山东省菏泽市十五所重点中学联考高一数学下学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年山东省菏泽市十五所重点中学联考高一（下）期末数
学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．把﹣表示成θ+2kπ（k∈Z）的形式，且使|θ|最小的θ的值是（）
A．B．C．D．
2．设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（）
A．1 B．4 C．1或4 D．π
3．已知角α的终边经过点P（﹣4m，3m）（m≠0），则2sinα+cosα的值是（）
A．1或﹣1 B．或﹣C．1或﹣D．﹣1或
4．如图是某运动员在某个赛季得分的茎叶图统计表，则该运动员得分的中位数是（）
A．2 B．24 C．23 D．26
5．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为（）
A．B．C．D．
6．把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得的图
象的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）
A．y=sin（x+），x∈R B．y=sin（x+），x∈R
C．y=sin（2x+），x∈R D．y=sin（2x+），x∈R
7．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件
是（）
A．i≤1007 B．i≤1008 C．i＞1008 D．i＞1007
8．已知向量=（2cosθ，2sinθ），=（3，），且与共线，θ∈[0，2π），则θ=（）
A．B．C．或D．或
9．某地地铁3号线北段于2016年12月16日开通运营，已知地铁列车每12分钟发一班，其中在车站停1分钟，则乘客到达站台立即上车（不需要等待）的概率是（）
A．B．C．D．
10．扇形AOB的半径为2，圆心角∠AOB=120°，点D是的中点，点C在线段OA上，且
OC=，则•的值为（）
A．2﹣B．2+3 C．2+D．2﹣3
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中横线上.）
11．已知tan α=﹣，则的值是．
12．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则其解析式
为．
13．某研究性学习小组要进行城市空气质量调查，按地域把48个城市分成甲、乙、丙三组，其中甲、乙两组的城市数分别为8和24，若用分层抽样从这48个城市抽取12个进行调查，则丙组中应抽取的城市数为．
14．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为．15．下列说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛；事件“至少1名女生”与事件“全是男生”是对立事件；
④第二象限的角都是钝角．
以上说法正确的序号是（填上所有正确命题的序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（Ⅰ）化简．
（Ⅱ）计算．
17．已知函数f（x）=2sin（2ωx+）+1（其中0＜ω＜1），若点（﹣，1）是函数f
（x）图象的一个对称中心，
（1）试求ω的值；
（2）先列表，再作出函数f（x）在区间x∈[﹣π，π]上的图象．
18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率；
（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为
=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
19．如表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）
10
（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？20．已知与的夹角为1200，且||=2，||=3．
（1）求•和|3+2|；
（2）当x为何值时，x﹣与+3垂直？
（3）求与3的夹角．
21．已知函数f（x）=2sin（2ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））的图象中相邻两条对
称轴间的距离为，且点（﹣，0）是它的一个对称中心．
（1）求f（x）的表达式，并求出f（x）的单调递增区间．
（2）若f（ax）（a＞0）在（0，）上是单调递减函数，求a的最大值．
2015-2016学年山东省菏泽市十五所重点中学联考高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．把﹣表示成θ+2kπ（k∈Z）的形式，且使|θ|最小的θ的值是（）
A．B．C．D．
【考点】终边相同的角．
【分析】利用终边相同的角的表示方法，可得和终边相同的角的表示为：
2kπ，k∈Z，然后求出符合题意的θ的值．
【解答】解：和终边相同的角的表示为：2kπ，k∈Z，即2kπ﹣，或2kπ+；要使|θ|最小，
所以θ=﹣
故选A
2．设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（）
A．1 B．4 C．1或4 D．π
【考点】扇形面积公式．
【分析】设扇形中心角的弧度数为α，半径为r．利用弧长公式、扇形的面积计算公式可得
αr=2， =2，解出即可．
【解答】解：设扇形中心角的弧度数为α，半径为r．
则αr=2， =2，
解得α=1．
故选：A．
3．已知角α的终边经过点P（﹣4m，3m）（m≠0），则2sinα+cosα的值是（）
A．1或﹣1 B．或﹣C．1或﹣D．﹣1或
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】求出OP的距离r，对m＞0，m＜0，分别按照题意角的三角函数的定义，求出sinα和cosα的值，然后再求2sinα+cosα的值，可得结果．
【解答】解：，
当m＞0时，，；
当m＜0时，，
．
故选B．
4．如图是某运动员在某个赛季得分的茎叶图统计表，则该运动员得分的中位数是（）
A．2 B．24 C．23 D．26
【考点】茎叶图．
【分析】利用茎叶图和中位数的定义求解．
【解答】解：由茎叶图知，运动员在某个赛季得分为：
12，15，22，23，25，26，31，
∴该运动员得分的中位数为：23．
故选：C．
5．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案．
、（包袱，包袱）．
∴甲和乙平局的概率为： =．
故选：A．
6．把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得的图
象的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）
A．y=sin（x+），x∈R B．y=sin（x+），x∈R
