2019年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷(3月份)

2019年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）2019的相反数是( )
A ．12019
B ．2019-
C ．12019-
D ．2019
2．（4分）下列计算正确的是( )
A ．321a a -=
B ．323()a a a -÷-=-
C ．236a a a =
D ．326()a a = 3．（4分）在“创新活力之城，美丽幸福慈溪”行动引领下，2018年慈溪GDP 达到1737亿元，其中1737亿用科学记数法表示为( )
A ．111.73710⨯元
B ．101.73710⨯元
C ．121.73710⨯元
D ．91.73710⨯元
4．（4分）如图所示的几何体的左视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（4分）不等式组2110x x ->⎧⎨-<⎩
的解集是( ) A ．12x >- B ．12x <- C ．1x < D ．112
x -<< 6．（4分）下列电视台图标中，属于中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（4分）如图，BE 平分DBC ∠，点A 是BD 上一点， 过点A 作//AE BC 交BE
于点E ，56DAE ∠=︒，则E ∠的度数为( )
A ．56︒
B ．36︒
C ．26︒
D ．28︒ 8．（4分）在一次中国诗词大会中，百人团选手得分情况如表：
人数
30 40 20 10 分数 80 85 90 95
那么这百人团选手所得分数的中位数和众数分别是( )
A ．85和82.5
B ．85.5和85
C ．85和85
D ．85.5和80
9．（4分）已知圆锥的底面半径为6cm ，圆锥的高为8cm ，则这个圆锥的侧面积为( )
A ．260cm π
B ．248cm π
C ．230cm π
D ．224cm π
10．（4分）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是( )
A ．①和②
B ．②和③
C ．①和③
D ．①和④
11．（4分）已知抛物线2y x mx n =++与x 轴只有一个公共点，且过点(,)A a b ，(4,)B a b -，则b 的值为( )
A ．4
B ．2
C ．6
D ．9
12．（4分）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①)，分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m ，宽为n 的长方形盒子底部（如图②、图③)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为1l ，图③中两个阴影部分图形的周长和
为2l ，若1254
l l =，则m ，n 满足( )
A．
6
5
m n
=B．
7
5
m n
=C．
3
2
m n
=D．
9
5
m n
=
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）若二次根式2
x-有意义，则x的取值范围是．
14．（4分）分解因式：29
x-=．
15．（4分）一个不透明的布袋里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为．
16．（4分）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34︒的斜坡，从A滑行至B，已知500
AB=
米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．（参考数据：sin340.56
︒≈，cos340.83
︒≈，tan340.67)
︒≈
17．（4分）如图，已知半圆O的直径AB为12，1
OP=，C为半圆上一点，连结CP．若将CP沿着射线AB方向平移至DE，若DE恰好与O相切于点D，则平移的距离为．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线(0)
y kx k
=>分别交反比例函数
1 y
x =
和
9
y
x
=在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD x
⊥轴于点D，交
1
y
x
=的图象于点C，
连结AC．若ABC
∆是等腰三角形，则k的值是．
三、解答题（本题有8小题，共78分，各小题都必须写出解答过程）
19．（6分）计算：10(1)|4|sin30(23)----+︒++
20．（8分）在44⨯的方格纸中，ABC ∆的顶点都在格点上．
（1）在图1中画出与ABC ∆全等且以BC 为公共边的格点三角形（不与ABC ∆重合）；
（2）在图2中画出与ABC ∆相似（不全等）且以AC 为公共边的格点三角形（画出一个即可）．
