高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数课件新人教A版选择性
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线 l 在 x 轴上的截距． 解：设直线 l 与曲线 C1：y＝ex 的切点为 A(x1，ex1)，与曲线 C2：y＝14e2x2 的 切点为 Bx2，14e2x22.由 y＝ex，得 y′＝ex，所以曲线 C1 在点 A 处的切线方程 为 y－ex1＝ex1(x－x1)，即 y＝ex1x－ex1(x1－1)．①
(3)y＝log3x; (4)y＝sinπ2＋x.
[解] (1)y′＝－5x－6. (2)y′＝4xln 4. (3)y′＝xln1 3. (4)∵y＝sinπ2＋x＝cos x， ∴y′＝－sin x.
[方法技巧] 求函数的导数的常见类型及解题技巧
(1)对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和差形式． (2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形． (3)对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式． (4)对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低，结构尽 量简单，从而便于求导．
[对点练清] 1．f(x)＝ln x 在 x＝e 处的导数值为
A．0 B．1e C．1 D．e 解析：∵f(x)＝ln x，∴f′(x)＝1x.∴f′(e)＝1e. 答案：B
()
2．求下列函数的导数：
(1)y＝12x；(2)y＝x
x；(3)y＝log 1 x. 3
解：(1)y′＝12x′＝12xln12＝－12xln 2.
5．2 导数的运算
5．2.1 基本初等函数的导数 [新课程标准] 1．能根据导数定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 3．通过导数的计算，培养学生数学运算的核心素养．
(一)教材梳理填空 1．几种常用函数的导数
[方法技巧] 解决有关切线问题的关注点
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他 的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关 键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时 的易错点．
原函数 f(x)＝c(c 为常数)
f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝x3 f(x)＝1x
f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0_ f′(x)＝_1_ f′(x)＝_2_x_ f′(x)＝_3_x_2_
f′(x)＝_－__x1_2 _ 1
f′(x)＝_2___x_
2．基本初等函数的导数公式 原函数
(2)因为 y′＝2x，直线 PQ 的斜率 k＝42－＋11＝1， 所以切线的斜率 k＝y′|x＝x0＝2x0＝1， 解得 x0＝12，所以切点 M12，14， 所以与 PQ 平行的切线方程为 y－14＝x－12，即 4x－4y－1＝0.
题型三 导数的简单综合应用 [学透用活]
[典例 3] (1)质点的运动方程是 S＝sin t，则质点在 t＝π3 时的速度为 ________；质点运动的加速度为________．
[对点练清]
2
1．曲线 y＝x 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x＝2 所围成的三角形的面积为
()
A.53 B．89 C.2152 D．142
解析：可求得
y′＝23x
-1 3
，
即 y′|x＝1＝23，切线方程为 2x－3y＋1＝0，
与 x 轴的交点坐标为－12，0， 与 x＝2 的交点坐标为2，53， 故围成的三角形面积为12×2＋12×53＝2152.
[方法技巧]
导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我 们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义即切线的斜率建立相应的未知参数 的方程来解决，这是解决问题的关键所在． (2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识 结合出现综合大题．遇到一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题， 可以结合导数的几何意义分析．
由 y＝14e2x2，得 y′＝12e2x，所以曲线 C2 在点 B 处的切线方程为 y－14e2x22＝12e2x2(x －x2)，即 y＝12e2x2x－14e2x22.② 因为①②表示的切线为同一直线，
所以eexx11＝ x112－e21x2＝，14e2x22，
解得xx12＝ ＝22， ，
所以直线 l 的方程为 y＝e2x－e2.令 y＝0，可得直线 l 在 x 轴上的截距为 1.
(2)由于y＝sin x，y＝cos x， 设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)． ∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
f(x)＝xα(α∈Q ，且 α≠0) f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax(a>0，且 a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
f(x)＝ln x
导函数
f′(x)＝__α_x_α_－_1 _
f′(x)＝__c_o_s_x__ f′(x)＝__－__si_n__x_ f′(x)＝__a_xl_n_a__
(2)显然 Q(1,0)不在曲线 y＝1x上， 则可设过该点的切线的切点为 Aa，1a， 那么该切线斜率为 k＝f′(a)＝－a12. 则切线方程为 y－1a＝－a12(x－a)．① 将 Q(1,0)代入方程得 0－1a＝－a12(1－a)． 解得 a＝12，代入方程①整理可得切线方程为 y＝－4x＋4.
