最新初二第一学期数学期末试卷(含答案解析)

初二第一学期数学期末试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）16的平方根为（）
A．4B．﹣4C．±8D．±4
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是：±4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；
负数没有平方根．
2．（4分）下列几个数中，属于无理数的数是（）
A．0.1B．πC．D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此解答即可．【解答】解：A.0.1是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．π是无理数，故本选项符合题意；
C．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是分数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；
以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．（4分）计算﹣2a4÷a，正确结果是（）
A．16a3B．﹣16a3C．﹣2a4D．﹣2a3
【分析】根据单项式除以单项式的运算法则进行计算后即可确定正确的选项．
【解答】解：原式＝﹣2a4﹣1＝﹣2a3，
故选：D．
【点评】考查了整式的除法，了解整式除法的运算法则是解答本题的关键，难度较小．
4．（4分）中x的取值范围是（）
A．x≥0B．x≥﹣1C．x≥1D．x＞1
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．
【解答】解：有意义，则x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
5．（4分）若，则括号内应填的代数式是（）
A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a
【分析】根据平方差公式解答即可，平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【解答】解：（3b+a）（3b﹣a）＝9b2﹣a2．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特点是解答本题的关键．
6．（4分）如图，已知∠1＝∠2，欲得到△ABD≌△ACD，则从下列条件中补选一个，错误的选法是（）
A．∠ADB＝∠ADC B．DB＝DC C．∠B＝∠C D．AB＝AC
【分析】由全等三角形的判定方法ASA证出△ABD≌△ACD，得出A正确；
由全等三角形的判定方法得出B不正确；
由全等三角形的判定方法AAS证出△ABD≌△ACD，得出C正确；
由全等三角形的判定方法SAS证出△ABD≌△ACD，得出D正确．
【解答】解：A正确；理由：
在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；
B不正确，由这些条件不能判定三角形全等；
C正确；理由：
在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；
D正确；理由：
在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
7．（4分）若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（）
A．0B．2C．D．﹣2
【分析】根据多项式与多项式相乘的法则：去括号合并同类项，再根据结果中不含x2项，列方程求出a．【解答】解：（x2+ax+2）（2x﹣4）
＝2x3﹣4x2+2ax2﹣4ax+4x﹣8
＝2x3+（2a﹣4）x2+（4﹣4a）x﹣8，
∵结果中不含x2项，
∴2a﹣4＝0，
∴a＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，利用结果中不含x2项列出方程式解题关键．
8．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则BC的长为（）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【分析】由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA＝OC，OB＝OD，又由∠
ODA＝90°，根据勾股定理，即可求得BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10cm，BD＝6cm，
∴OA＝OC＝AC＝5（cm），OB＝OD＝BD＝3（cm），
∵∠ODA＝90°，
∴AD＝＝＝4（cm），
∴BC＝AD＝4（cm），
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠EAC的度数是（）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】证△ABE是等边三角形，得AB＝AE，再证△BAC≌△AED中（SAS），得∠BAC＝∠AED＝80°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝60°，
∴∠B＝∠DAE，△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE，
在△BAC和△AED中，
，
∴△BAC≌△AED（SAS），
∴∠BAC＝∠AED＝80°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；
熟练掌握平行四边形的性质，证明△BAC≌△AED是解题的关键．
10．（4分）如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则DF的长为（）
A．B．C．D．
【分析】根据折叠的性质可得出DC＝DE、CP＝EP，由∠EOF＝∠BOP、∠B＝∠E、OP＝OF可得出△OEF≌△OBP，根据全等三角形的性质可得出OE＝OB、EF＝BP，设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝4﹣x，BP＝3﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1，依据Rt△ADF中，AF2+AD2＝DF2，可得到x的值，即可得DF的长．