21．（9分）2019届慈溪市初中学业水平考试体育考试选测项目除性别限定选择外的，其他项目为A 、足球，B 、50米跑，C 、篮球运球投篮，D 、跳绳．为了了解学生最喜欢选择哪一门项目，随机抽取部分学生进行调查，得到如下两幅不完整的统计图，请结合图中信息回答下列问题．
（1）求抽取的学生的人数；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求出课程C 所对应的圆心角度数．
22．（9分）双曲线(0)k y k x
=>的图象如图所示，点A 的坐标是(0,6)，点(B a ，0)(0)a >是x 轴上的一个动点，G 为线段AB 的中点，把线段BG 绕点B 按顺时针方向旋转90︒后得到线段BC ，然后以AB ，BC 为边作矩形ABCD ．
（1）求C 点坐标（用a 的式子表示） ；
（2）若矩形ABCD 水平向右平移二个单位，使双曲线k y x
=经过A ，C 两点，求a 的值．
23．（10分）践行“低碳生活，绿色出行”理念，自行车成为人们喜爱的交通工具．其品牌共享自行车在慈溪的投放量自2017年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了640辆，3月份投放了1000辆．
（1）若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，则4月份投放了多少辆？
（2）寒假里小明骑“共享单车”去离家2000米的慈溪银泰影视城观看电影，到了影视城发现假期优惠门票忘带了，于是骑车立即返回，已知返回的平均速度是来影视城时的平均速度的2倍，且途中时间少花了5分钟．求小明去影视城的平均速度？
24．（10分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ．
（1）求证：DH 是圆O 的切线；
（2）若A 为EH 的中点，求EF FD
的值； （3）若1EA EF ==，求圆O 的半径．
25．（12分）一个三角形的三条边上各取一点，这三点构成的三角形叫做原三角形的内接三角形．ABC ∆中，30A B ∠=∠=︒，4AC =，DEF ∆是ABC ∆的内接三角形．
（1）如图①，已知//
DE AB，//
DF BC．
①若DF EF
=，则DE=②若DEF
∆是直角三角形，求CD的长；
（2）如图②，若DEF
∆是等腰直角三角形，90
DFE
∠=︒，D是AC中点，求tan AFD
∠的值．
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为(3,0)，以点M为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D．
（1）AOD
∆与COB
∆相似吗？为什么？
（2）如图2，弦DE交x轴于点P，且:3:2
BP DP=，求tan EDA
∠；
（3）如图3，过点D作M的切线，交x轴于点Q．点G是M上的动点，问比值GO GQ
是
否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由．
2019年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）2019的相反数是( )
A ．12019
B ．2019-
C ．12019-
D ．2019
【考点】14：相反数
【解答】解：2019的相反数是2019-．
故选：B ．
2．（4分）下列计算正确的是( )
A ．321a a -=
B ．323()a a a -÷-=-
C ．236a a a =
D ．326()a a = 【考点】4I ：整式的混合运算
【解答】解：A 、原式a =，不符合题意； B 、原式23a =，不符合题意；
C 、原式5a =，不符合题意；
D 、原式6a =，符合题意，
故选：D ．
3．（4分）在“创新活力之城，美丽幸福慈溪”行动引领下，2018年慈溪GDP 达到1737亿元，其中1737亿用科学记数法表示为( )
A ．111.73710⨯元
B ．101.73710⨯元
C ．121.73710⨯元
D ．91.73710⨯元
【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数
【解答】解：将1737亿元用科学记数法表示为：111.73710⨯元．
故选：A ．
4．（4分）如图所示的几何体的左视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】2U ：简单组合体的三视图
【解答】解：从左面看，为两个正方形，小正方形在右上角，
所以，该几何体的左视图是C ．
故选：C ．
5．（4分）不等式组2110x x ->⎧⎨-<⎩
的解集是( ) A ．12x >- B ．12x <- C ．1x < D ．112
x -<< 【考点】CB ：解一元一次不等式组
【解答】解：2110x x ->⎧⎨-<⎩
①②，由①得，12x <-，由②得，1x <，故不等式组的解集为：12x <-． 故选：B ．