答案：A
() () ()
2．若 y＝cos 23π，则 y′＝
A．－
3 2
C．0
B．－12 D．12
答案：C
3．函数 y＝ x在点14，12处切线的倾斜角为
A.π6
B．π4
C.π3
D．34π
答案：B
() ()
题型一 利用导数公式求函数的导数 [学透用活]
[典例1] 求下列函数的导数： (1)y＝x－5; (2)y＝4x；
(2)已知两条曲线 y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点， 使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解析] (1)∵v(t)＝S′(t)＝cos t， ∴vπ3＝cosπ3＝12. 即质点在 t＝π3时的速度为12. ∵v(t)＝cos t， ∴加速度 a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t. 答案：12 －sin t
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂
直A．f(x)＝sin x
B．f(x)＝ln x
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝x3
解析：设函数 y＝f(x)的图象上两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义 可知，点 P，Q 处切线的斜率分别为 k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)．若函数具有 T 性 质，则 k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于 A 选项，f′(x)＝cos x，显然 k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1 有无数组解，所以该函数具有 T 性质；对于 B 选项，f′(x)＝1x(x>0)， 显然 k1·k2＝x11·x12＝－1 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 C 选项，f′(x)＝ex>0， 显然 k1·k2＝ex1·ex2＝－1 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 D 选项，f′(x)＝ 3x2≥0，显然 k1·k2＝3x21·3x22＝－1 无解，故该函数不具有 T 性质．故选 A.
答案：C
2．当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？请求出切点． 解：设切点为 A(x0，x20＋k)．∵y′＝2x，
∴2xx20＋0＝k＝1，x0， ∴xk0＝＝1412，，
故当 k＝14时，直线 y＝x 与曲线 y＝x2＋k 相切，
且切点坐标为12，
1 2.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．已知直线 l 既是曲线 C1：y＝ex 的切线，又是曲线 C2：y＝14e2x2 的切线，求直
题型二 利用导数公式求切线方程 [学透用活]
[典例 2] 已知曲线 y＝1x. (1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点 Q(1,0)处的切线方程． [解] 因为 y＝1x，所以 y′＝－x12. (1)显然 P(1,1)是曲线上的点，所以 P 为切点，所求切线斜率为函数 y＝1x在 点 P(1,1)的导数，即 k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2.
[对点练清] 已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点． (1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程； (2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． 解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点． 所以过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2， 过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4， 所以过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)， 即2x＋y＋1＝0. 过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.
f′(x)＝_e_x_ 1
f′(x)＝__x_ln__a__ 1
f′(x)＝_x__
[微提醒] 对公式y＝xα的理解 (1)y＝xα中，x为自变量，α为常数； (2)它的导数等于指数α与自变量x的(α－1)次幂的乘积，公式对α∈R都成立．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 y＝ 2，则 y′＝12×2＝1. (2)若 f′(x)＝sin x，则 f(x)＝cos x． (3)f(x)＝x13，则 f′(x)＝－x34. 答案：(1)× (2)× (3)√
二、应用性——强调学以致用 2．不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体．已知氯化钠晶
体为立方体形状，当立方体的棱长x变化时，其体积关于x的变化率是立方体 表面积的多少？ 解：立方体的体积 V(x)＝x3，表面积 S(x)＝6x2. 因为 V′(x)＝(x3)′＝3x2， 所以其体积关于 x 的变化率为 3x2，是立方体表面积的12.
(3)y＝log3x; (4)y＝sinπ2＋x.
[解] (1)y′＝－5x－6. (2)y′＝4xln 4. (3)y′＝xln1 3. (4)∵y＝sinπ2＋x＝cos x， ∴y′＝－sin x.
[方法技巧] 求函数的导数的常见类型及解题技巧
(1)对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和差形式． (2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形． (3)对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式． (4)对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低，结构尽 量简单，从而便于求导．
[对点练清] 1．f(x)＝ln x 在 x＝e 处的导数值为
A．0 B．1e C．1 D．e 解析：∵f(x)＝ln x，∴f′(x)＝1x.∴f′(e)＝1e. 答案：B
()
2．求下列函数的导数：
(1)y＝12x；(2)y＝x
x；(3)y＝log 1 x. 3
解：(1)y′＝12x′＝12xln12＝－12xln 2.
5．2 导数的运算
5．2.1 基本初等函数的导数 [新课程标准] 1．能根据导数定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 3．通过导数的计算，培养学生数学运算的核心素养．
(一)教材梳理填空 1．几种常用函数的导数
[方法技巧] 解决有关切线问题的关注点
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他 的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关 键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时 的易错点．
原函数 f(x)＝c(c 为常数)
f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝x3 f(x)＝1x
f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0_ f′(x)＝_1_ f′(x)＝_2_x_ f′(x)＝_3_x_2_
f′(x)＝_－__x1_2 _ 1
f′(x)＝_2___x_
2．基本初等函数的导数公式 原函数
(2)因为 y′＝2x，直线 PQ 的斜率 k＝42－＋11＝1， 所以切线的斜率 k＝y′|x＝x0＝2x0＝1， 解得 x0＝12，所以切点 M12，14， 所以与 PQ 平行的切线方程为 y－14＝x－12，即 4x－4y－1＝0.
题型三 导数的简单综合应用 [学透用活]
[典例 3] (1)质点的运动方程是 S＝sin t，则质点在 t＝π3 时的速度为 ________；质点运动的加速度为________．
[对点练清]
2
1．曲线 y＝x 3 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x＝2 所围成的三角形的面积为
()
A.53 B．89 C.2152 D．142
解析：可求得
y′＝23x
-1 3
，
即 y′|x＝1＝23，切线方程为 2x－3y＋1＝0，
与 x 轴的交点坐标为－12，0， 与 x＝2 的交点坐标为2，53， 故围成的三角形面积为12×2＋12×53＝2152.
