极差、方差与标准差 边讲边练(含答案)-

极差、方差与标准差
学习目标
1．理解极差、方差、标准差可以用来表示一组数据的波动情况，•知道三个统计量各自的长处与不足．
2．学会用极差、方差与标准差来处理数据．
3．会用计算器（计算机）求方差和标准差．
知识网络
背景材料
1．反映一组数据集中程度的指标有哪些？
2．如何反映一组数据的离散程度？反映一组数据离散程度的量有哪些？
3．什么是极差？什么是方差？什么是标准差？方差与标准差的关系是什么？
预习反馈
1．极差是___________，它反映了____________．
2．方差是标准差的__________，如果一组数据的方差是3，那么它的标准差是_________．知识要点详解
1．表示一组数据离散程度的指标
（1）极差
用一组数据中的最大数据减去最小的数据所得到的差来反映这组数据的变化范围，这个差就称为极差．
（2）方差
①定义
一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差．
②方差的意义
方差是反映一组数据波动大小的量，它表示的是一组数据偏离平均值的情况上．方差越大，数据组的波动就越大．
③方差的计算公式
数据x1，x2，x3, …,x n的方差是
S2=1
n
（x1-x）2+（x2-x）2+（x3-x）2+…+（x n-x）
注意：①上面的计算公式是一般情况下计算方差的办法；
②当数据组中的数据个数比较少且绝对值比较小时，又可以采用下面的公式来计算方差：
S2=1
n
[（x12+x22+x32+…+x n2）-n x2]
③如果数据组中的每一个数比较接近于常数a时，•也可以采用下面的公式计算方差：
S=1
n
[（x`12+x`22+x`32+…+x`x n2）-n x`2]（其中x1`、x2`、x3`……x n`分别等于x1-a、
x2-a、x3-a……x n-a，•x`是数据组x1`、x2`、x3`……x n`的平均数）
（3）标准差
方差的算术平方根叫做标准差．
标准差和方差一样，也是反映一组数据波动大小的指标．同样，标准差越大，数据组的波动就越大．
触类旁通
1．求数据组9、10、11、12的方差．
2．若小明参加体育项目训练近期的5次测试成绩为13、14、13、12、13．求测试成绩的极差、标准差和方差．
典型例题
例1 计算下面两组数据的方差
（1）-1 2 -2 3 -1
（2）40 38 42 45 41 39
分析：第（1）组数据的绝对值比较小，可以利用公式②计算方差；第（2）•题中的数据比较接近于40，可以利用公式③计算方差．
解：（1）平均数为：（-1+2-2+3-1）÷5=0.2，方差为：
1
5
[（-1）2+22+（-2）2+（-1）2+32-5×0.22]=3.76．
（2）原数据组中的每一个数都减去40，得：0 -2 2 5 1 -1
新数据组的平均数为：1
6
（0-2+2+5+1-1）=
5
6
．
方差是：1
6
[02+（-2）2+22+52+12+（-1）-6×（
5
6
）2]≈5.14
例2 八（1）班在一次单元测验中的数学成绩如下：
83 74 81 50 87 92 75 94 87 92 83 77 74 70 80 91
78 66 92 89 93 89 87 86 78 89 75 86 78 49 86 75
92 79 90 75 72 99 80 76 88 84 79 80 82 84 85 99
83 90 82 88 70 90 79 88 63 73 91 63 68
请你计算出该班数学成绩的平均分、方差与标准差．
分析：这里的数据比较多，我们可以采用计算器或计算机来计算平均数、方差、标准差．注意操作方法要正确．
答案：该班数学成绩的平均分约为82.3，方差约为101.5，标准差约为10.1．
例3 为了考察两种优质玉米良种的生长情况，在相同时间里把它们种在同一块实验田里，经过一段时间后，分别抽取了其中10株幼苗，测得苗高如下（单位：厘米）：甲：12 8 7 13 9 10 11 9 12 11
乙：11 9 12 7 13 8 7 10 12 9
分析：要判断哪种玉米长得整齐，显然就是看哪种玉米高度波动较小，•因此我们可计算方差来解决这个问题．
解：甲种玉米的平均高度：（12+8+7+13+9+10+11+9+12+11）÷10=10.2（厘米）；•乙种玉米的平均高度是：（11+9+12+7+13+8+7+10+12+9）÷10=9.8（厘米）．
