环顾四周看蘑菇成堆生长——一个性质的再探究

环顾四周看蘑菇成堆生长——一个性质的再探究
程奇;刘晓婷
【期刊名称】《中学数学》
【年(卷),期】2017(000)020
【总页数】3页(P95-97)
【作者】程奇;刘晓婷
【作者单位】陕西富平县实验中学;陕西富平县实验中学
【正文语种】中文
在一次听课中，授课的老师讲解如下一道数学题，点P为等边△ABC内一点，求证点P到三边的距离和等于等边△ABC的高.讲授者利用面积法很快得到了答案，而
笔者认为此题应从源头上进行探究，从而让学生在解题过程中通一知十，举一反三，从而跳出题设，理清整个解题思维过程，将“解题成果扩大”，故笔者建议从根题进行一一拓展.
命题：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.
已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P是边BC上任意一点，过点P作
PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F，过点C作CH⊥AC，垂足为H.
求证：PE+PF=CH.
证法1：面积法.
证明：连接AP.
方法总结：证法1利用面积分割法解决线段间的和差问题，面积分割法实际上就
是把一个图形分成几个图形，根据面积相等找到等量关系，这种方法在解题中有着
广泛的应用.在解决线段之间和差关系时，我们还可以用截长法或补短法来解决. 证法2：截长法.
分析：运用截长法辅助线的作法较多，如（1）过点P作PG∥EH交CH于点G，易得四边形HEPG为矩形，可证明Rt△CGP≌Rt△PFC，从而得出CG=PF，得出结论；（2）在CH上截取HG=EP或CG=PF，以下以该法为例说明；（3）过点P 作PG⊥CH，垂足为G，易得四边形HEPG为矩形，易得结论.
证明：如图2，在CH上截取HG=EP，连接PG.易得四边形EPGH是矩形.则
∠HGP=90°，GP∥HE.则∠GPC=∠B.
由AB=AC，得∠B=∠ACB.
则∠GPC=∠ACB.
又PC=CP，∠PGC=∠CFP=90°，则△CGP≌△PFC（AAS）.
则PF=CG.
则PE+PF=HG+CG=CH.
证法3：补短法.
分析：运用此方法辅助线作法较多：（1）如图3，延长AB至点D，使BD=EH，过点D作DG∥BC，交EP的延长线于点G（平移△HCB），易得四边形HEGC为矩形，再证明△CGP≌△CFP，易得结论；（2）如图4，延长EP至点G，使
EG=HC，连接CG，以下证法以（2）为例.
证明：如图4，延长EP至点G，使EG=HC，连接CG.
易得四边形HEGC是矩形.
则∠G=90°，GC∥HE.
由AB=AC，得∠B=∠ACB.
由GC∥HE，得∠GCP=∠B.
则∠ACB=∠GCP.
又PC=PC，∠C=∠CFP=90°，则△CGP≌△CFP（AAS）.
则PF=PG.
则PE+PF=PE+PG=EG=CH.
证法4：利用三角形相似.
证明：由PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，得∠BEP=∠BHC=∠CFP=90°.
以下证法同证法4.
证明2：由AB=AC，得∠B=∠FCP.
由∠BEP=∠PFC=∠CHB=90°，得BP=PE÷sinB，BC=CH÷sinB，
PC=PF÷sin∠FCP=PF÷sinB.
又BP+PC=BC，则PE÷sinB+PF÷sinB=CH÷sinB.
则PE+PF=CH.
证法6：轴对称.
分析：（1）如图5，作△A′BC使其与△ABC关于BC对称，延长EP交A′C于点F′，则四边形ABA′C是菱形，可得A′C∥AB，BC是∠ACB的平分线，从而得到PF′=PF，根据平行线间距离处处相等，易得结论；（2）如图6，作△PGC使其与△PFC关于PC对称，易得∠EPB=∠CPG，∠G=90°，从而得出∠EPG=180°，即点E、P、G在同一直线上，四边形EGCH是矩形，结论可得.
当∠BAC是直角或钝角时，命题仍成立.（证明方法同上）
拓展1：等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高. 即：如果点P在BC（或CB）的延长线上，如图7，有下列结论：|PE-PF|=CH.（证明方法同命题证明）
拓展2：如果把等腰三角形改为等边三角形，又有如下结论：
如图8，等边△ABC和点P，当点P在△ABC的一边BC上时，点P到△ABC的三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h，此时h3=0，则
h1+h2+h3=h.（证明方法同命题证明）
延伸1：当点P为△ABC内任意一点时，如图9，结论h1+h2+h3=h仍成立.
延伸2：当点P为△ABC外任意一点时，如图10、图11，结论|h1+h2-h3|=h成立.（证明方法同命题证明）
即：（1）等边三角形内任意一点到三边距离和等于这个三角形一边上的高；（2）等边三角形外任意一点到角两边的距离和与到第三边的距离的差的绝对值等于等边三角形的高.
即：图10结论为h1+h2-h3=h；
图11结论为h1+h2-h3=-h.
拓展3：如果把等腰三角形改为等腰梯形，又有如下结论：如图12，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点P是上底AB或下底CD上任意一点，点P到腰AD、BC
的距离分别为h1、h2，点D到腰BC的距离为h，则h1+h2=h.
分析：可借助辅助线，延长两腰或平移一腰等方式构造等腰三角形，再利用命题结论可证得.
即：等腰梯形上底（或下底）上任意一点到两腰的距离和等于该底边任一顶点到所对腰的距离
拓展4：如果把等边三角形变为正方形、正五边形、…、正n边形，又有如下结论：若点P为正方形ABCD内任一点，点O为正方形的中心，点P到各边的距离分别为h1、h2、h3、h4，点O到一边的距离为r4，则h1+h2+h3+h4=4r4.
若点P为正五边形ABCDE内任一点，点O为正五边形的中心，点P到各边的距
离分别为h1、h2、h3、h4、h5，点O到一边的距离为r5，则
h1+h2+h3+h4+h5=5r5.
若点P为正n边形内任一点，O是正n边形的中心，点O到一边的距离为rn，点P到各边的距离分别为h1、h2、…、hn，则h1+h2+…+hn=nrn.
证明方法同命题.
例1 如图13，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P为AD边上任意一点，且
PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF的值为（）.
例2 （全国初中数学竞赛）如图14，边长为1的正方形ABCD，∠ACE=22.5°，点P是CE上任意一点，PH⊥BD，PG⊥AC，垂足分别为H、G，求PH+PG.
例3 （全国初中数学联赛试题）如图15，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为________.
例4 （第八届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题）如图16，等边△ABC外有一点P，点P落在∠ABC内，设点P到BC、CA、AB的距离分别是h1、h2和h3且满足h1-h2+h3=6，求等边△ABC的面积.
例5 （数学竞赛试题改编）如图17，正八边形的边长为a，点P是八边形内任意一点，点P到八条边的距离分别为h1、h2、…、h8，求正八边形的面积.
王金战老师的学习方法中指出：好问题同蘑菇相似，它们大都成堆地生长，要高效率地学好数学，不能就题论题，要力争“环顾四周”，看它们有没有“成堆生长”.这种方法不仅在教师教学探究中经常用到，更应将这种方法教授给学生，提高学生对知识的归纳能力并整合自己的知识体系.。