[方法技巧]
导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我 们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义即切线的斜率建立相应的未知参数 的方程来解决，这是解决问题的关键所在． (2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识 结合出现综合大题．遇到一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题， 可以结合导数的几何意义分析．
由 y＝14e2x2，得 y′＝12e2x，所以曲线 C2 在点 B 处的切线方程为 y－14e2x22＝12e2x2(x －x2)，即 y＝12e2x2x－14e2x22.② 因为①②表示的切线为同一直线，
所以eexx11＝ x112－e21x2＝，14e2x22，
解得xx12＝ ＝22， ，
所以直线 l 的方程为 y＝e2x－e2.令 y＝0，可得直线 l 在 x 轴上的截距为 1.
(2)由于y＝sin x，y＝cos x， 设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)． ∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
f(x)＝xα(α∈Q ，且 α≠0) f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax(a>0，且 a≠1) f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
f(x)＝ln x
导函数
f′(x)＝__α_x_α_－_1 _
f′(x)＝__c_o_s_x__ f′(x)＝__－__si_n__x_ f′(x)＝__a_xl_n_a__
(2)显然 Q(1,0)不在曲线 y＝1x上， 则可设过该点的切线的切点为 Aa，1a， 那么该切线斜率为 k＝f′(a)＝－a12. 则切线方程为 y－1a＝－a12(x－a)．① 将 Q(1,0)代入方程得 0－1a＝－a12(1－a)． 解得 a＝12，代入方程①整理可得切线方程为 y＝－4x＋4.
答案：A
() () ()
2．若 y＝cos 23π，则 y′＝
A．－
3 2
C．0
B．－12 D．12
答案：C
3．函数 y＝ x在点14，12处切线的倾斜角为
A.π6
B．π4
C.π3
D．34π
答案：B
() ()
题型一 利用导数公式求函数的导数 [学透用活]
[典例1] 求下列函数的导数： (1)y＝x－5; (2)y＝4x；
(2)已知两条曲线 y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点， 使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解析] (1)∵v(t)＝S′(t)＝cos t， ∴vπ3＝cosπ3＝12. 即质点在 t＝π3时的速度为12. ∵v(t)＝cos t， ∴加速度 a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t. 答案：12 －sin t
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂
直A．f(x)＝sin x
B．f(x)＝ln x
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝x3
解析：设函数 y＝f(x)的图象上两点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义 可知，点 P，Q 处切线的斜率分别为 k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)．若函数具有 T 性 质，则 k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于 A 选项，f′(x)＝cos x，显然 k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1 有无数组解，所以该函数具有 T 性质；对于 B 选项，f′(x)＝1x(x>0)， 显然 k1·k2＝x11·x12＝－1 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 C 选项，f′(x)＝ex>0， 显然 k1·k2＝ex1·ex2＝－1 无解，故该函数不具有 T 性质；对于 D 选项，f′(x)＝ 3x2≥0，显然 k1·k2＝3x21·3x22＝－1 无解，故该函数不具有 T 性质．故选 A.
答案：C
2．当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？请求出切点． 解：设切点为 A(x0，x20＋k)．∵y′＝2x，
∴2xx20＋0＝k＝1，x0， ∴xk0＝＝1412，，
故当 k＝14时，直线 y＝x 与曲线 y＝x2＋k 相切，
且切点坐标为12，
1 2.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．已知直线 l 既是曲线 C1：y＝ex 的切线，又是曲线 C2：y＝14e2x2 的切线，求直
题型二 利用导数公式求切线方程 [学透用活]
[典例 2] 已知曲线 y＝1x. (1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点 Q(1,0)处的切线方程． [解] 因为 y＝1x，所以 y′＝－x12. (1)显然 P(1,1)是曲线上的点，所以 P 为切点，所求切线斜率为函数 y＝1x在 点 P(1,1)的导数，即 k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2.
[对点练清] 已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点． (1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程； (2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． 解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点． 所以过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2， 过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4， 所以过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)， 即2x＋y＋1＝0. 过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.
f′(x)＝_e_x_ 1
f′(x)＝__x_ln__a__ 1
f′(x)＝_x__
[微提醒] 对公式y＝xα的理解 (1)y＝xα中，x为自变量，α为常数； (2)它的导数等于指数α与自变量x的(α－1)次幂的乘积，公式对α∈R都成立．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 y＝ 2，则 y′＝12×2＝1. (2)若 f′(x)＝sin x，则 f(x)＝cos x． (3)f(x)＝x13，则 f′(x)＝－x34. 答案：(1)× (2)× (3)√
二、应用性——强调学以致用 2．不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体．已知氯化钠晶
体为立方体形状，当立方体的棱长x变化时，其体积关于x的变化率是立方体 表面积的多少？ 解：立方体的体积 V(x)＝x3，表面积 S(x)＝6x2. 因为 V′(x)＝(x3)′＝3x2， 所以其体积关于 x 的变化率为 3x2，是立方体表面积的12.