_2021年人教版九年级中考数学复习《锐角三角函数》冲刺与提升专题练习

人教版2021年中考数学复习《锐角三角函数》冲刺与提升专题练习 一、选择题（每题3分，共30分）. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 1.如图所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 是BC 边上的中线,BD=4,AD=2,则tan ∠CAD 的值是 ( ) A.2 B. C. D. 2.为测量如图所示上山坡道的倾斜度,小明测得图中所示的数据,则该坡道倾斜角α的正切值是 ( ) A. B. C. D. 3. 若0°<∠A<90°,且4cos 2A-2=0,则∠A 的度数为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 4. 如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,D 是AC 上一点.若tan ∠DBA=,那么AD 的长为 ( ) A.2 B. C. D.1
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5. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的
格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是( )
A. B.1 C. D.2
6. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是( )
A.sinB=
B.sinB=
C.sinB=
D.sinB=
7. 某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度i=1∶,坝外斜坡的坡度
i=1∶1,则两个坡角的和为( )
A.75°
B.105°
C.90°
D.60°
8. 轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是( )
A.25海里
B.25海里
C.50海里
D.25海里
9. 某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量.如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计,≈1.7,结果精确到1m,则该楼的高度CD为( )
A.47m
B.51m
C.53m
D.54m
10. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）
A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos x C．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x
二、填空题（每题4分，共40分）.
11. 在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tanB的值
是 .
12. 如图,将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tan∠
AOB=________.
13. 正比例函数y=kx的图象经过点A(3,2),则它与x轴所夹锐角的正切值
是.
14. 如何求22.5°的正切值?小明想了一个办法:把一张正方形纸片(正方形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B恰好落在对角线AC上,折痕为EC.根据小明的操作,通过计算可以得到tan22.5°=________.(保留根号)
15. 若tan(x+10°)=1,则锐角x=______.
16. 如图,在矩形ABCD中,BC=2,将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°,点A,C分别落在点A′,C′处,如果点A′,C′,B在同一条直线上,那么tan∠ABA′的值为________.
17. 某中学要修建一座图书楼,为改善安全性能,把楼梯的倾斜角由原来设计的45°改为30°.已知原来设计的楼梯长为4.5m,在楼梯高度不变的情况下,调整后的楼梯多占地面________m.
18. 如图,在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道A处的俯角为30°,B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A,D,B在同一直线上,则AB两点的距离是________米.
19. 在平面直角坐标系xOy中,已知一次函数y=kx+b的图象经过点P(1,1),与x 轴交于点A,与y轴交于点B,且tan∠ABO=3,那么点A的坐标是______.
20. 如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,则楼房CD的高度为________m.(≈1.7)
三.解答题（50分）.
21.计算:(1) |-2|+4cos30°-+.
(2) (π-4)0+|3-tan60°|-+.
22. 如图,在△ABC中,AC=4,BC=3,CD⊥AB于点D,BD=2,求tanA,tanB的值.
23.在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将△CDE对折,使点D 正好落在AB边上的点F处,求tan∠AFE.
24.如图,已知锐角△ABC.
(1)过点A作BC边的垂线MN,交BC于点D(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法).
(2)在(1)条件下,若BC=5,AD=4,tan∠BAD=,求DC的长.
25.如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）求古树BH的高；
（2）求教学楼CG的高.（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）
26.如图,在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C,灯塔C距码头的东端N有20km.轮船以36km/h的速度航行,上午10:00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向,上午10:40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向,且与灯塔C相距12km.
(1)若轮船照此速度与航向航行,何时到达海岸线?
(2)若轮船不改变航向,该轮船能否停靠在码头?请说明理由.(参考数据:≈1.4,≈1.7)
人教版2021年中考数学复习《锐角三角函数》冲刺与提升专题练习 （解析版） 二、选择题（每题3分，共30分）. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 1.如图所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 是BC 边上的中线,BD=4,AD=2,则tan ∠CAD 的值是 ( ) A.2 B. C. D. 【解析】选A.CD=BD=4,AD=2,根据勾股定理求出AC=2,则tan ∠CAD===2. 2.为测量如图所示上山坡道的倾斜度,小明测得图中所示的数据,则该坡道倾斜角α的正切值是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选B.如图,AC=3,BC=4,则tan α=tan ∠ABC==. 3. 若0°<∠A<90°,且4cos 2A-2=0,则∠A 的度数为 ( )
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A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
【解析】选B.因为0°<∠A<90°,所以0<cosA<1.由4cos2A-2=0得cosA=(取正值),所以∠A=45°.
4. 如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点.若tan∠DBA=,那么AD的长为( )
A.2
B.
C.
D.1
【解析】选A.设AD=x,作DE⊥AB于E,
则DE=AD·sinA=x,在Rt△DEB中,
∵tan∠DBE==,
∴BE=5DE=x,∴BD2=DE2+BE2=13x2,
在Rt△DCB中,BD2=CD2+BC2,
又CD=6-x,BC=6,∴(6-x)2+62=13x2,解得x
1=2,x
2
=-3(舍),∴AD=2.
5. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是( )
A. B.1 C. D.2
【解析】选D.连接AP,QB,
由网格可得:∠PAB=∠QBA=90°,
又∵∠AMP=∠BMQ,
∴△PAM∽△QBM,
∴=,
设小正方形边长为1,则
AP=3,BQ=,AB=2,
∴=,
解得:AM=,
∴tan∠QMB=tan∠PMA===2.
6. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是( )
A.sinB=
B.sinB=
C.sinB=
D.sinB=
【解析】选C.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,sinB=,
∵AD⊥BC,
∴sinB=.
∵AD⊥BC,∴∠B+∠BAD=90°,
又∵∠BAD+∠DAC=90°,∴∠B=∠DAC,
∴sinB=.
7. 某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度i=1∶,坝外斜坡的坡度
i=1∶1,则两个坡角的和为( )
A.75°
B.105°
C.90°
D.60°
【解析】选A.如图所示,作DE⊥AB于点E,作CF⊥AB于点F,则∠DEA=∠CFB= 90°,
∵ED∶AE=1∶,∴∠A=30°.
∵CF∶BF=1∶1,∴∠B=45°.
∴∠A+∠B=30°+45°=75°.
8. 轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是( )
A.25海里
B.25海里
C.50海里
D.25海里
【解析】选D.根据题意,
∠1=∠2=30°,∵∠ACD=60°,
∴∠ACB=30°+60°=90°,
∵∠CBA=75°-30°=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∵BC=50×0.5=25,
∴AC=BC=25(海里).
9. 某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量.如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60m至B处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计,≈1.7,结果精确到1m,则该楼的高度CD为( )
A.47m
B.51m
C.53m
D.54m
【解析】选B.由题意可得∠ADB=∠DBC-∠A=60°-30°=30°,∴∠A=∠ADB,
∴BA=BD=60.在Rt△DBC中,sin∠DBC=,
所以CD=60×=30≈30×1.7=51.
10. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）
A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos x C．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x 【解析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，
∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=acosx+bsinx，故选D．
二、填空题（每题4分，共40分）.
11. 在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tanB的值
是 .
【解析】设BC=x,则AB=3x,由勾股定得,AC=2x,tanB===2.
12. 如图,将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tan∠
AOB=________.
【解析】tan∠AOB==.
答案:
13. 正比例函数y=kx的图象经过点A(3,2),则它与x轴所夹锐角的正切值
是.
【解析】选A.过点A作AB⊥x轴于点B,
∵A(3,2),
∴AB=2,OB=3,
∵正比例函数y=kx的图象经过点A(3,2),
∴它与x轴所夹锐角的正切值为tan∠AOB==.
14. 如何求22.5°的正切值?小明想了一个办法:把一张正方形纸片(正方形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B恰好落在对角线AC上,折痕为EC.根据小明的操作,通过计算可以得到tan22.5°=________.(保留根号)
【解析】∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EAB′=45°,
∵∠EB′C=∠EBC=90°(折叠的性质),
∴∠AEB′=45°,
设BE=EB′=x,则AE=x,AB=(+1)x,
则tan∠BCE=tan22.5°====-1.
答案:-1
15. 若tan(x+10°)=1,则锐角x=______.
【解析】∵tan(x+10°)=1,∴tan(x+10°)=,
∴x+10°=30°,∴x=20°.
答案:20°
16. 如图,在矩形ABCD中,BC=2,将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°,点A,C分别落在点A′,C′处,如果点A′,C′,B在同一条直线上,那么tan∠ABA′的值为________.
【解析】如图,设矩形的边长CD=x,
由=,得=,
整理,得:x2+2x-4=0,解得:x=-1±,
所以,CD=-1,
所以,tan∠ABA′=tan∠BA′C==.
答案:
17. 某中学要修建一座图书楼,为改善安全性能,把楼梯的倾斜角由原来设计的45°改为30°.已知原来设计的楼梯长为4.5m,在楼梯高度不变的情况下,调整后的楼梯多占地面________m.
【解析】如图,
设楼梯的高为AC,原楼梯所占的地面长为BC,调整后楼梯多占的长为BD,则在
Rt△ABC中,AC=AB·sin45°=4.5×sin45°=m,BC=AB·cos 45°=4.5×
cos 45°=m.
在Rt△ACD中,DC=AC÷tan 30°=×=m.
∴DB=DC-BC=-=(m).
∴调整后的楼梯多占地面m.
答案:
18. 如图,在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道A处的俯角为30°,B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A,D,B在同一直线上,则AB两点的距离是________米.
【解析】由已知,得∠A=30°,∠B=45°,CD=200,
∵CD⊥AB于点D.
∴在Rt△ACD中,∠CDA=90°,tanA=,
∴AD==200,
在Rt△BCD中,∠CDB=90°,∠B=45°,
∴DB=CD=200,
∴AB=AD+DB=200+200.
