河南省林州市第一中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学试题(解析版)

林州一中2017级高二开学检测数学测题
一、选择题（每题5分，共60分）
1.已知集合，，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简集合，再根据集合交集定义运算即可.
【详解】因为，故选A.
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.
2.已知函数，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为，所以代入对应解析式，得代入对应解析式即可求解C.
【详解】，故选C.
【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于中档题题.解此类问题关键是分析所给自变量范围，根据范围代入求解即可.
3.若函数为增函数，则函数的图像大致是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复合函数的增减性知，，从而画出图象，再由偶函数的对称性得出所求图象.
【详解】由题可知，故为减函数，由复合函数为增函数可得.当
，此时函数为减函数，结合函数为偶函数可知，函数的图象为选项A中的图象.
【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，函数的奇偶性，对数函数的图象，属于中档题.
4.如图所示，在正四棱柱中，分别是的中点，则以下结论中不成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线与直线垂直，直线与平面平行垂直，平面与平面垂直的判定，逐一验证即可.
【详解】过分别作，连结，则
，故C正确.
【点睛】本题主要考查了中位线，线面平行，线线平行垂直，属于中档题.
5.某人从甲地去乙地共走了500m，途径一条宽为m的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里就能找到.已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知，这是一个几何概型问题，其找到的概率是长度比，故可求出河宽.
【详解】由题意，物品能找到的概率，解得米，所以选B.
【点睛】本题主要考查了概率为长度比的几何概型，属于中档题.
6.一个袋内装有大小相同的6个白球和5个黑球，从中随机抽取2个球，抽到白球、黑球各1个的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知从11个小球中随机抽取2个，共有基本事件个，抽到白球、黑球各一个，共有个基本事件，根据概率公式计算即可.
【详解】题意知从11个小球中随机抽取2个，共有基本事件个，抽到白球、黑球各一个，共有
个基本事件，所以满足条件的事件概率，故选A.
【点睛】本题主要考查了等可能事件的概率，属于中档题.本题解题的关键是做出满足条件的事件数，借助组合数来求比较简单.
7.如图，在四边形中，，，，则
的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由可知,因为，
，所以，因为，同向，可得，又
，代入即可.
【详解】因为可知，
因为，，
所以
因为，同向，可得
又
所以=
【点睛】本题主要考查了向量的垂直与数量积的关系，向量的共线，向量数量积的运算性质，向量的运算，考查了推理与计算的能力，属于难题.
8.已知函数为偶函数，其图象与直线的交点的横坐标为，若的最小值为，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知周期,所以，又函数为偶函数且，所以，即可求解.
【详解】因为函数与直线的交点的横坐标为，且的最小值为，所以周期，,所以，又函数为偶函数且，所以，故选A.
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，涉及周期性和奇偶性，属于中档题.
9.如图为函数的部分图象，分别为图象的最高点和最低点，若，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知再由知：可得
得，则，过作垂直于轴于，则，可知函数的周期，从而求解.
【详解】由题意知，
得，则，过作垂直于轴于，则，所以，则，故选C.
【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，向量的夹角，三角函数的周期，考查了推理与计算的能力，属于中档题.
10.设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为（）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
【答案】B
【解析】
试题分析：由于，所以，所以是直角三角形.
考点：解三角形、正余弦定理．
11.在中，内角所对的边分别为，若，，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理可得又，利用余弦定理即可求出,从而求出.
【详解】由，变形得：，利用正弦定理化简得：，即，由，整理得：
，，
则，故选C.
【点睛】本题考主要考查了正弦定理和余弦定理的灵活运用，及同角三角函数之间的关系，属于中档题.
12.已知的内角满足，面积满足，记分别为所对边，则下列不等式一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：的内角满足，
，，，
化为,.设外接圆的半径为,由正弦定理可得：.由
,及正弦定理得,即,面积满足,即,由
可得,显然选项C，D不一定正确,,,正
确,,即,但,不一定正确, 故选A.
