16第十六讲 成本最小化

2018/1/4
三、显示的成本最小化 1．显示成本最小化弱公理（产量固定） 假定观察到两组要素价格 w ,w 和 w ,w ，与此相应的 厂商的选择分别为 x ,x 和 x ,x 。如果每一种选择按相应 的价格都是成本最小化的选择，那么一定有：
t 1 t 2
s 1 s 2
一、成本最小化 1．成本最小化数理形式 成本最小化的问题就是在生产既定产量y的条件下 的最优投入选择。最优化问题的数学形式为：
min w1 x1 w2 x2
s.t. f x1 , x2 y
x1 , x2
数理方法可得成本最小化条件：
w1 MP 1 x w2 MP2 x
2．沉没成本 沉没成本也称为沉淀成本，是指已经发生而无法收 回的支出。 沉没成本通常是可见的，但一旦发生以后，在做出 经济决策之时经常被人们忽视。由于它是无法收回的， 因而不会影响企业的决策。
1 2 1 2
p2 数理方法解得： x1 4w12
（2）既定产量水平的最小成本选择的数学表达式为：
min w1 x1 w2 x2
x , x2 1
s.t. x1 x2 y
求解可得：
x1
x ， w w 此即为条件要素需求函数，表示既定产量水平的最 小成本选择。
w
1 w2
x1 x1 y
x2 x2 y
长期成本函数也可以记为：
c y cs y, x2 y
该方程表示，在所有要素都可自由变动时的最小成 本，恰好就是要素2固定在使长期成本最小化的水平上 时的最小成本。
六、成本概念 1．不变成本和准不变成本 不变成本是指与不变要素（固定要素）相关的成本 ，即不论企业生产与否都必须支付的成本。 准不变成本是指与产量无关的成本，只要企业生产 一定单位的产量，它就必须支付这种成本。 长期不存在不变成本，但却可能有准不变成本。
c(w1 , w2 , y) min w1 y, w2 y min w1 , w2 y
3．柯布-道格拉斯生产函数
b f x1 , x2 x1a x2
最优化问题为：
min w1 x1 w2 x2
x1 , x2
b s.t.x1a x2 y
数理方法可得：
a x b
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2．显示成本最小化弱公理的应用 将上述不等式整理得：
w w x
t 1 s 1
t 1
t s x1s w2 w2 x2t x2s
w1x1 w2 x2 0 得： 如果第一种要素的价格上涨，而第二种要素的价格保持不变 ，即 w2 0 ，那么：
w1x1 0
即：其他要素价格固定的情况下，某要素价格与该要素需求 呈反向变化关系。因此，有条件的要素需求曲线必定是向下倾斜 的。
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假设某种产品生产需要两种要素，当要素价格组合 是（1，2）时，要素的使用量为（3，4），而当要素价 格组合是（2，1）时，要素的使用量为（4，3），同时 假设在以上两种情形下产出相同。企业的行为是否违背 成本最小化的弱公理？（ ）[上海财经大学801经济 学2010研] A．是的 B．不是 C．取决于可变生产要素与固定生产要素的比例 D．取决于固定要素和产品的价格的情况 【答案】A
2 2 w2 y
w12 y 222212
（3）条件要素需求函数与要素需求函数的区别是： 条件要素需求函数给出的是既定产量水平下的成本最小 化选择，实现利润最大化的要素需求则给出了既定产出 品价格下的利润最大化选择。通常有条件的要素需求曲 线是观察不到的，它们是一个假定的定义。它回答的是 这样一个问题：如果厂商以经济的方式生产某个既定的 产量，它们将如何选择每种要素的使用量。
假设生产函数为 f x , x x x 。产品的价格为p， 生产要素1和2的价格分别为 w 和 w2 。 （1）求要素需求函数和产出函数供给函数； （2）求条件要素需求函数； （3）要素需求函数和条件要素需求函数之间存在什 么关系？[上海交通大学841经济学（Ⅰ）2010研]
1 2 1 2
1
解：（1）厂商利润函数为：
pf TC p

x1 x2 w1 x1 w2 x2
p2 x2 ， 2 4 w2

。 此即为要素需求函数，表示既定产出价格下利润最 大化选择。 p p 代入生产函数，可得 f x , x 2w 2w ，此即为产出供 给函数。
范里安《微观经济学：现代观点》
第十六讲 成本最小化
主讲老师：郑 炳
郑炳，经济学、金融专硕考研辅导第一人，经管类考研权 威教辅图书主编，跨考经济学、金融专硕项目创始人。 （1）效果：至今已帮助数万考生成功考上目标院校，其中以 人大、央财、上海财大等名校居多。 （2）优势：七年专注经济学、金融专硕考研辅导，熟谙经济 学、金融专硕考研命题规律和考题特色。 （3）成就：主编的教辅图书全国第一。坊间有言：没有用过 炳哥的书，听过炳哥的课，考研估计没戏。
1 b a b
w
b a b 1
w
b a b 2
y
1 a b
a x2 b

a a b
a
w1a b w2 a b y a b

a
1
成本函数：
b a a b 1 a b a b a a w a b w a b y a b C w1 x1 w2 x2 2 b 1 b
四、规模报酬和成本函数 平均成本函数：
AC
c w1 , w2 , y y
1．规模报酬不变 规模报酬不变时，成本是产量的线性函数，1单位成本函数 c w1 , w2 ,1 ，则生产y单位产量的最小成本为 c w1 , w2 ,1 y 。
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2．规模报酬递增
c w1 , w2 , y < c w1 , w2 ,1 y AC w1 , w2 , y < c w1 , w2 ,1 y y c w1 , w2 ,1
2．成本最小化的图示 在最优选择处，等产量线与等成本线（对应的等成 C w1 x1 w2 x2 ）相切，此时厂商的技术替代率 本方程为： 等于要素的价格比率，即有： MP x w 1 TRS 1 MP2 x w2
图16-1 成本最小化
3．条件要素需求函数 在成本最小化问题中，每一种要素的最优使用量都 w2 和y 的函数，这就是条件要素需求函 可以表示成 w1、 数，表示给定要素价格以及产量水平下的厂商的最优要 素选择。 将条件要素函数代入成本方程 C w1 x1 w2 x2 即可得到 成本函数，度量给定要素价格下生产既定产量的最小成 本。
t 1 t 2 s 1 s 2
t t t t t s t s w1 x1 w2 x2 w1 x1 w2 x2
s s t s t w1s x1s w2 x2 w1s x1 w2 x2
成本最小化的弱公理（WACM）：如果厂商总是选择成 本最小化的方法生产y单位的产量，那么，它在t期和s期的 选择必定满足上述不等式。
二、特定技术下的成本最小化 1．完全互补的技术 生产函数： f x1 , x2 min x1 , x2 最小生产成本为：
c w1 , w2 , y w1 y w2 y w1 w2 y
2．完全替代的技术 生产函数： f x1 , x2 x1 x2 由于要素1和要素2是完全替代品，厂商显然会使用 价格较低的要素。因此：
3．规模报酬递减
c w1 , w2 , y > c w1 , w2 ,1 y AC w1 , w2 , y > c w1 , w2 ,1 y y c w1 , w2 ,1
结论：规模报酬递增、不变、递减分别对应AC曲线下降、不
变、上升。
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五、长期成本和短期成本 假定要素价格固定在事先确定的水平上，则长期的 要素需求可以记为：