2021年高考数学数列多选题专项练习附解析
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为递增的等比数列，由 得
解得 或
∵ 为递增数列，
∴ ∴ ， ，故选项 正确；
∴ ， ，
∴ ， ，
∴数列 是等比数列，故选项 正确；
所以 ,则 ，故选项 正确.
又 ，
∴数列 是公差为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的等差数列，故选项 错误.
故选：ABC.
【点睛】
方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有：
（1）定义法；
（2）通项公式法
【详解】
在等差数列 中， ，公差 ，则数列 为递增数列，可得 ，
，可得 ， ，
所以，数列 的前 项均为负数，且 ，
因此，当 或 时， 最小.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：本题考查等差数列前 项和最大值的方法如下：
（1）利用 是关于 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果；
（2）解不等式 ，解出满足此不等式的最大的 即可找到使得 最小.
【详解】
由 ， 得， ，故 ，
又 ， ， ，故 一定是直角三角形，A正确；
的面积为 ，而 ，
故 ，
故 ，
又 （当且仅当 时等号成立）
，又由 ， 知 不是恒成立，即 ，故 ，故 为递增数列， 有最小值 ，无最大值，故BD正确，C错误.
故选：ABD.
【点睛】
本题解题关键是利用递推关系得到 ，进而得到 ，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.
即 ， ，故 ，故 .
， 正确；数列 是等比数列， 正确；
， 错误； ，故 错误.
故选： .
【点睛】
本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.
3．已知数列 的前 项和为 ,则下列说法正确的是（）
A．若 则 是等差数列
B．若 则 是等比数列
C．若 是等差数列，则
2021年高考数学数列多选题专项练习附解析
一、数列多选题
1．在 （ ）中，内角 的对边分别为 ， 的面积为 ，若 ， ， ，且 ， ，则（）
A． 一定是直角三角形B． 为递增数列
C． 有最大值D． 有最小值
【答案】ABD
【分析】
先结合已知条件得到 ，进而得到 ，得A正确，再利用面积公式得到递推关系 ，通过作差法判定数列单调性和最值即可.
（3）等差（等比）中项法
（4）等差（等比）的前 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.
5．已知等比数列 满足 ，其前 项和 ．（）
A．数列 的公比为 B．数列 为递增数列
C． D．当 取最小值时，
【答案】BD
【分析】
先结合已知条件，利用 找到 的关系，由 判断选项A错误，由 判断B正确，利用 通项公式和前n项和公式代入已知式计算 判断C错误，将 代入 ，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D正确.
4．在递增的等比数列 中，已知公比为 ， 是其前 项和，若 ， ，则下列说法正确的是（）
A． B．数列 是等比数列
C． D．数列 是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【分析】
计算可得 ，故选项 正确； ， ，所以数列 是等比数列，故选项 正确； ，所以数列 是公差为 的等差数列，故选项 错误.
【详解】
【详解】
依题意，等比数列 ， ，其前 项和 ，设公比是q，
时， ，作差得， ，即 ，故 ，即 ，即 .
选项A中，若公比为 ，则 ，即 ，即 时，数列 的公比为 ，否则数列 的公比不为 ，故错误；
选项B中，由 知， ，故 是递增数列，故正确；
选项C中，由 ， ， ， 知，
，故C错误；
选项D中，因为 ，故 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 取得最小值1，此时 ， ，故正确.
对于D选项，当 时， ，故当 时不等式不等式，故 不成立，所以D错误.
故选：BC
【点睛】
本题考查数列的前 项和为 与 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前 项和为 的公式等，考查运算求解能力.本题D选项解题的关键将问题特殊化，讨论 时， 与 大小情况.此外还需注意一下公式： ；若 是等差数列，则 .
7．已知数列 的前 项和为 ， ，且 （λ为常数）．若数列 满足 ，且 ，则满足条件的 的取值可以为（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】AB
【分析】
利用 可求得 ；利用 可证得数列 为等比数列，从而得到 ，进而得到 ；利用 可得到关于 的不等式，解不等式求得 的取值范围，根据 求得结果.
【详解】
当 时， ， ，解得：
故选：BD.
【点睛】
方法点睛：
由数列前n项和求通项公式时，一般根据 求解；
2、当两个正数 的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式 ，当且仅当 取等号.
6．已知等差数列 中， ，公差 ，则使得前 项和 取得最小值的正整数n的值是（）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
分析出数列 为单调递增数列，且 ，由此可得出结论.
D．若 是等比数列，且 则
【答案】BC
【分析】
由 求 ，根据通项公式可判断AB是否正确，由等差数列的性质可判断C，取 时，结合等比数列求和公式作差比较 与 大小即可判断D.
【详解】
对于A选项，若 ，当 时， ， 不满足 ，故A错误；
对于B选项，若 ，则 ，由于 满足 ，所以 是等比数列，故B正确；
对于C选项，若 是等差数列，则 ，故C正确.
2．如图，已知点 是 的边 的中点， 为边 上的一列点，连接 交 于 ，点 满足 ，其中数列 是首项为1的正项数列， 是数列 的前 项和，则下列结论正确的是（）
A． B．数列 是等比数列
C． D．
【答案】AB
【分析】
化简得到 ，根据共线得到 ，即 ，计算 ，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
，
故 ， 共线，故 ，
当 且 时，
，即：
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，
， ，解得：
又 ， 或
故选：AB
【点睛】
关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用 与 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．
8．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则下列选项正确的是（）
A． B．
C． D．当且仅当 时， 取得最大值
【答案】AC
【分析】
先根据题意得等差数列 的公差 ，进而计算即可得答案.
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 .