S
甲2=1
10
（122+82+72+132+92+102+112+92+122+112-10×10.22）=3.36
S
乙2=1
10
（112+92+122+72+132+82+72+102+122+92-10×9.82）=4.16
S
甲2<S
乙
2，所以甲种玉米的幼苗长得比较整齐．
变式练习
1.小明和小刚要去参加一项比赛，近5次他们的测验成绩如下：
你认为该选谁去？
2．计算数据组：25 23 27 26 24 22 24 28 23 21的方差．
3．为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，•在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩如下：（单位：分）
甲：76 84 90 86 81 87 86 82 85 83 乙：82 84 85 89 79 80 91 89 74 79 回答下列问题：
（1）甲学生成绩的众数是______（分），乙学生成绩的中位数是_____（分）；
（2）若甲学生成绩的平均数是x
甲，•乙学生成绩的平均数是x
乙
，•则x
甲
与x
乙
的大
小关系是：_________；
（3）经计算知：S
甲2=13.2，S
乙
2=26.36，这表明____________________________；
（用简明的文字语言表述）
（4）若测验分数在85分（含85分）以上为优秀，则甲的优秀率为________；•乙的优秀率为________．
误区警示解析
1．混用极差与方差．
例1数据A：1 6 4 3 4；数据B：2 6 6 2 3．
哪一组数据更稳定？
错解：数据组A的极差是6-1=5，数据组B的极差是6-2=4，所以数据组B更稳定．错因分析：极差只能描述一组数据的波动范围，并不能准确地描述一组数据的波动情况，方差才能够描述出一组数据的波动情况．所以计算出方差，根据方差大，波动就大来作出判断．
正解：∵S A2=2.64，S B2=3.36，∴S A2<S B2．
所以数据组A更稳定．
2．将标准差当作方差的平方根．
例2 判断语句是否正确
标准差的平方等于方差，方差是标准差的平方根．
错解：正确．
错因分析：没有正确掌握标准差的概念，先有方差，再有标准差．标准差是方差的算术平方根，而非平方根．
正解：错误．
活学活用
甲、乙两台包装机同时分装质量为400g的奶粉，•从它们各自分装的奶粉中随机抽取了10袋，测得它们的实际质量（单位：克）如下：
甲：401 400 408 406 410 409 400 393 394 394
乙：403 404 396 399 402 401 405 397 402 399
试问：哪台包装机包装的奶粉质量比较稳定？
历年考题回顾
例1 （2005年常州）小明同学参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示：
试分别求出五次成绩的平均数和方差．
分析：观察折线图，知道小明同学五次测试成绩如：10 13 12 14 16，根据平均数和方差的计算公式分别计算出平均数和方差．
答案：五次成绩的平均数是13分，方差是4．
例2（2005福建）张老师为了从平时在班级里数学成绩比较优秀的王军、•张成两位同学中选拔一人参加“全国初中数学联赛”，对两位同学进行了辅导，•并在辅导期间进行了10次测验，两位同学测验成绩记录如下：王军10次成绩分别是：•68 •8078 79 81 77 78 84 83 92；张成10次成绩分别是：86 80 75 83 85 77 •79 •80 •8075．
利用提供的数据，解答下列问题：
（1）填写完成下表：
2=33.2，•请你（2）张老师从测验成绩记录表中，求得王军10次测验成绩的方差S
王
2；
帮助张老师计算张成10次测验成绩的方差S
张
（3）请你根据上面的信息，运用所学的统计知识，帮助张老师做出选择，并简要说明理由．
分析：从题中数据不难得出众数和中位数，计算张成10次测验成绩的方差可以先将这10个数据都减去80计算方差．张老师应该选择成绩稳定的同学去，所以比较它们方差的大小．
答案：（1）王军成绩的众数是78，张成成绩的中位数是80；（2）S
张
2=13；（3）•张老师应该选择张成去．因为张成10次成绩的方差较小，也就是说他的成绩波动小，•所以应该选择他去．
例3 （2005年沪州）一组数据：2，-2，0，4的方差是_________．
