4.2 弧度制 (3)

练习2. 已知扇形的面积是4cm2，它的周长是8cm， 求它的中心角和弦的长．
解：设扇形的弧长为 l，半径为 r，则
A
l 2r 8 l 4, 1 lr 4 r 2. 2 l 4 2. 所以中心角为 r 2
弦长为
O

l
r
B
AB 2r sin 4 sin 1 . 2
k 360 180 2 k 360 270 ( k Z ) ,
则必有k=0， 于是 90 135 ,
y
又 14 n 360 (n Z ) , n 180 .
7 2 4 n 4 或 5， 720 或 900 . 7 7


NM .
x 2k 5 ，k Z}， 设集合 A { x | 2 k 例5 3 3 集合 B { y | 2k 7 y 2k ，k Z }， 6 y 求 A B，A B . 3 7 6 由图得 解：
A B { | 2k 5 2k 5 ， k Z} 6 3 A B { | 2k 2k 2 ， k Z} . 3
例1. （1）已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径为 6cm，求扇形弧长及所含弓形的面积. （2）已知扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多大 时，它有最大面积？最大面积是多少？ 解： （ 1 ） 120 2 , r 6 ,
A
3 l r 2 6 4 . 3 又 AB 2 6 sin 60 6 3 ,
( 采用角度制的弧长公式 : l nr ) 180 （4）扇形面积公式： S 1 lR 1 | | R 2 . 2 2 2 ( 采用角度制的扇形面积 公式 : S nr ) 360
（5）象限角 第一象限角的集合：
y
2
0 2
{ | 2k 2k ， k Z}； 2 第二象限角的集合： { | 2k 2k ， k Z}； 2
例1. （1）已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径为 6cm，求扇形弧长及所含弓形的面积. （2）已知扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多大 时，它有最大面积？最大面积是多少？
设扇形的半径为r ， 圆心角为 ， 解： 弧长为l ， 扇形面积为S ， 则

l
r
l 20 2r ， S 1 lr 1 (20 2r) r 2 2
由 90 n 180 135 , 7 n 21 ,
7
P
O
A x
活页作业：§4.2 弧度制（第一课时） 12. 已知α是第二象限角. （1）指出 所在的象限，并用图形表示其变化范围. 2 （2）若α同时满足条件|α+2|≤4,求α的取值区间. 解： 由题意得，2k 2k ， (k Z ) 2 (k Z ) （1）k k ， 4 2 2 ∴ 是第一象限或第三象限的角. 2 （2）∵ |α+2|≤4 , ∴ －6≤α≤2 ,
x
y
O
k Z ； (2k 1) ，
(3) 与 终边关于原点对称 k Z ； (2k 1) ， (4) 与 终边在一条直线上
x
y
O
x
k Z . k ，
活页作业：§4.1 角的概念的推广
12. 如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点 A(1 , 0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知 P在1s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2s到达第三 象限，经过14s后又恰好回到出发点A.求θ. 由题意得， 0 180 , 解：
试集合M与N之间的关系 .
(2k 1) k M x x ，k Z x x 解： ，k Z 2 4 4


(4 (2k 2 k1) 1) N x x k ，k Z x x ，k ， kZ Z 4 44
（2）∵ 57.30 1.5 85.95 85 57

例2
计算：
∴ tan1.5 tan 85 57 14.12.

填 空：
0
1
1 2
3 23 3ຫໍສະໝຸດ 2 2 2 23 2
1
1 2
0
不存在
0
1
3
例3. （1）若角α的终边与角 -690°的终边关于x轴对称， 则α=_______________. （2）若角α的终边与角 -690°的终边关于y轴对称， 则α=_______________. （3）若角α的终边与角 -690°的终边关于原点对称， 则α=_______________. 解： 690 2 360 30 ， ∴ -690°的终边与30°的终边相同.

y
2
0 2
O
x
{ | 2k ， k Z }；
{ | n ， n Z }； 终边在x轴轴上角的集合：
3 2
{ | 2k ， k Z }； 终边在y轴非负半轴上角的集合： 2 { | 2 k ， k Z }； 终边在y轴非正半轴上角的集合： 2 ， { | n n Z }； 终边在y轴上角的集合： 2 m { | ， m Z} . 终边在坐标轴上角的集合： 2
练习3. 已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方 形的边长，求这段弧所对的圆周角的弧度数。
设此圆内接正方形的边 长为 a ， 则 解：
B
O.
2a 2
圆的半径为 2 a ， 此段弧 l a ， 2 la 所以这段弧所对的圆心 角
A
a
AOB
a 2 2a 2
故这段弧所对的圆周角 的弧度数为 2 . 2
又α是第二象限角， （ 2k ， 2k ） [6 , 2]， (k Z ) 2 ） ( , 2] . 故α的取值区间 （- 3 ， 2 2
例 4 设两个集合 M
N x x k ，k Z 4
x x k ，k Z 2 4
2
r 10r (r 5) 25
2
当 r 5 cm 时， Smax 25 cm2，
此时 ， l 10 2 . r 5
tan 1.5 ． （1） sin ；（2） 4 2. 解：（1）∵ 45 sin 4 sin45 2 4
y
(1) k 360 30， kZ .
(2) k 360 150， kZ .
(3) k 360 210， kZ .
O
x
一般地，对称关系：
y
O
(1) 与 终边关于 x 轴对称
k Z ； 2k ，
(2) 与 终边关于 y 轴对称
4.2 弧度制 (3)
成都七中 授课人：曹杨可 课件制作：曹杨可
知识回顾：
（1）终边相同的角
2k ， kZ .
（2）角度制与弧度制的互化
180 rad ， 360 2 rad ， 1 rad , 1 rad ( 180 ). 180
（3）弧长公式： l | | r .

O
x
3 2
{ | 2k 2k 3 ， k Z}； 第三象限角的集合： 2 { | 2k 3 2k 2 ， k Z} . 第四象限角的集合： 2
（6）坐标轴上的角 终边在x轴非负半轴上角的集合： { | 2k ， k Z }； 终边在x轴非正半轴上角的集合：
O
x
5 3
练习1. 如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的 集合（不包括边界）．
分析：首先找出阴影图形的边界表示的角，然后再选择适当的角 （ 1 ）S 2k 2 2k 1 ，k Z 3 6 的形式表示阴影部分．若两部分阴影区域能合并尽量合并．
（ 2 ）S k k ，k Z 4 2 （ 3 ）S 2k 2k 或2k 2 2k ，k Z 3 3
O
H
l
r AB边上的高 OH 6 cos 60 3 . B SAOB 1 AB OH 1 6 3 3 9 3 . 2 2 S扇形 1 lr 1 4 6 12 , 2 2 S弓形 S扇形 S AOB 12 9 3.
作 业：
1. 步步高：P7~9 2. 高活页：§4.2 弧度制第二课时