C．y=sin（2x+），x∈R D．y=sin（2x+），x∈R
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象平移变换和伸缩变换的法则，结合平移前函数的解析式y=sinx可得答案．
【解答】解：把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，可得
函数y=sin（x+）的图象，
再将所得的图象的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=sin（2x+）的
图象，
故选：D
7．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件
是（）
A．i≤1007 B．i≤1008 C．i＞1008 D．i＞1007
【考点】程序框图．
【分析】由题意可知，首先是判断框中的条件满足，所以框图依次执行循环，框图执行第一
次循环后，S的值为，执行第二次循环后，s的值为，满足，
框图应执行1008次循环，i的值为1009时判断框中的条件应该不满足，算法结束，由此得到判断框中的条件．
【解答】解：执行程序框图，有s=0，
第1次循环：i=1，s=，
第2次循环：i=2，s=，
第3次循环：i=3，s=+，
…
第1008次循环：i=1008，s=，
i=1009，不满足条件，退出循环，输出s的值，
则判断框内应填入的条件是：i≤1008或i＜1009．
故选：B．
8．已知向量=（2cosθ，2sinθ），=（3，），且与共线，θ∈[0，2π），则θ=（）
A．B．C．或D．或
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵与共线，∴6sinθ﹣2cosθ=0，
∴tanθ=，
∵θ∈[0，2π），
∴θ=或π．
故选：D．
9．某地地铁3号线北段于2016年12月16日开通运营，已知地铁列车每12分钟发一班，其中在车站停1分钟，则乘客到达站台立即上车（不需要等待）的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】根据几何概型的概率公式，乘客到达站台立即上车（不需要等待）等价为乘客在地铁在站停1分钟的时间内到达车站，计算出相应的时间进行求解即可．
【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，
试验发生包含的事件是地铁列车每12分钟发一班，共有12分钟
满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只要1分钟，
即只要乘客在地铁在站停1分钟的时间内到达车站，即可立即上车，
记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，
∴事件A发生的概率P=．
故选：B
10．扇形AOB的半径为2，圆心角∠AOB=120°，点D是的中点，点C在线段OA上，且
OC=，则•的值为（）
A．2﹣B．2+3 C．2+D．2﹣3
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】建立坐标系，根据三角函数的定义求出C，D，B的坐标，利用向量数量积的坐标公式进行计算即可．
【解答】解：建立坐标系如图，
∵D是的中点，
∴∠B0D=60°，
则B（2，0），D（2cos60°，2sin60°），即D（1，），
C（cos120°，sin120°），即C（﹣，），
则=（1+，﹣），
则•=（1+，﹣）•（2，0）=2+，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中横线上.）
11．已知tan α=﹣，则的值是﹣．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】原式分子利用同角三角函数间的基本关系及完全平方公式变形，分母利用平方差公式化简，约分后再利用同角三角函数间的基本关系化简后，把tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵tanα=﹣，
∴原式=====﹣
．
故答案为：﹣
12．函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜
）的部分图象如图，则其解析式为
．
【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】利用函数的图象经过的最大值求出A ，可求函数的周期，利用周期公式可求出ω，利用函数的图象的特殊点求出φ，即可求出函数的解析式． 【解答】（本题满分为10分） 解：由图象可知：A=1，…
可得：T=2×（﹣
）=π=
，
∴解得：ω=2，…
∵函数的图象经过（，1），
∴1=sin （2×+φ），
∵φ=2k π+，|φ|＜
，
∴φ=
…
∴函数的解析式y=sin （2x+）．
故答案为：
．…
13．某研究性学习小组要进行城市空气质量调查，按地域把48个城市分成甲、乙、丙三组，其中甲、乙两组的城市数分别为8和24，若用分层抽样从这48个城市抽取12个进行调查，则丙组中应抽取的城市数为 4 ． 【考点】计数原理的应用．
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【解答】解：由题意，丙组城市数为16，则：
用分层抽样从这48个城市抽取12个进行调查，丙组中应抽取的城市数为：
=4，
故答案为：4．
14．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a ，b ，c 三数由大到小关系为 c ＞b ＞a ． 【考点】三角函数线．
【分析】分别作出三角函数线，比较可得．
【解答】解：∵a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，
作出三角函数线结合图象可得c＞b＞a，
故答案为：c＞b＞a．
15．下列说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；
③某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛；事件“至少1名女生”与事件“全是男生”是对立事件；
④第二象限的角都是钝角．
以上说法正确的序号是①③（填上所有正确命题的序号）．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据样本数据方差的应用进行判断，
②根据回归方程中回归系数进行判断，
③根据对立事件的定义进行判断，
④根据象限角和钝角的定义和范围进行判断．
【解答】解：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数据的稳定性不变，则方差恒不变；故①正确，
②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位；故②不正确，
③某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛；事件“至少1名女生”与事件“全是男生”是对立事件；正确，故③正确，
