山西省吕梁市石楼职业中学高三数学文联考试卷含解析

山西省吕梁市石楼职业中学高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则=（）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
参考答案：
D
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】解：∵=，
∴．
故选：D．
2.
参考答案：
D
3. 点在第二象限是角的终边在第三象限的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件参考答案：
C
略
4. 执行下列程序框图运行的结果是672，则下列控制条件正确的是A. B.
C. D.
参考答案：
D
5. 如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，，，
，将沿对角线BD折起至，使平面，则四面体
中，下列结论不正确的是（）
A. 平面
B. 异面直线与所成的角为90°
C. 异面直线与所成的角为60°
D. 直线与平面所成的角为30°
参考答案：
C
【分析】
根据题意，依次分析命题：利用中位线性质可得，可证A选项成立，根据面面垂直的性质定理可判断B选项，根据异面直线所成角的定义判断C，根据线面角的定义及求解可判断D
，综合可
得答案．
【详解】A选项：因，分别为和两边中点，所以，即平面，A正确；
B选项：因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B正确；
C选项：取边中点，连接，，则，所以为异面直线与所成角，又，，，即，故C错误，
D选项：因为平面平面，连接，则所以平面，连接FC，所以为异面直线与所成角，又，∴,
又，sin=，∴,D正确，
故选C.
【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角及线面角的求法，考查了线面垂直的判定与性质定理的应用，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，属于中档题．
6. “”是“”成立的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分与不必要条件
参考答案：
A
由得，，所以“”是“”成立充分不必要条件，选A.
7. 在展开式中存在常数项，则正整数n可以是（）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 参考答案：
C
通项，
依题意得．故是的倍数，只有选项符合要求．
8. 湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下一个半径为，深的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（）
A． B． C． D．
参考答案：
【知识点】球的截面性质G8
B
解析：设球半径为R，则有,解得R=10，所以球面上的点到冰面的最大距离为R+R －2=18cm，则选B.
【思路点拨】一般遇到球的截面问题，通常利用球的截面性质寻求截面圆的半径与球半径的关系进行解答.
9. 在正三棱锥内有一半球，其底面与正三棱锥的底面在同一平面内，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．如果半球的半径等于1，正三棱锥的底面边长为，则正三棱锥的高等于（）A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】球内接多面体．
【分析】画出图形，设三棱锥的高 PO=x，在纵切面图形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，即可求出高的值．
【解答】解：根据题意，画出图形如下，
其中，立体图形只画出了半球的底面．
∵正三棱锥的底面边长为，
∴OD=，
设三棱锥的高 PO=x，在纵切面图形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD，
∴，
∴x=
故选：D ．
10. 椭圆
的一个焦点坐标为
，则其离心率等于 （ ）
A. 2
B.
C.
D.
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知=（2，1），=（3，4），则在
方向上的投影为 ．
参考答案：
2
考点：向量的投影． 专题：计算题．
分析：根据向量的数量积的几何意义可知，向量在向量上的投影为
，代入数据计算即可．
解答： 解：∵=
（2，1），=（3，4），∴?=2×3+1×4=10，
||==5
∴向量在向量方向上的投影为||cos ＜＞=
=
=2．
故答案为2
点评：本题考查向量的投影，关键是牢记定义与公式，分清是哪一个向量在哪一个向量上的投影．
12. 已知奇函数满足，若当x (﹣1，1)时，且(0
＜a ＜1)，则实数a = ．
参考答案：
根据
，
是奇函数，可得
是周期为4的函数，所以
因为0＜a ＜1，所以0＜1﹣a ＜1，所以，解得
．
13. 设函数f （x ）=，若
对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为
__________．
参考答案：
分析：根据题意 取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得ω，进而确定其最小值. 详解：因为
对任意的实数x 都成立，所以
取最大值，所以
，因为
，所以当
时，ω取最小值为 .