6．（4分）下列电视台图标中，属于中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】5R ：中心对称图形
【解答】解：A 、不是中心对称图形，故本选项错误；
B 、不是中心对称图形，故本选项错误；
C 、不是中心对称图形，故本选项错误；
D 、是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D ．
7．（4分）如图，BE 平分DBC ∠，点A 是BD 上一点， 过点A 作//AE BC 交BE
于点E ，56DAE ∠=︒，则E ∠的度数为( )
A ．56︒
B ．36︒
C ．26︒
D ．28︒
【考点】JA ：平行线的性质
【解答】解：//AE BC ，56DAE ∠=︒，
56DBC ∴∠=︒，E EBC ∠=∠， BE 平分DBC ∠，
1282
EBC DBC ∴∠=∠=︒， 28E ∴∠=︒，
故选：D ．
8．（4分）在一次中国诗词大会中，百人团选手得分情况如表： 人数
30 40 20 10 分数 80 85 90 95
那么这百人团选手所得分数的中位数和众数分别是( )
A ．85和82.5
B ．85.5和85
C ．85和85
D ．85.5和80
【考点】4W ：中位数；5W ：众数
【解答】解：在这一组数据中85是出现次数最多的，故众数是85；
排序后处于中间位置的两个数都是85，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是85； 故选：C ．
9．（4分）已知圆锥的底面半径为6cm ，圆锥的高为8cm ，则这个圆锥的侧面积为( )
A ．260cm π
B ．248cm π
C ．230cm π
D ．224cm π
【考点】MP ：圆锥的计算
【解答】解：由勾股定理得：圆锥的母线长226810()cm +=，
圆锥的底面周长为22612r πππ=⨯=，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为12π，
∴圆锥的侧面积为：11210602
ππ⨯⨯=． 故选：A ．
10．（4分）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是( )
A ．①和②
B ．②和③
C ．①和③
D ．①和④
【考点】5S ：相似图形
【解答】解：设小长方形的长为2，宽为1．则图①中的三角形的三边长分别为：2，2225 图②中的三角形的三边长分别为：2135，
图③中的三角形的三边长分别为：2，25，42图④5105，
只有①④的三角形的三边成比例，
故选：D ．
11．（4分）已知抛物线2y x mx n =++与x 轴只有一个公共点，且过点(,)A a b ，(4,)B a b -，则b 的值为( )
A ．4
B ．2
C ．6
D ．9
【考点】5H ：二次函数图象上点的坐标特征；HA ：抛物线与x 轴的交点
【解答】解：抛物线2y x mx n =++与x 轴只有一个公共点，
∴△224140m n m n =-⨯⨯=-=，
214
n m ∴=， 抛物线2y x mx n =++过点(,)A a b ，(4,)B a b -，
2b a ma n ∴=++，2(4)(4)b a m a n =-+-+，
22(4)(4)a ma n a m a n ∴++=-+-+，
化简，得
42
m
a -=
， 222
441(
)4224
m m b a ma n m m --∴=++=+⨯+=， 故选：A ．
12．（4分）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①)，分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m ，宽为n 的长方形盒子底部（如图②、图③)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为1l ，图③中两个阴影部分图形的周长和为2l ，若125
4
l l =，则m ，n 满足( )
A ．6
5m n =
B ．7
5
m n =
C ．3
2
m n =
D ．9
5
m n =
【考点】44：整式的加减 【解答】解：
图②中通过平移，可将阴影部分的周长转换为长为m ，宽为n 的长方形的周长，即图②中阴影部分的图形的周长1l 为22m n +
图③中，设小长形卡片的宽为x ，长为y ，则2y x m += 所求的两个长方形的周长之各为：22()2(2)m n y n x +-+-， 整理得，2424m n m n +-= 即2l 为4n 125
4l l =，
5
2244m n n ∴+=⨯
整理得，3
2
m n =
故选：C ．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）若二次根式2x -有意义，则x 的取值范围是 2x ． 【考点】二次根式有意义的条件
【解答】解：根据题意，使二次根式2x -有意义，即20x -， 解得2x ； 故答案为：2x ．