【解答】解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，
∴DC＝DE＝4，CP＝EP．
在△OEF和△OBP中，
，
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE＝OB，EF＝BP，
∴BF＝EP＝CP，
设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝4﹣x，BP＝3﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1，
∵∠A＝90°，
∴Rt△ADF中，AF2+AD2＝DF2，
即（4﹣x）2+32＝（1+x）2，
∴x＝
∴DF＝+1＝
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）化简二次根式的结果是3．
【分析】根号下的27可写成：27＝32×3，按照最简二次根式的化简法则计算即可．
【解答】解：＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了最简二次根式的性质与化简，属于基础知识的考查，比较简单．
12．（4分）因式分解：x2﹣x＝x（x﹣1）．
【分析】提取公因式x即可．
【解答】解：x2﹣x＝x（x﹣1）．
故答案为：x（x﹣1）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
13．（4分）等腰三角形的一个外角度数为80°，则顶角度数为100°．
【分析】三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．
【解答】解：等腰三角形一个外角为80°，那相邻的内角为100°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以100°只可能是顶角．
故答案为：100°．
【点评】本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出80°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．
14．（4分）在△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC边于点D，E，若AE＝BC，则∠ABC＝60°．
【分析】由线段垂直平分线的性质可求解∠ABE＝∠A＝40°，AE＝BE＝BC，利用等腰三角形的性质及外角的性质可求解∠C＝∠BEC＝80°，根据三角形的内角和定理可求解∠CBE的度数，进而可求得∠ABC的度数．
【解答】解：∵AB的垂直平分线分别交AB，AC边于点D，E，
∴AE＝BE，
∵∠A＝40°，AE＝BC，
∴∠ABE＝∠A＝40°，BE＝BC，
∴∠C＝∠BEC＝∠A+∠ABE＝80°，
∵∠C+∠BEC+∠CBE＝180°，
∴∠CBE＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+20°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识的综合运用，求解∠ABE，∠CBE的度数是解题的关键．
15．（4分）若x﹣y﹣3＝0，则代数式x2﹣y2﹣6y的值等于9．
【分析】根据x﹣y﹣3＝0，得出x＝y+3，两边平方移项即可得出x2﹣y2﹣6y的值．
【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0，
∴x＝y+3，
∴x2＝（y+3）2＝y2+6y+9，
∴x2﹣y2﹣6y＝9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练利用因式分解将已知等式变形是解题的关键．
16．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥BC，DE＝AC，若AC＝2，AD＝DB＝4，∠ADC＝30°．以下四个结论：①四边形ACED是平行四边形；②∠ABE＝45°；③AB＝；④点F是AD中
点，点G、H分别是线段BC、AB上的动点，则FG+GH的最小值为．正确的是①③④．（填序号）
【分析】根据∠CDE＝∠ACB＝90°，可知DE∥AC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断①正确；若∠ABE＝45°，则∠DBE＝∠ABE﹣∠ABC＝45°﹣15°＝30°，在Rt△BDE中，BE ＝2DE＝4，利用勾股定理求出BD的长，可知②错误；首先利用勾股定理求出CD的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可判断③正确；作点F关于BC对称点F'，作F'H⊥AB于点H，交BC于点G，此时FG+GH有最小值，根据平行四边形的性质的CF'＝CG，根据点F与点F'关于BC对称，可得△ACG为等腰直角三角形，则∠GAH＝15°+15°＝30°，可得GH的长，从而解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴∠CDE＝∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
又∵DE＝AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
故①正确；
∵AD＝DB＝4，∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠DAB＝15°，
若∠ABE＝45°，则∠DBE＝∠ABE﹣∠ABC＝45°﹣15°＝30°，
在Rt△BDE中，BE＝2DE＝4，
∴DB＝＝2≠4，
∴假设不成立，
故②错误；
在Rt△BDE中，
∵AC＝2，AD＝4，
∴CD＝＝2，
∴BC＝CD+DB＝2+4，
在Rt△ACB中，
∵AC＝2，BC＝2+4，
∴AB＝＝2+2，
即AB＝，
故③正确；
如图所示，作点F关于BC对称点F'，作F'H⊥AB于点H，
交BC于点G，则FG＝F'G，FG+GH＝F'G+GH＝F'H，
∴此时FG+GH有最小值，
连接AG，FF'交BC于点M，
∵F'H⊥AB，∠ABC＝15°，
∴∠HGB＝75°，
∴∠CGF'＝75°，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴∠GCF'＝∠ADC＝30°，