④第二象限的角都是钝角．错误当α=360°+120°=480°在第二象限，但α不是钝角，故④错误，
故答案为：①③
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（Ⅰ）化简．
（Ⅱ）计算．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可得解；
（2）利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．
【解答】本大题共2个小题，每小题5分，共10分
解：（1）原式=…
=…
=tanαtanα
=tan2α．…
（2）
17．已知函数f（x）=2sin（2ωx+）+1（其中0＜ω＜1），若点（﹣，1）是函数f
（x）图象的一个对称中心，
（1）试求ω的值；
（2）先列表，再作出函数f（x）在区间x∈[﹣π，π]上的图象．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．
【分析】（1）由已知可得，从而可解得ω的值．
（2）列表，描点，连线，由五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象即可．
【解答】解：f（x）=
（1）∵点是函数f（x）图象的一个对称中心，
∴
∴
∵0＜ω＜1
∴k=0，…
（2）由（1）知，x∈[﹣π，π]
则函数f（x）在区间x∈[﹣π，π]上的图象如图所示．…
18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[120，130）内的频率；
（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为
=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．
【考点】频率分布直方图；分层抽样方法．
【分析】（1）根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在[120，130）内的频率；
（2）由频率分布直方图计算出平均分；
（3）计算出[110，120）与[120，130）分数段的人数，用分层抽样的方法在各分数段内抽取的人数组成样本，
求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”概率即可．
【解答】解：（1）分数在[120，130）内的频率为
1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；
（2）估计平均分为
=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121；
（3）依题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人），
[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）；
∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；
在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，
则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种；
则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；
∴P（A）==．
19．如表提供了某厂生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）
10
（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测生产20吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？【考点】线性回归方程．
【分析】（1）产量x与相应的生产能耗y的平均数，得到样本中心点，把所给的数据代入公
式，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，再求出的值，从而得到线性回归方程；
（2）当x=20，代入回归直线方程，求得．
【解答】解：（1）由题意得==6， ==7，…
=2×5+4×6+6×5+8×9+10×10=236，…
=4+16+36+64+100=220，…
则===0.65，…
=﹣=7﹣0.65×6=3.1，…
故线性回归方程为=0.65x+3.1；…
（2）根据线性回归方程的预测，现在生产当x=20吨时，产品消耗的标准煤的数量为：=0.65×20+3.1=16.1
答：预测生产20吨甲产品的生产能耗16.1吨标准煤…
20．已知与的夹角为1200，且||=2，||=3．
（1）求•和|3+2|；
（2）当x为何值时，x﹣与+3垂直？
（3）求与3的夹角．
【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．
【分析】（1）根据向量数量积的定义和应用即可求•和|3+2|；
（2）根据向量垂直转化为（x﹣）•（+3）=0，解方程即可．
（3）根据向量数量积的应用即可求与3的夹角．
【解答】解：（1）∵与的夹角为1200，且||=2，||=3．
∴，
∵，
∴．
（2）若x﹣与+3垂直，
则，
∴．
（3）设与3的夹角为θ，则•（3）=32+2•=12﹣6=6，
则，
∴与3的夹角θ=60°．
21．已知函数f（x）=2sin（2ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））的图象中相邻两条对
称轴间的距离为，且点（﹣，0）是它的一个对称中心．
（1）求f（x）的表达式，并求出f（x）的单调递增区间．
（2）若f（ax）（a＞0）在（0，）上是单调递减函数，求a的最大值．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（1）求出函数的周期，得到ω，利用函数的对称中心，求出φ，得到函数的解析式，利用余弦函数的单调性求解函数的单调减区间．
（2）利用函数的单调区间，列出不等式，即可求出a的最大值．
【解答】（本小题满分14分）
解：（1）由题意函数f（x）=2sin（2ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））的图象中相邻
两条对称轴间的距离为，且点（﹣，0）是它的一个对称中心，得f（x）的最小正周期为π，
∴T=∴ω=1．
∴函数f（x）=2sin（2x+φ），
又点（﹣，0）是它的一个对称中心，
∴sin（2（）+φ）=0，
∵φ∈（0，π）∴φ=．
∴f（x）=2sin（2x+）=2cos2x，
由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π，k∈Z．
得，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
（2）因为f（ax）=2cos2ax，
又f（ax）（a＞0）在（0，）上是单调递减函数，
∴，∴，
即a的最大值为．。