14．（4分）分解因式：29x -= (3)(3)x x +- ． 【考点】54：因式分解-运用公式法 【解答】解：29(3)(3)x x x -=+-． 故答案为：(3)(3)x x +-．
15．（4分）一个不透明的布袋里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为 2
7
． 【考点】4X ：概率公式
【解答】解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是22257
=+， 故答案为：
2
7
16．（4分）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34︒的斜坡，从A 滑行至B ，已知500AB =米，则这名滑雪运动员的高度下降了 280 米．（参考数据：sin 340.56︒≈，cos 340.83︒≈，tan340.67)︒≈
【考点】9T ：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【解答】解：如图在Rt ABC ∆中，
sin 345000.56280AC AB =︒=⨯≈米，
∴这名滑雪运动员的高度下降了280米．
故答案为：280．
17．（4分）如图，已知半圆O的直径AB为12，1
OP=，C为半圆上一点，连结CP．若将CP沿着射线AB方向平移至DE，若DE恰好与O相切于点D，
则平移的距离为8．
【考点】MC：切线的性质；2
Q：平移的性质
【解答】解：半圆O的直径AB为12，
6
OD OB
∴==，
如图，过OM
CD
⊥于M，连接OD，
则CM DM
=，
DE是O的切线，
OD DE
∴⊥，
将CP沿射线AB方向平移至DE，//
CD PE
∴，CD PE
=，
12
∴∠=∠，
90
DMO ODE
∠=∠=︒，
DMO ODE
∴∆∆
∽，
∴MO OD OD OE
=，
设CD x
=，则1
OE OP PE x
=+=+，
∴1
6
2
61
x
x
=
+
，8
x
∴=，9
x=-（舍去），∴平移的距离为8，
故答案为：8．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线(0)y kx k =>分别交反比例函数1
y x
=和9y
x =
在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，交1y x
=的图象于点C ，连结AC ．若ABC ∆是等腰三角形，则k 的值是
37或15
．
【考点】KH ：等腰三角形的性质；8G ：反比例函数与一次函数的交点问题 【解答】解：点B 是y kx =和9y x =的交点，9
y kx x
==， 解得：x k
=
，3y k =， ∴点B 坐标为(
k
，3)k ，
点A 是y kx =和1y x =的交点，1
y kx x
==， 解得：x k
=
，y k ∴点A 坐标为(
k
)k ，
BD x ⊥轴，
∴点C k
13k
k
=
∴点C 坐标为(
k
k
， 2231(
)(3)BA k k k
k
∴-
+-，2231(
)()3
k AC k k
k
-
+-
222132
960399
BA AC k k k k k k k ∴-=-+-+-=>
BA AC ∴≠，
若ABC ∆是等腰三角形，
①AB BC =，则2231(
)(3)3k k k k k
k
-
+-=-
， 解得：37
k =
； ②AC BC =，则2231(
)()33k k
k k k
k
-
+-
=-
， 解得：15k =
； 故答案为37k =
或15
． 三、解答题（本题有8小题，共78分，各小题都必须写出解答过程） 19．（6分）计算：10(1)|4|sin30(23)----+︒++
【考点】2C ：实数的运算；6F ：负整数指数幂；5T ：特殊角的三角函数值 【解答】解：原式13
12122
=--+
+=-． 20．（8分）在44⨯的方格纸中，ABC ∆的顶点都在格点上．
（1）在图1中画出与ABC ∆全等且以BC 为公共边的格点三角形（不与ABC ∆重合）； （2）在图2中画出与ABC ∆相似（不全等）且以AC 为公共边的格点三角形（画出一个即
可）．
【考点】KD ：全等三角形的判定与性质；SB ：作图-相似变换
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示：
21．（9分）2019届慈溪市初中学业水平考试体育考试选测项目除性别限定选择外的，其他
项目为A 、足球，B 、50米跑，C 、篮球运球投篮，D 、跳绳．为了了解学生最喜欢选择哪一门项目，随机抽取部分学生进行调查，得到如下两幅不完整的统计图，请结合图中信息回答下列问题．
（1）求抽取的学生的人数； （2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求出课程C 所对应的圆心角度数．
【考点】VC ：条形统计图；VB ：扇形统计图
【解答】解：（1）抽取的学生的人数为4840%120÷=（人)；
（2）B 项目人数为12025%30⨯=（人)，
C 项目的人数为120(183048)24-++=（人)，