∴∠CF'G＝75°，
∴CF'＝CG，
又∵点F是AD的中点，点F与点F'关于BC对称，AD＝4，∴CF'＝AF＝，
∴CG＝CF'＝2，
∴CG＝AC，GF'＝＝，
∴△ACG为等腰直角三角形，
∴AG＝2，∠CAG＝45°，
∴∠GAD＝180°﹣90°﹣30°﹣45°＝15°，
又∵∠DAB＝15°，
∴∠GAH＝15°+15°＝30°，
在Rt△AGH中，FG＝，
∵点F是AD的中点，点F与点F'关于BC对称，CD＝2，
∴CM＝，F'F⊥CB，
∴F'M＝，
∵CG＝2，
∴MG＝CG﹣CM＝2﹣，
在Rt△MF'G中，GF'＝＝，
∴FG+GH＝F'G+GH＝＝，
即FG+GH的最小值为：，
故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，将FG+GH的最小值转化为F'H是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：．
（2）因式分解：5x2﹣5y2．
【分析】（1）化简二次根式，绝对值，计算乘方运算，然后再算加减；
（2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝2+3﹣﹣3
＝；
（2）原式＝5（x2﹣y2）
＝5（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，因式分解，理解二次根式的性质，掌握平方差公式（a+b）（a ﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．
18．（8分）先化简，再求值：，其中．【分析】直接去括号，进而合并同类项，利用整式除法运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣4x2+2xy）÷2y
＝（y2﹣2xy）÷2y
＝y﹣x，
当x＝﹣，y＝时，
原式＝×﹣（﹣）
＝+
＝．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算——化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．求证：AE∥CF．
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，再证AF＝CE，得出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF＝CE是解题的关键．
20．（8分）如图，△ABC中，∠A＝100°，DE垂直平分BC．
（1）在线段DE上作一点P，使点P到AB，BC的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）：（2）在（1）的条件下，连接BP并延长交AC于点F，若∠ABC＝32°，求证△FPC是等腰三角形．
【分析】（1）作∠ABC的平分线交线段DE于点P，即可使点P到AB，BC的距离相等；
（2）根据∠ABC＝32°，结合（1）可得∠ABF＝∠CBF＝ABC＝16°，根据DE垂直平分BC，可得PB＝PC，然后利用三角形内角和定理证明∠FPC＝∠FCP＝32°，进而即可证明△FPC是等腰三角形．
【解答】（1）解：如图，点P即为所求；
（2）证明：△ABC中，
∵∠A＝100°，∠ABC＝32°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝48°，
由（1）知：BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠CBF＝ABC＝16°，
∵DE垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB＝16°，
∴∠FPC＝2∠PBC＝32°，
∵∠ACB＝48°，
∴∠FCP＝∠ACB﹣PCB＝32°，
∴∠FPC＝∠FCP，
∴FP＝FC，
∴△FPC是等腰三角形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，
解决本题的关键是掌握基本作图方法．
21．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BE，再证∠BAE＝∠E得到AB＝BE，即可得出BE ＝CD；
（2）先证△ABE为等边三角形得到AE＝2，且AF＝EF＝1，则根据勾股定理得BF＝，易证△ADF ≌△ECF，得出平行四边形ABCD的面积等于△ABE的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD；
（2）解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝2，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝1，
∴BF＝＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝AE•BF＝×2×＝．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（10分）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：（a+b）2＝a2+b2+2ab．；
（2）解决问题：如果，求a2+b2的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．
【分析】（1）用两种方法表示同一个图形面积即可．
（2）用（1）中得到的公式计算．
（3）将8﹣x，x﹣2当成两个字母后用公式．
【解答】解：（1）图中大正方形的面积可以表示为：（a+b）2，
还可以表示为：a2+b2+2ab．
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝﹣24
＝63﹣24
＝39．
（3）设a＝8﹣x，b＝x﹣2，
则a+b＝6，a2+b2＝20．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．
∴36＝20+2ab．
∴ab＝8．
∴这个长方形的面积为：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE．
（1）求证DE平分∠ADC；
（2）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用SAS定理证明△ABD≌△ACD，可求出∠BAD＝40°，∠ABC＝∠ACB＝50°，可得出∠DBC＝∠DCB＝30°，证得∠ADE＝∠EDC，则结论得证；