14. 已知
有2个零点，则实数的取值范围是 ．
参考答案：
试题分析：由题意，有两个零点，即函数的图象与直线有两个交点，直线
过原点，又，因此一个交点为原点，又记，，，即在原点处切线斜率大于，并随的增大，斜率减小趋向于0，可知的图象与直
线在还有一个交点，因此没有负实数根．所以，．
考点：函数的零点．
【名师点睛】函数的零点，是函数图象与轴交点的横坐标，零点个数就是方程解的个数，对于较复杂的函数零点问题一般要转化为两函数图象的交点问题，这样可以应用数形结合思想，借助函数图象观察寻找方法与结论．在转化时要注意含有参数的函数最好是直线，或者是基本初等函数，这样它们的变化规律易于掌握，交点个数易于判断．
15. 平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：
x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．
参考答案：
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出A 的坐标，可得=，利用△OAB 的垂心为C 2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C 1的离心率．
【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a ＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x
，与抛物线C 2：x 2=2py 联立，可得x=0或x=±，
取A（，），设垂心H（0，），则k AH==，
∵△OAB的垂心为C2的焦点，
∴×（﹣）=﹣1，
∴5a2=4b2，
∴5a2=4（c2﹣a2）
∴e==．
故答案为：．
16. 设三个复数1，i，z在复平面上对应的三点共线，且，则z=．
参考答案：
或
17. 关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为. 参考答案：
(1－ln2,+∞)
由题意，则临界情况为与相切的情况，
，则，所以切点坐标为，
则此时，
所以只要图象向左移动，都会产生3个交点，
所以，即.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)
如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．
（I）求证：⊥；
（II）若，，为的中点，求二面角的平面角的余弦值．
参考答案：
（I）详见解析; （II）.
试题解析：（1）证明：三棱柱为直三棱柱，
平面，又平面，………………………2分
平面，且平面，
．又平面,平面,，
平面
，…………………………………………5分又平面，
…………………………………6分
（2）
由（1）知平面，平面,从而如图,以B为原点建立空间直角坐标系
平面，其垂足落在直线上,．
在Rt△ABD中，，AB=2，
,
在直三棱柱中，．…………………………8分
在Rt△中，
,
则（0,0,0）,,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,
（0，2，2）
设平面的一个法向量
则即可得………………10分
设平面的一个法向量
则即可得……………………11分
二面角平面角的余弦值是………………12分(利用二面角P-A1B-C平面角与二面角P-A1B-A平面角互余等方法可适当给分)
考点：1线面垂直,二面角;2用空间向量法解决立体几何问题.
19. 在中，角的对边分别是，已知，，.
(1)求的值；
(2)若角为锐角，求的值及的面积.
参考答案：
(1)因为，，
由正弦定理，得.
(2)因为，且，
所以，.
由余弦定理，得，
解得或(舍)，所以.
20. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点.（1）
求证：⊥平面；（2）设是上一点，试确定的位置，使平面⊥平面，并说明理由. 参考答案：
（I）∵AB=B1B
∴四边形ABB1A1为正方形
∴A1B⊥AB1
又∵AC1⊥面A1BD
∴AC1⊥A1B∴A1B⊥面AB1C1
∴A1B⊥B1C1
又在直棱柱ABC—A1B1C1中BB1⊥B1C1
∴B1C1⊥平面
ABB1A1
（II）当点E为C1C的中点时，平面A1BD⊥平面BDE ∵D、E分别为AC、C1C的中点
∴DE∥AC1 ∵AC1⊥平面A1BD
∴DE⊥平面A1BD
又DE平面BDE
∴平面A1BD⊥平面BDE
略
21. 甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，从两个口袋分别任取两张牌．（Ⅰ）求恰好抽到两张A的概率．
（Ⅱ）记四张牌中含有黑桃的张数为x，求x的分布列与期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）基本事件总数n==36，恰好抽到两张A包含的基本事件个数
m==15，由此能求出恰好抽到两张A的概率．
（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E （X）．
【解答】解：（Ⅰ）甲乙两个口袋分别装有四张扑克牌，
甲口袋内的四张牌分别为红桃A，方片A，黑桃Q与梅花K，
乙口袋内的四张牌分别为黑桃A，方片Q，梅花Q与黑桃K，
从两个口袋分别任取两张牌．
基本事件总数n==36，
恰好抽到两张A包含的基本事件个数m==15，
∴恰好抽到两张A的概率p==．
（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）===，
P（X=1）===，
P（X=2）===，
P（X=3）===，
∴X的分布列为：
E（X）==．
22. 设函数f（x）=+的最大值为M．
（Ⅰ）求实数M的值；
（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．
参考答案：
考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）根据函数f（x）
=+=?+≤?=3，求得实数M的值．
（Ⅱ）关于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得x的范围．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）
=+=?+≤?=3，
当且仅当=，即 x=4时，取等号，故实数M=3．
（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．
由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，
∴|x﹣1|+|x+2|=3．
根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，
故不等式的解集为[﹣2，1]．
点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题．。