如图：
（3）课程C 所对应的圆心角度数为2412036072÷⨯︒=︒．
22．（9分）双曲线(0)k y k x =>的图象如图所示，点A 的坐标是(0,6)，点(B a ，0)(0)a >是
x 轴上的一个动点，G 为线段AB 的中点，把线段BG 绕点B 按顺时针方向旋转90︒后得到
线段BC ，然后以AB ，BC 为边作矩形ABCD ．
（1）求C 点坐标（用a 的式子表示） (3,)2
a
a + ；
（2）若矩形ABCD 水平向右平移二个单位，使双曲线k
y x
=
经过A ，C 两点，求a 的值．
【考点】LB ：矩形的性质；7R ：坐标与图形变化-旋转；3Q ：坐标与图形变化-平移；2G ：反比例函数的图象；6G ：反比例函数图象上点的坐标特征
【解答】解：（1）点(0,6)A ，点(,0)B a ，点M 是线段AB 的中点， ∴点G 的坐标是(2
a
，3)，
又将线段GB 绕着点B 按顺时针方向旋转90︒，得到线段BC ， ∴点C 的坐标为：(3,)2a
a +，
故答案为：(3,)2
a
a +；
（2）矩形ABCD 水平向右平移二个单位， (2,6)A ∴，(5,)2
a
C a +．
且双曲线k
y x
=
经过A 、C 两点 26(5)2
a
a ∴⨯=+，
整理得，25240a a +-= 解得，13a = 28a =-（舍去）
3a ∴=．
23．（10分）践行“低碳生活，绿色出行”理念，自行车成为人们喜爱的交通工具．其品牌共享自行车在慈溪的投放量自2017年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了640辆，3月份投放了1000辆．
（1）若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，则4月份投放了多少辆？ （2）寒假里小明骑“共享单车”去离家2000米的慈溪银泰影视城观看电影，到了影视城发现假期优惠门票忘带了，于是骑车立即返回，已知返回的平均速度是来影视城时的平均速度
的2倍，且途中时间少花了5分钟．求小明去影视城的平均速度？ 【考点】7B ：分式方程的应用；AD ：一元二次方程的应用 【解答】解：（1）设月平均增长率为x ， 依题意，得：2640(1)1000x +=，
解得：1 2.25x =-（舍去），20.2525%x ==， 1000(1)1250x ∴+=．
答：4月份投放了1250辆．
（2）设去影视城时的平均速度为y 米/分钟，则返回时的平均速度为y 米/分钟， 依题意，得：
20002000
52y y
-=， 解得：200y =，
经检验，200y =是所列分式方程的解，且符合题意． 答：小明去影视城的平均速度为200米/分钟．
24．（10分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ． （1）求证：DH 是圆O 的切线； （2）若A 为EH 的中点，求
EF
FD
的值； （3）若1EA EF ==，求圆O 的半径．
【考点】圆的综合题
【解答】证明：（1）连接OD ，如图1，
OB OD =，
ODB ∴∆是等腰三角形， OBD ODB ∠=∠①，
在ABC ∆中，AB AC =，
ABC ACB ∴∠=∠②，
由①②得：ODB OBD ACB
∠=∠=∠，
//
OD AC
∴，
DH AC
⊥，
DH OD
∴⊥，
DH
∴是圆O的切线；
（2）如图2，在O中，E B
∠=∠，
∴由（1）可知：E B C
∠=∠=∠，
EDC
∴∆是等腰三角形，
DH AC
⊥，且点A是EH中点，
设AE x
=，4
EC x
=，则3
AC x
=，
连接AD，则在O中，90
ADB
∠=︒，AD BD
⊥，AB AC
=，
D
∴是BC的中点，
OD
∴是ABC
∆的中位线，
//
OD AC ∴，
113
3
222
x OD AC x
==⨯=，
//
OD AC，
E ODF
∴∠=∠，
在AEF
∆和ODF
∆中，
E ODF
∠=∠，OFD AFE
∠=∠，AEF ODF
∴∆∆
∽，
∴EF AE FD OD
=，
∴
2
33
2
AE x
OD x
==，
∴
2
3 EF
FD
=；
（3）如图2，设O的半径为r，即OD OB r
==，EF EA
=，
EFA EAF
∴∠=∠，
//OD EC ， FOD EAF ∴∠=∠，
则FOD EAF EFA OFD ∠=∠=∠=∠，
DF OD r ∴==，
1D E D F EF r ∴=+=+，
1BD CD DE r ∴===+，
在O 中，BDE EAB ∠=∠，
BFD EFA EAB BDE ∴∠=∠=∠=∠， BF BD ∴=，BDF ∆是等腰三角形， 1BF BD r ∴==+，
22(1)1AF AB BF OB BF r r r ∴=-=-=-+=-，
在BFD ∆和EFA ∆中， BFD EFA
B E
∠=∠⎧⎨
∠=∠⎩， BFD EFA ∴∆∆∽，
∴EF BF
FA DF =
， ∴
111r
r r
+=
-， 解得：115r +=
，215
r -=（舍)， 综上所述，O 的半径为
15
+．