（2）在DE上取点F，使DF＝DA，连接AF．证明△ADF为等边三角形，可得∠ADF＝∠AFD＝60°，再证明△ABD≌△AEF（AAS）．得出BD＝EF，则结论DE＝AD+BD得证．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD．
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠BAD＝∠BAC＝∠CAD＝40°，
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴∠ADE＝∠BAD+∠ABD＝60°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝∠ACB＝50°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝60°，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴DE平分∠ADC．
（2）DE＝AD+BD，理由如下：
在DE上取点F，使DF＝DA，连接AF．
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
∵DA＝DF，∠ADE＝60°，
∴△ADF为等边三角形，
∴∠ADF＝∠AFD＝60°，
∴∠ADB＝∠AFE＝120°．
在△ABD与△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（AAS）．
∴BD＝EF，
∵DE＝DF+EF，
∴DE＝AD+BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，本题中证明三角形全等是解题的关键．
24．（12分）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．（1）若一个三角形的三边长分别是5，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，直角边长为a，b，斜边为c，求a：b：c的值；
（3）如图，△ABC中，BC＝2，CD为△ABC的中线，且CD＝AB．若△ACD是平方倍三角形，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据“平方倍三角形”的定义证明即可．
（2）构建方程组求出a，b的关系，可得结论．
（3）分两种情形：利用直角三角形的性质结合平方倍三角形”的定义得出BD的长，进而求出答案．【解答】解：（1）结论：这个三角形不是“平方倍三角形”．
理由：∵（5）2+22＝29，3×（）2＝33，
∴（5）2+22≠3×（11）2，
∴这个三角形不是“平方倍三角形”．
（2）∵△ABC为“平方倍三角形”．
∴a2+b2＝c2，且c2+a2＝3b2，
∴2a2+b2＝3b2，
∴b＝a，
∴c＝a，
∴a：b：c＝1：1：．
（3）∵CD为△ABC的中线，CD＝AB，
∴AD＝CD＝DB＝AB，
∴∠B＝∠DCB，∠A＝∠DCA，
∵∠A+∠B+∠DCB+∠DCA＝180°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2＝AC2+4，
∴AC2＝AB2﹣4，
∵△ACD是平方倍三角形，
∴当CD2+AD2＝3AC2，
∴AB2+AB2＝3（AB2﹣4），
∴AB2＝，
∴AC＝，
∴△ABC的面积＝×AC×BC＝；
当CD2+AC2＝3AD2，
∴AB2+（AB2﹣4）＝3×AB2，
∴AB2＝8，
∴AC＝2，
∴△ABC的面积＝×AC×BC＝2，
综上所述：△ABC的面积为2或．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．
25．（14分）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．
（1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD；
①△AOB≌△DCA；②若OA＝2，OB＝3，则BD＝5；
（2）如图2，在射线BO上截取线段BE，使BE＝OA，连接CE，当点B在射线OM上运动时，求∠ABO
和∠OCE的数量关系；
（3）如图3，平面内一动点F满足F A＝OA，作等腰直角三角形FQC，且FQ＝FC，当线段AQ取得最大值时，直接写出的值．
【分析】（1）①由“SAS”可证△AOB≌△DCA；
②由全等三角形的性质可得OA＝CD＝2，OB＝AC＝3，由勾股定理可求解；
（2）过点C作CW⊥AC，使得CW＝OA．证明△ABW是等腰直角三角形，四边形BECW是平行四边形即可；
（3）由三角形的三边关系，可得当点A，点F，点Q三点共线时，AQ有最大值，由勾股定理和等腰直角三角形的性质可求AQ＝（+1）OA，即可求解．
【解答】解：（1）①∵CD∥OB，
∴∠O＝∠ACD＝90°，
又∵AC＝OB，CD＝OA，
∴△AOB≌△DCA（SAS），
故答案为：DCA；
如图1，过点B作DH⊥CD，交DC的延长线于点H，
∵△AOB≌△DCA，
∴OA＝CD＝2，OB＝AC＝3，
∴OC＝5，
∵∠BOC＝90°，DC⊥OC，BH⊥CD，
∴四边形OBHC是矩形，
∴BH＝OC＝5，HC＝OB＝3，
∴DH＝5，
∴BD＝＝＝5，
故答案为：5；
（2）∠ABO+∠ECO＝45°，理由如下：
如图2中，过点C作CW⊥AC，使得CW＝OA，连接AW，交EC于J，
在△AOB和△WCA中，
，
∴△AOB≌△WCA（SAS），
∴AB＝AW，∠ABO＝∠CAW，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO+∠CAW＝90°，
∴∠BAW＝90°，
∴∠AWB＝45°，
∵BE＝OA，CW＝OA，
∴BE＝CW，
∵CW∥OB，
∴四边形BECW是平行四边形，
∴EC∥BW，
∴∠CJW＝∠AWB＝45°，
∵∠CJW＝∠CAW+∠ECO，∠CAW＝∠ABO，
∴∠ABO+∠ECO＝45°；
（3）如图3，在△AFQ中，AQ＜AF+FQ，
∴当点A，点F，点Q三点共线时，AQ有最大值，
如图4，
∵F A＝OA，∠CFQ＝90°，
∴FC＝＝AF，
∴FQ＝CF＝AF＝OA，
∴AQ＝（+1）OA，
∴＝+1．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。