辽宁省大连市第二十五高级中学高一数学文上学期期末试卷含解析

辽宁省大连市第二十五高级中学高一数学文上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若定义在上的函数满足，且当时，，函数
，则函数在区间内的零点个数为
A.9
B.8
C.7
D.6
参考答案：
B
略
2. 已知，，则（）
. 3 .8 .4 .
参考答案：
A
略
3. 某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数量之比为1：2：4，现要用分层抽样的方法从中抽取140件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为（）
A．20 B．40 C．60 D．80
参考答案：
B
【考点】B3：分层抽样方法．
【分析】根据甲乙丙的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：∵甲、乙、丙三类产品，其数量之比为1：2：4，
∴从中抽取140件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为，故选：B．
4. 设，则下列不等式中不成立的是 ( ）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
D
略
5. 三个数，，的大小关系为( )
A. <<
B. <<
C. <<
D. <<
参考答案：
A
6. 下列命题中错误的是（）
A．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos2y成立
B．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin2y成立
C．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y成立
D．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin3y成立
参考答案：
B
【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．
【分析】利用二倍角公式、三倍角公式，函数的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：令x=cosy∈[﹣1，1]，
则对任意实数y，有等式f（cosy）=cos2y成立，即f（x）=2x2﹣1成立，故A成立．
对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y=4cos3y﹣3cosy 成立，即f（x）=4x3﹣3x成立，故B正确．
令t=siny∈[﹣1，1]，则对任意实数y，有等式f（siny）=sin2y=2sinycosy=2t?（±）成立，
即f（x）=2?（±）成立，故B错误．
则对任意实数y，有等式f（sin3y）=sin3y=3siny﹣4sin3y 成立，即f（t）=3t﹣4t3成立，故D成立，
故选：B．
7. 若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有
，且时，有，的最大值、最小值分别为，则的值为
A．2012 B．2013 C．4024 D．4026
参考答案：
C
8. 若，且，则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
根据不等式性质确定选项.
【详解】当时，不成立；
因为，所以；
当时，不成立；
当时，不成立；
所以选B.
【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.
9. （5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】直线与平面所成的角．
【专题】计算题．
【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）
∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos＜，＞═=．
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
故答案为D．
【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．
10. （3分）设a，b是夹角为300的异面直线，则满足条件“a?α，b?β，且α⊥β”的平面α，β（）
A．不存在B．有且只有一对 C．有且只有两对 D．有无数对
参考答案：
D
考点：平面的基本性质及推论．
专题： 综合题．
分析： 先任意做过a 的平面α，然后在b 上任取一点M ，过M 作α的垂线，可以得到面面垂直；再结合平面α有无数个，即可得到结论． 解答： 任意做过a 的平面α，可以作无数个．
在b 上任取一点M ，过M 作α的垂线，b 与垂线确定的平面β垂直与α． 故选D ．
点评： 本题主要考查立体几何中平面的基本性质及推论，同时考查学生的空间想象能力．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设f （x ）=1﹣2x 2，g （x ）=x 2﹣2x ，若，则F （x ）的最大
值为
．
参考答案：
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】计算题．
【分析】求出F
（x ）的解析式，在每一段上分别求最大值，综合得结论．
【解答】解：有已知得F （x ）==，
上的最大值是，在x≥3上的最大值是﹣1，y=x 2﹣2x 在
上无最大
值．
故则F （x ）的最大值为 故答案为：．
【点评】本题考查了分段函数值域的求法，在对每一段分别求最值，比较每一段的最值，最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值，考查运算能力，属中档题．
12. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
[
则第n 个图案中有白色地面砖 块． 参考答案：
略
13. 已知f （x ）为奇函数，g （x ）是偶函数，且f （﹣1）+g （1）=2，f （1）+g （﹣1）=4，则g （1）= ．
参考答案：
3
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用函数f （x ）、g （x ）的奇偶性可把已知等式化为关于f （1），g （1）的方程组，消掉f
（1）即可求得g （1）．
【解答】解：∵f（x ）为奇函数，
∴f（﹣1）+g （1）=2可化为﹣f （1）+g （1）=2①， ∵g（x ）为偶函数，
∴f（1）+g （﹣1）=4可化为f （1）+g （1）=4②， ①+②得，2g （1）=6，解得g （1）=3，
故答案为：3．
14. 如果角θ的终边经过点（﹣
，），则sin θ= ．
参考答案：
【考点】G9：任意角的三角函数的定义． 【分析】由角θ的终边经过点（﹣，），可得x=﹣
，y=，r=1，再利用任意角的三角函数
的定义求得sin θ的值．
【解答】解：∵角θ的终边经过点（﹣，），
∴x=﹣，y=，r=1，
∴sinθ==，
故答案为：．
15. 有以下判断：
①与表示同一函数；
②函数的图象与直线的交点最多有1个；
③与是同一函数；
④若，则.