考点：1、正弦定理、两角和与差的正弦公式以及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形的面积公式.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理的应用、两角和差的正弦公式以及正弦的二倍角公式和三角形的面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说,当条件中同时出现及
、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数或者将正弦转化为边再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.本题就是利用这种思路先得到
，然后根据正弦定理以及不等式的性质进行解答的.
二、填空题
13.向量在向量方向上的投影为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量在向量方向上的投影公式计算即可.
【详解】依题意得，因此向量在向量方向上的投影为.
【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算，属于中档题.
14.已知圆的圆心在直线上，圆与直线相切，且被直线截得的弦长为，则圆的方程_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，又圆与直线相切，所以圆的半径，圆心到直线的距离,利用弦心距、半弦长、半径所组成的直角三角形求解即可.
【详解】由圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，又圆与直线相切，所以圆的半径
，圆心到直线的距离，圆被直线截得的弦长为所以由勾股定理知，
，即，解得，所以圆的方程为.
【点睛】本题主要考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，圆的平面几何性质，属于中档题.
15.已知为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为______.
【答案】
【解析】
由已知，即得，由正弦定理，三角形的周长为
，，，周长的取值范围为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.）
16.已知集合.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）3
【解析】
【分析】
（1）化简集合A，分类讨论,写出集合B,利用求解（2）要满足，显然时成立，验证成立即可.
【详解】（1），.
当时，B为空集，不合题意；
当时，，应满足；
当时，，应满足，
.
（2）要满足，显然时成立，
，
而所求a的值为3.
【点睛】本题主要考查了集合的子集，集合的交集，分类讨论的思想，属于中档题.
17.如图所示，在四棱柱中，，，.
（1）求证：
（2）若为线段的中点，求证：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）证明BD垂直平面即可（2）可证明即可.
【详解】（1）因为，
所以BD是线段AC的垂直平分线.
所以.
又，，
所以.
因为，所以.
（2）因为，
所以，连结AE.
因为E为BC的中点，所以.
所以.
所以.
因为，，所以.
因为棱柱，所以.
因为，，所以，
，所以.
因为.
【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定与性质，属于中档题.证明直线与平面平行时，可考虑线线平行，也可以考虑面面平行再得线面平行.
18.一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：
（1）画出散点图；
（2）如果y与x有线性相关的关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
【答案】（1）见解析；（2）；（3）机器的转速应控制在14.9转/秒以下
【解析】
【分析】
（1）由表中数据做图（2）根据线性回归方程中公式求即可写出方程（3）利用线性回归方程建立不等式求解. 【详解】（1）画出散点图，如图所示：
（2）
，
.
故回归直线方程为.
（3）要使，.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下.
【点睛】本题主要考查了散点图，线性回归方程，利用线性回归方程解决问题，属于中档题.
19.已知函数.
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）若为锐角，且向量与向量垂直，求的值.
【答案】（1）最小正周期为，最小值为-2；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用降幂公式化简三角函数式即可（2）由与垂直，得，化简得即
，又利用可求解.
【详解】（1）
所以的最小正周期为，最小值为-2.
（2）由与垂直，得，
，即.
.
，
，.
.
【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式变形，两角差的正弦、余弦公式，向量垂直的条件，以及正弦函数的性质等，需要特别注意角的取值范范，属于中档题.
20.已知的三个内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析：（1）由条件及正弦定理可得，化简后再利用余弦定理可得，于是得．（2）根据（1）中的结论及可得，再利用余弦定理可求得．
详解：（1）∵，
∴
由正弦定理得，
化简得，
由余弦定理的推论得，
∵，
∴．
（2）由（1）知，
又，
∴，
由余弦定理得，
∴．
点睛：（1）解三角形时要注意根据条件选择正（余）弦定理进行边角间的转化，已达到求解的目的．
（2）三角形的面积公式和余弦定理常综合在一起考查，解题时注意公式的变形，如，然后利用整体代换的方法求解．
21.在中，设角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.
【详解】（1）由题意知，
即，
由正弦定理得
由余弦定理得，
又.
（2），
则的周长
.
，
，
周长的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.。