
11 / 11 设21()I n ,(0,2]2
h m m m m =-∈，则min ()t h m < 211(1)(1)'(),m m m h m m m m m
--+=-==令'()0,h m =得1m =或1m =- 在(0,2],'()m h m ∈的符号与()h m 德单调情况如下表： m
（0，1） 1 （1，2） '()h m
- 0 + ()h m ↘ 极小值 ↗
1m ∴=时，min ()()=2
h m h m =极小值 12
t ∴<。