分析：这里的数据都比较小，所以可以用公式②计算方差，不过要先计算平均数．答案：5
点石成金在中考中，重点考查本节的知识点是方差，所以掌握方差的计算办法（记住方差计算公式）是关键，•在明白方差意义的基础上能够运用方差解决一些简单的实际问题．
全真模拟
1.三明中学初三（1）班篮球队有10名队员，在一次投篮训练中，这10•名队员各投篮50
次的进球情况如下表：
针对这次训练，请解答下列问题：
（1）求这10名队员进球数的平均数、中位数和众数；
（2）求这支球队整体投篮命中率；（投篮命中率=
进球数
投篮次数
×100%）
（3）若队员小华的投篮命中率为40%，•请你分析一下小华在这支球队中的投篮水平．
2．某职业中学为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A、B•两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件的测试，他俩各加工的10•个零件的相关数据依次如下图表所示（单位：mm）（其中虚线表示A同学，实线表示B同学）根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
（1）考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为________的成绩好些？
（2）计算出S B2的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．
3．甲、乙两班举行汉字输入比赛，•参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：
分析此表得出如下结论：（）
（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；
（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀）
（3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大．
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3） D．（1）（3）
答案：
预习反馈
1．数据中最大数据与最小数据的差，一组数据的波动范围；2触类旁通
1．解：计算每个数据与10的差，分别是：-1、0、1、2，
计算新数据组的平均数：1
4
（-1+0+1+2）=0.5．
计算方差：S2=1
4
[（-1）2+02+12+22-4×0.52]=1.25
2．解：极差：14-12=2．
α=1
5
（13+14+13+12+13）=13
方差：S2=1
5
[（13-13）2+（14-13）2+（13-13）2+（12-13）2+（13-13）2]=0.4
变式练习
1．解：我们一般采用方差来判断数据组，小明成绩的方差是0.4，小刚成绩的方差是4，显然小刚的成绩不够稳定，应该小明去．
[点拨]我们常常使用方差来判断一组数据是否稳定，方差越大，数据波动就越大．2．解：（1）原数据组的每一个数都减去25得：0 -2 2 1 -1 -3 -1 3 -2 -4．（2）新数据组的平均数是（0-2+2+1-1-3-1+3-2-4）÷10=-0.7．
（3）方差为：S2=
1
10
[02+（-2）2+22+12+（-1）2+（-3）2+（-1）2+3+（-2）2+（-4）
2-10×（-0.7）2]=4.41．3．解：（1）86，83；
（2）x
甲<x
乙
[点拨]：∵x
甲=84，x
乙
=83.2，∴x
甲
<x
乙
．
（3）∵S
甲2<S
乙
2，∴甲的成绩更稳定；
（4）50%，40%．活学活用
1．解：S
甲2=38.05，S
乙
2=7.96．
因为S
甲2>S
乙
2，所以乙包装机包装的奶粉质量比较稳定．
全真模拟
1．（1）22，19，19和15，
（2）44%，
（3）从表格中的数据看，命中率在40%以上的有4人，所以它在这支球队中从命中率的角度看是中等偏上的．
2．（1）经计算A的平均数为20，B的平均数不足20，但A符合要求的有2个，B•符合要求的有4个，所以B的成绩好些．
（2）S B2=0.008225，S A2=0.026，所以B的成绩要好些．
（3）通过图表和上面的计算，B同学的成绩要稳定得多，所以应选B去参加比赛．3．B。