选修2-2《导数及其应用》函数的单调性与导数

此题用定义做就很困难了,可以看到利用导数研究 单调性是很方便的,而且这种方法有一般性
2021/4/22
11
自学课本例 2,然后做课堂练习 P27
练习1.判定函数 y=ex-x 的单调区间.
解: f ( x) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0.
则函数的单调递增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0.
本节课,我们就来探究函数的单调性与导数的关 系.
首先我们回忆一下函数的单调性的概念和 导数的几何意义.
2021/4/22
2
函数的单调性概念:
直观地来看,如图从a到b曲线是上升的,说函数f(x)
在区间(a,b)上是增函数;
y
从b到c曲线是下降的, 说函数f(x)在区间(b,c)上
y f(x)
是减函数.
作业:课本 P33 A 组第 1 题
(明天评讲试卷,这一周学习内容为运用导数研究
函数的单调性及函数的极值与最值问题)
2021/4/22
15
发现了什么规律?
2021/4/22
4
导数与单调性
举一例子再观察
不难发现,当曲线上升时, f ( x) 0 ;
当曲线下降时, f ( x) 0 , y
反之也成立.
f (x) 0
f (x) 0
a
0b
cx
也就是说函数的单调性与导数的符号有如下关系:
在 某 个 区 间 (a ,b) 内 , 如 果 f ( x) 0 , 那 么 函 数
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
课外思考题: 已知 x 1，求证： x ln( x 1)
作业:课本 P33 A 组第 1 题
(明天评讲试卷,这一周学习内容为运用导数研究
函数的单调性及函数的极值与最值问题)
2021/4/22
14
课外思考题: 已知 x 0，求证： x ln( x 1)
a
0b
cx
严格地说,对于给定区间上的函数f(x), 如果对于属于
这个区间的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1<x2时， (1)若f(x1)<f(x2), 那么f(x)在这个区间上是增函数. 20(221/)4/若22 f(x1)>f(x2), 那么f(x)在这个区间上是减函数. 3
导数的几何意义:
函数的单调性与导数(一)
一句话引入
函数的单 调性概念
导数的几何 意义及导数 与单调性的 关系探究
问题思考
课堂练习
本课小结
作业:课本 P33 A 组第 1 题
(明天评讲试卷,这一周学习内容为运用导数研究
函数的单调性及函数的极值与最值问题)
2021/4/22
1
函数的单调性与导数(一)
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研 究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数 的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数 的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的 了解.正是因科学家们对数量的变化规律进行了长期的 研究,导致了微积分的创立.
x 即其导数为ห้องสมุดไป่ตู้.
而当x=2时其切线斜率为 0,即导数为0.函数在该点单 调性没发生改变.
2021/4/22
6
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间
如果 f ( x) 0 ,则f(x)为增函数;
如果f ( x) 0 ,则f(x)为减函数.
注:如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则f(x)为常
y f ( x) 在这个区间内单调递增；如果 f ( x) 0 ，那
么函数 y f ( x) 在这个区间内单调递减．
注:如果 2021/4/22 f ( x) 0 ,那么函数是常数函数．
5
考察函数的单调性与导数的关系：
观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
..
0
.
.2
.
..
总结: 该函数在区间(－∞,2)上 单调递减,切线斜率小于0, 即其导数为负; 该函数在区间(2,+∞)上 单调递增,切线斜率大于0,
问题 1.求证:函数 f ( x) x2 2x 3 在1, 上是增函数.
法一:可用定义证明.
哪
证明：取 x1<x2∈R，
种
f(x1)－f(x2)=（x12－2x1－3）－（x22－2x2－3） 方
=（x1+x2)(x1－x2）－2(x1－x2）
法
= (x1－x2)(x1+x2－2）
更
∵当 1<x1<x2 时， x1+x2－2>0， f(x1)<f(x2)， 简
数函数.
导数的符号显示了函数值变化的增减情况.
(自学课本例1)
2021/4/22
7
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
导数 f (x) lim f (x x) f (x) 的几何意义是:
x0
x
函数 y f ( x) 的图象在
y
点 ( x, f ( x)) 处的切线的
斜率.(如图)
f (x) 0
f (x) 0
a
0b
cx
观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的大 小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小,你
即函数的单调递减区间为(-∞,0).
练习 2：讨论二次函数 y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间.
2021/4/22
12
2答案
练习 2：讨论二次函数 y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间. 解: y =(ax2+bx+c)′=2ax+b,
令 2ax+b＞0,解得 x＞－ b 2a
∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－ b ,+∞) 2a
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值,且x1<x2.
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形. (3)判断差的符号(与０比较),从而得函数的单调性.
问题 1.求证:函数 f (x) x2 2x 3 在1, 上是增函数.
证明：取 x1<x2∈R，
f(x1)－f(x2)=（x12－2x1－3）－（x22－2x2－3） =（x1+x2)(x1－x2）－2(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－2） ∵当 1<x1<x2 时， x1+x2－2>0， f(x1)<f(x2)，
∴f(x) 在1, 上是增函数
2021/4/22
10
问题 2:试确定函数 f(x)=2x3－6x2+7 在哪个区间 上是增函数,哪个区间上是减函数.
解： f ( x) (2x3－6x2+7)′=6x2－12x
令 f (x) 0 即 6x2－12x＞0，解得 x＞2 或 x＜0; 令 f (x) 0 即 6x2－12x＜0，解得 0＜x＜2. ∴f(x)分别在(2,+∞)、(－∞,0)上是增函数, f(x)在(0,2)上是减函数.
∴f(x) 在1, 上是增函数
洁
法二:运用导数来证明
!
证明:∵ f ( x) x2 2x 3 ，∴ f (x) 2x 2 2 x 1
∴当 x 1时， f ( x) 0
∴函数 f ( x) x2 2x 3 在1, 上是增函数；
2021/4/22
9
用定义证明
问题2
由定义证明函数的单调性的一般步骤：
令 2ax+b＜0，解得 x＜－ b , 2a
∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是(－∞,－ b ) 2a
有了导数这一工具二次函数的单调性就看得很清楚.
自我小结一下运用导数研究单调性的方法步骤
2021/4/22
13
小结:运用导数确定函数的单调性的方法步骤:
1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;