所以 ， ， ，
所以当且仅当 或 时， 取得最大值.
解得 或
∵ 为递增数列，
∴ ∴ ， ，故选项 正确；
∴ ， ，
∴ ， ，
∴数列 是等比数列，故选项 正确；
所以 ,则 ，故选项 正确.
又 ，
∴数列 是公差为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的等差数列，故选项 错误.
故选：ABC.
【点睛】
方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有：
（1）定义法；
（2）通项公式法
【详解】
在等差数列 中， ，公差 ，则数列 为递增数列，可得 ，
，可得 ， ，
所以，数列 的前 项均为负数，且 ，
因此，当 或 时， 最小.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：本题考查等差数列前 项和最大值的方法如下：
（1）利用 是关于 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果；
（2）解不等式 ，解出满足此不等式的最大的 即可找到使得 最小.
【详解】
由 ， 得， ，故 ，
又 ， ， ，故 一定是直角三角形，A正确；
的面积为 ，而 ，
故 ，
故 ，
又 （当且仅当 时等号成立）
，又由 ， 知 不是恒成立，即 ，故 ，故 为递增数列， 有最小值 ，无最大值，故BD正确，C错误.
故选：ABD.
【点睛】
本题解题关键是利用递推关系得到 ，进而得到 ，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.
即 ， ，故 ，故 .
， 正确；数列 是等比数列， 正确；
， 错误； ，故 错误.
故选： .
【点睛】
本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.
3．已知数列 的前 项和为 ,则下列说法正确的是（）
A．若 则 是等差数列
B．若 则 是等比数列
C．若 是等差数列，则
2021年高考数学数列多选题专项练习附解析
一、数列多选题
1．在 （ ）中，内角 的对边分别为 ， 的面积为 ，若 ， ， ，且 ， ，则（）
A． 一定是直角三角形B． 为递增数列
C． 有最大值D． 有最小值
【答案】ABD
【分析】
先结合已知条件得到 ，进而得到 ，得A正确，再利用面积公式得到递推关系 ，通过作差法判定数列单调性和最值即可.
（3）等差（等比）中项法
（4）等差（等比）的前 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.
5．已知等比数列 满足 ，其前 项和 ．（）
A．数列 的公比为 B．数列 为递增数列
C． D．当 取最小值时，
【答案】BD
【分析】
先结合已知条件，利用 找到 的关系，由 判断选项A错误，由 判断B正确，利用 通项公式和前n项和公式代入已知式计算 判断C错误，将 代入 ，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D正确.
4．在递增的等比数列 中，已知公比为 ， 是其前 项和，若 ， ，则下列说法正确的是（）
A． B．数列 是等比数列
C． D．数列 是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【分析】
计算可得 ，故选项 正确； ， ，所以数列 是等比数列，故选项 正确； ，所以数列 是公差为 的等差数列，故选项 错误.
【详解】
【详解】
依题意，等比数列 ， ，其前 项和 ，设公比是q，
时， ，作差得， ，即 ，故 ，即 ，即 .
选项A中，若公比为 ，则 ，即 ，即 时，数列 的公比为 ，否则数列 的公比不为 ，故错误；
选项B中，由 知， ，故 是递增数列，故正确；
选项C中，由 ， ， ， 知，
，故C错误；
选项D中，因为 ，故 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 取得最小值1，此时 ， ，故正确.
对于D选项，当 时， ，故当 时不等式不等式，故 不成立，所以D错误.
故选：BC
【点睛】
本题考查数列的前 项和为 与 之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前 项和为 的公式等，考查运算求解能力.本题D选项解题的关键将问题特殊化，讨论 时， 与 大小情况.此外还需注意一下公式： ；若 是等差数列，则 .
7．已知数列 的前 项和为 ， ，且 （λ为常数）．若数列 满足 ，且 ，则满足条件的 的取值可以为（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】AB
【分析】
利用 可求得 ；利用 可证得数列 为等比数列，从而得到 ，进而得到 ；利用 可得到关于 的不等式，解不等式求得 的取值范围，根据 求得结果.
【详解】
当 时， ， ，解得：
故选：BD.
【点睛】
方法点睛：
由数列前n项和求通项公式时，一般根据 求解；
2、当两个正数 的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式 ，当且仅当 取等号.
6．已知等差数列 中， ，公差 ，则使得前 项和 取得最小值的正整数n的值是（）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
分析出数列 为单调递增数列，且 ，由此可得出结论.
D．若 是等比数列，且 则
【答案】BC
【分析】
由 求 ，根据通项公式可判断AB是否正确，由等差数列的性质可判断C，取 时，结合等比数列求和公式作差比较 与 大小即可判断D.
【详解】
对于A选项，若 ，当 时， ， 不满足 ，故A错误；
对于B选项，若 ，则 ，由于 满足 ，所以 是等比数列，故B正确；
对于C选项，若 是等差数列，则 ，故C正确.
2．如图，已知点 是 的边 的中点， 为边 上的一列点，连接 交 于 ，点 满足 ，其中数列 是首项为1的正项数列， 是数列 的前 项和，则下列结论正确的是（）
A． B．数列 是等比数列
C． D．
【答案】AB
【分析】
化简得到 ，根据共线得到 ，即 ，计算 ，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
，
故 ， 共线，故 ，
当 且 时，
，即：
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，
， ，解得：
又 ， 或
故选：AB
【点睛】
关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用 与 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．
8．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则下列选项正确的是（）
A． B．
C． D．当且仅当 时， 取得最大值
【答案】AC
【分析】
先根据题意得等差数列 的公差 ，进而计算即可得答案.
【详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 .
所以 ， ， ，
所以当且仅当 或 时， 取得最大值.