答案:200(+1)
19. 在平面直角坐标系xOy中,已知一次函数y=kx+b的图象经过点P(1,1),与x 轴交于点A,与y轴交于点B,且tan∠ABO=3,那么点A的坐标是______.
【解析】由题意知,点B在y轴的正半轴上,设B(0,m),m>0.∵在Rt△AOB中, tan∠ABO===3,
∴AO=3m.
当点A在x轴正半轴上时,A(3m,0),直线AB表达式为y=kx+b,∵过
A(3m,0),B(0,m),∴0=3mk+b,b=m,解得k=-.∴y=-x+m,将P(1,1)代入
得,1=-+m,解得m=.∴y=-x+.当y=0时,x=4.故A(4,0).
当点A在x轴的负半轴上时,A(-3m,0),设直线AB解析式为y=k′x+m,∵过
A(-3m,0),∴0=-3mk′+m,解得k′=.∴y=x+m,将P(1,1)代入得,1=+m,解得m=.
∴y=x+.当y=0时,x=-2.故A(-2,0).
综上所述点A的坐标为(4,0)或(-2,0).
答案:(4,0)或(-2,0)
20. 如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,则楼房CD的高度为________m.(≈1.7)
【解析】过点B作BE⊥DC于点E,则CE=AB=12,
在Rt△BEC中,BE===12.
在Rt△BED中,DE=BE·tan∠DBE=12·tan45°=12.
∴CD=CE+DE=12+12≈32.4.
所以楼房CD的高度为32.4m.
答案:32.4
三.解答题（50分）.
21.计算:(1)(2016·南宁中考)|-2|+4cos30°-+.
(2)(2016·沈阳中考)(π-4)0+|3-tan60°|-+.
【解析】(1)原式=2+4×-8+2=4-6.
(2)原式=1+3--4+3
=2.
22. 如图,在△ABC中,AC=4,BC=3,CD⊥AB于点D,BD=2,求tanA,tanB的值.
【解析】在Rt△BDC中,BC=3,BD=2,
∴CD===,
∴tanB==.
在Rt△ADC中,AC=4,CD=,
∴AD===,
∴tanA===.
23.在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将△CDE对折,使点D 正好落在AB边上的点F处,求tan∠AFE.
【解析】根据图形有:∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°,
根据折叠的性质,∠EFC=∠EDC=90°,
即∠AFE+∠BFC=90°,
而在Rt△BCF中,有∠BCF+∠BFC=90°,
易得∠AFE=∠BCF,
根据折叠的性质,有CF=CD,
在Rt△BFC中,BC=8,CF=CD=10,
由勾股定理易得:BF=6,则tan∠BCF=;
故有tan∠AFE=tan∠BCF=.
24.如图,已知锐角△ABC.
(1)过点A作BC边的垂线MN,交BC于点D(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法).
(2)在(1)条件下,若BC=5,AD=4,tan∠BAD=,求DC的长.
【解析】(1)如图所示,MN为所作:
(2)在Rt△ABD中,tan∠BAD==,
∴=,∴BD=3,∴DC=BC-BD=5-3=2.
25.如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．
（1）求古树BH的高；
（2）求教学楼CG的高.（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）
解析：（1）在Rt△EFH中，
∠HEF=90°，∠HFE=45°，
∴HE=EF=10，
∴BH=BE+HE=1.5+10=11.5，
∴古树的高为11.5米；
（2）在Rt△EDG中，∠GED=60°，
∴DG=DEtan60°=3DE，
设DE=x米，则DG=3x米，
在Rt△GFD中，∠GDF=90°，∠GFD=45°，
∴GD=DF=EF+DE，
∴3x=10+x，
解得x=53+5，
∴CG=DG+DC=3x+1.5
=3(53+5)+1.5
=16.5+53≈25，
答：教学楼CG的高约为25米．
26.如图,在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C,灯塔C距码头的东端N有20km.轮船以36km/h的速度航行,上午10:00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向,上午10:40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向,且与灯塔C相距12km.
(1)若轮船照此速度与航向航行,何时到达海岸线?
(2)若轮船不改变航向,该轮船能否停靠在码头?请说明理由.(参考数据:≈1.4,≈1.7)
【解析】(1)延长AB交海岸线l于点D,过点B作BE⊥l于点E,过点A作AF⊥l 于点F,如图所示.
∵∠BEC=∠AFC=90°,∠EBC=60°,∠CAF=30°,
∴∠ECB=30°,∠ACF=60°,
∴∠BCA=90°,
∵BC=12,AB=36×=24,
∴AB=2BC,
∴∠BAC=30°,∠ABC=60°,
∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°,
∴∠BDC=∠BCD=30°,
∴BD=BC=12,
∴时间t==小时=20分钟,
∴轮船照此速度与航向航行,上午11:00到达海岸线.
(2)∵BD=BC,BE⊥CD,
∴DE=EC,
在Rt△BEC中,∵BC=12,∠BCE=30°,
∴BE=6,EC=6≈10.2,
∴CD=20.4,
∵20<20.4<21.5,
∴轮船不改变航向,轮船可以停靠在码头.。