其中正确判断的序号是________．
参考答案：
②③
考点：函数的概念及其构成要素．
【思路点睛】通过求函数的定义域和对应法则即可判断两个函数是否为同一函数，从而判断出①③的正误，根据函数的定义便可判断②正确，而是分段函数，先计算，由里往
外计算，从而可判断出④错误．本题考查判断两个函数是否为同一函数的方法，定义域和对应法则决定一个函数，以及函数的定义，求分段函数值，属于基础题．16. 已知函数，若互不相等，且，则
的取值范围是
参考答案：
17. 函数的单调减区间是.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知：集合，其中
．，称为的第个坐标分量．若，且满足如下两条性质：
①中元素个数不少于4个．
②，，，存在，使得，，的第个坐标分量都是1．则称为的一个好子集．
（1）若为的一个好子集，且，，写出，．
（2）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过．
（3）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是1．
参考答案：
（），．
（）对于，考虑元素；
显然，，，，对于任意的，，，不可能都为，
可得，不可能都是好子集中．
又因为取定，则一定存在且唯一，而且，
由的定义知道，
，
,
这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为
，所以中元素个数不超过．
（）
，，定义元素，的乘积为
，显然
． 我们证明“对任意的，
都有．”
假设存在
，
使得
，则由（）知，
．
此时，对于任意的，
，
，不可能同时为，矛盾，所以．
因为中只有
个元素，我们记为中所有元素的成绩，根据上面的结论，我们知道
，
显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设，
根据的定义
，可以知道中所有元素的坐标分量都为．
下面再证明的唯一性： 若还有
，即中所有元素的坐标分量都为．
所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾．
所以结论成立．
19. （16分）已知函数f （x ）=x 2+2ax+1，g （x ）=2x+2a （a∈R）
（1）若对任意x∈R，不等式f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）设函数m （x ）=，求m （x ）在x∈[2，4]上的最小值．
参考答案：
20. 已知cos α=﹣，且α为第三象限角． （1）求sinα的值；
（2）求f （α）=的值．
参考答案：
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】（1）由已知及同角三角函数关系式即可求sinα的值．
（2）由诱导公式化简后代入（1）的结果即可求值．
【解答】解：（1）∵cosα=﹣，且α为第三象限角．
∴sinα=﹣=﹣=﹣．
（2）f（α）===﹣．
21. 已知命题p:函数是R上的减函数，命题q：对都成立.若命题p和命题q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．
参考答案：
【分析】
分别求出命题成立的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可.
【详解】解：函数是上的减函数
，解得：
对都成立
则：，解得：，
当命题成立命题不成立时：，
解得：不存在当命题成立命题不成立时，，
解得：
实数取值范围为：
【点睛】本题考查复合命题的应用，根据条件求出命题的等价条件是解题的关键，属于中档题.
22. 已知集合，，求.
参考答案：
(1,+∞)
【分析】
根据集合A，B的意义，求出集合A，B，再根据交集的运算求得结果即可．
【详解】对于集合A，，
对于集合B，当x<1时，故B＝；
故A∩B＝
故答案为：
【点睛】本题考查了交集的运算，准确计算集合A,B是关键，是基础题．。