25．（12分）一个三角形的三条边上各取一点，这三点构成的三角形叫做原三角形的内接三角形．ABC ∆中，30A B ∠=∠=︒，4AC =，DEF ∆是ABC ∆的内接三角形．
（1）如图①，已知//DE AB ，//DF BC ．
①若DF EF =，则DE = 23 ②若DEF ∆是直角三角形，求CD 的长；
（2）如图②，若DEF ∆是等腰直角三角形，90DFE ∠=︒，D 是AC 中点，求tan AFD ∠的值．
【考点】KY ：三角形综合题
【解答】解：（1）①如图1，过C 作CG DE ⊥于G ，
//DF BC ，
30DFA B ∴∠=∠=︒，
30A ∠=︒，
30A DFA ∴∠=∠=︒，
AD DF ∴=，
//DE AB ∴，
30EDF DFA ∴∠=∠=︒，
DF EF =，
30DEF FDE ∴∠=∠=︒，
120DFE ADF ∴∠=∠=︒，
//EF AC ∴，
//DF BC ，
∴四边形CDFE 是平行四边形，
122
CD EF AD AC ∴====， 30CDE CED ∠=∠=︒，
CD CE ∴=，
DG EG ∴=，
Rt CDG ∆中，2CD =，
1
12
CG CD ∴==，DG
2DE DG ∴==
故答案为：；
②分两种情况：
)i 如图2，当90DFE ∠=︒时，DEF ∆是直角三角形， 过C 作CG DE ⊥于G ，
设CG x =，则2CD x =，DG EG ==，
DE ∴=，
Rt DEF ∆中，30EDF ∠=︒，
EF ∴=，3DF AD x ==，
4AC ∴=，
324x x ∴+=，
45
x =， 825CD x ∴==
； )ii 如图3，当90DEF ∠=︒时，DEF ∆是直角三角形， 过C 作CG DE ⊥于G ，
设CG x =，则2CD x =，DE =
Rt DEF ∆中，30EDF ∠=︒，
2EF x ∴=，4DF AD x ==，
4AC ∴=，
424x x ∴+=，
23
x =， 423CD x ∴==
； 综上，CD 的长是85或43
； （2）如图4，过D 作DG AB ⊥于G ，过E 作EH AB ⊥于H ， D 是AC 的中点，4AC =，
2AD ∴=，
DEF ∆是等腰直角三角形，
DF EF ∴=，90DFE ∠=︒，
90DFG EFH EFH FEH ∴∠+∠=︒=∠+∠，
DFG FEH ∴∠=∠，
90DGF EHF ∠=∠=︒，
()DGF FHE AAS ∴∆≅∆，
1DG FH ∴==，FG EH =，
设FG x =，则EH x =
，BH =，
如图5，过C 作CM AB ⊥于M ，
30A ∠=︒，4AC =，
AM ∴=
2AB AM ∴==
如图4，AG FG FH BH AB +++=，
1x +=
x =，
tan DG AFD FG ∴∠===
26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为(3,0)，以点M为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B、C、D．
（1）AOD
∆与COB
∆相似吗？为什么？
（2）如图2，弦DE交x轴于点P，且:3:2
BP DP=，求tan EDA
∠；
（3）如图3，过点D作M的切线，交x轴于点Q．点G是M上的动点，问比值GO GQ
是
否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由．
【考点】MR ：圆的综合题
【解答】解：（1）AOD ∆与COB ∆相似．理由如下： 如图1，
AOD COB ∠=∠，ADO OBC ∠=∠， AOD COB ∴∆∆∽；
（2）连结AE 、BE 、MD ，如图2， 点M 的坐标为(3,0)，5MA MB MD ===， 2OA ∴=，
在Rt ODM ∆中，224OD MD OM -， 在Rt OAD ∆中，222425AD =+ PEB PAD ∠=∠，PBE PDA ∠=∠， PBE PDA ∴∆∆∽， ∴32
BE PB AD PD ==， 325352
BE ∴=⨯= 在Rt ABE ∆中，
222210(35)55AE AB BE =-- 5511tan 35AE ABE BE ∴∠===， EDA ABE ∠=∠，
11tan EDA ∴∠=； （3）如图3，连结MD 、MG ，
DQ 为切线，
MD QD ∴⊥，
90MDQ ∴∠=︒，
ODM OQD ∠=∠，
Rt ODM Rt OQD ∴∆∆∽，
::OD OQ OM OD ∴=，即4:3:4OQ =， 163OQ ∴=， 当G 点与A
点重合时，23165
23
OG OA QG AQ ===-； 当G 点与B 点重合时，
83165
83OG OB QG QB ===+； 当G 点不与A 、B 重合时， OMD DMQ ∠=∠，
MOD MDQ ∴∆∆∽，
::MO MD MD MQ ∴=，即2MD MO MQ =， 而MD MG =，
2MG MO MQ ∴=，
OMG GMQ ∠=∠，
MOG MGQ ∴∆∆∽，
∴35
OG OM QG MG ==， 综上所述，
GO GQ 的值不变，比值为35．。