第二章2.2 函数的单调性与最值

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思想方法
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变式训练 2 (2)函数 y＝x－x－a－5 2在(－1，＋∞)上单调递增，
则 a 的取值范围是
(C)
A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3
解析 y＝x－x－a－5 2＝1＋x－a－a＋3 2， 由函数在(－1，＋∞)上单调递增， 有aa－＋32<≤0－1 ，解得 a≤－3.
和最小值．
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题型三
利用函数的单调性求最值
【例 3】 已知函数 f(x)对于任意 x， 思维启迪 解析 探究提高
y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， 且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－23. (1)求证：f(x)在 R 上是减函数； (2)求 f(x)在[－3,3]上的最大值 和最小值．
所以 a＋1<0，即 a<－1.
故 a 的取值范围是(－∞，－1)．
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题型二
利用函数单调性求参数
【例 2】 若函数 f(x)＝axx＋－11在 (－∞，－1)上是减函数，求实
思维启迪 解析 探究提高 已知函数的单调性确定参数的值或 范围，可以通过解不等式或转化为不
思维启迪 解析 探究提高
(1)证明 方法一 ∵函数 f(x)对于任 意 x，y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， ∴令 x＝y＝0，得 f(0)＝0. 再令 y＝－x，得 f(－x)＝－f(x)． 在 R 上任取 x1>x2，则 x1－x2>0，
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
(1)求证：f(x)在 R 上是减函数； ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．
(2)求 f(x)在[－3,3]上的最大值 和最小值．
又∵当 x>0 时，f(x)<0，而 x1－x2>0， ∴f(x1－x2)<0，即 f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在 R 上为减函数．
基础知识
数学 R A（理）
§2.2 函数的单调性与最值
第二章 函数与基本初等函数 I
基础知识·自主学习
要点梳理
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I.如果对
难点正本 疑点清源
1.函数的单调性是局部性质
函数的单调性，从定义 上看，是指函数在定义
于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个
问题(1)对于抽象函数的问题要 根据题设及所求的结论来适当 取特殊值，证明 f(x)为单调减函 数的首选方法是用单调性的定 义来证．问题(2)用函数的单调
性即可求最值．
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题型三
利用函数的单调性求最值
【例 3】 已知函数 f(x)对于任意 x， y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， 且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－23. (1)求证：f(x)在 R 上是减函数； (2)求 f(x)在[－3,3]上的最大值 和最小值．
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要点梳理
难点正本 疑点清源
图象 描述
自左向右 自左向右看图
象是_上__升__的___ 看图象是 _下__降__的___
(2)单调区间的定义
若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数 或减函数 ，则称函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性， 区间D 叫
题型一
函数单调性的判断
思维启迪
【例 1】试讨论函数 f(x)＝xa－x1
(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解析 探究提高
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题型一
函数单调性的判断
【例 1】试讨论函数 f(x)＝xa－x1 (a≠0)在(－1,1)上的单调性．
思维启迪 解析 探究提高
在(0， a]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数；
证明 设 x1，x2 是任意两个正数，且 0<x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2＝x1x－1x2x2(x1x2－a)． 当 0<x1<x2≤ a时，0<x1x2<a，又 x1－x2<0，
所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，
做函数 y=f(x)的单调区间．
2.函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子 区间,所以求解函数的单调区间,必 须先求出函数的定义域.对于基本 初等函数的单调区间可以直接利用 已知结论求解,如二次函数、对数函 数、指数函数等； 如果是复合函数，应根据复合函数 的单调性的判断方法，首先判断两 个简单函数的单调性，再根据“同 则增，异则减”的法则求解函数的 单调区间．
自变量 x1，x2
定
当 x1<x2 时，
当 x1<x2 时,
义
都有
都有
域的某个子区间上的单 调性，是局部的特征．在 某个区间上单调,在整个
f(x1)<f(x2) ， 那 f(x1)>f(x2), 那
么就说函数 f(x)在区 么就说函数 f(x)在
定义域上不一定单调．
间 D 上是增函数 区间 D 上是减函数
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题型三
利用函数的单调性求最值
【例 3】 已知函数 f(x)对于任意 x， 思维启迪 解析 探究提高
y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， (2)解 ∵f(x)在 R 上是减函数， 且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－23. ∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
可利用定义或导数法讨论函 数的单调性．基础知识来自题型分类思想方法
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【例 1】试讨论函数 f(x)＝xa－x1
解析 探究提高
(解a≠0设)在－(－1<1x,11<)x上2<的1，单调性．
f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1，
思维启迪 解析 探究提高
利用函数的单调性求参数的取值 范围，解题思路为视参数为已知
数 a 的取值范围．
数，依据函数的图象或单调性定
义，确定函数的单调区间，与已
知单调区间比较求参．
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题型二
利用函数单调性求参数
【例 2】 若函数 f(x)＝axx＋－11在 (－∞，－1)上是减函数，求实
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要点梳理
难点正本 疑点清源
2．函数的最值
3．单调区间的表示
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如 前提
果存在实数 M 满足
单调区间只能用区间表 示，不能用集合或不等
(1) 对 于 任 意 (3) 对 于 任 意 x∈I，都有 x∈I，都有 条件 __f_(x_)_≤_M_____； __f_(x__)≥_M______； (2)存在 x0∈I， (4) 存 在 x0∈I, 使得_f_(x_0_)_＝__M_. 使得_f_(x_0_)_＝__M_.
式表示；如有多个单调 区间应分别写，不能用 并集符号“∪”联结， 也不能用“或”联结．
结论 M 为最大值 M 为最小值
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基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案 －6
－12，＋∞ 43，1
(－3,0)
D
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解析
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题型三
利用函数的单调性求最值
【例 3】 已知函数 f(x)对于任意 x， 思维启迪 解析 探究提高
又∵当 x>0 时，f(x)<0，
而 x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即
f(x1)<f(x2)．
因此 f(x)在 R 上是减函数．
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题型三
利用函数的单调性求最值
【例 3】 已知函数 f(x)对于任意 x， 思维启迪 解析 探究提高
y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， 方法二 设 x1>x2， 且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－23. 则 f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)
所以函数 f(x)在(0， a]上是减函数； 当 a≤x1<x2 时，x1x2>a，又 x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)，
所以函数 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
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变式训练 1 (2)求函数 y＝ x2＋x－6的单调区间．
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利用函数的单调性求最值
【例 3】 已知函数 f(x)对于任意 x， 思维启迪 解析 探究提高
y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， 且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－23.
(1)求证：f(x)在 R 上是减函数；
(2)求 f(x)在[－3,3]上的最大值
f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1＝ax1－x21－xx21－1
当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上递减；
当 a<0 时，f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上递增．
(1)求证：f(x)在 R 上是减函数； (2)求 f(x)在[－3,3]上的最大值 和最小值．
∴f(x)在[ －3,3] 上的最大值和最小值 分别为 f(－3)与 f(3)．
而 f(3)＝3f(1)＝－2, f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为 2，最小 值为－2.
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数 a 的取值范围．
等式恒成立问题求解；需注意的是，
若函数在区间[a，b]上是单调的，则
该函数在此区间的任意子集上也是
单调的．
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变式训练 2 (1)若函数 f(x)＝(2a－1)x＋b 是 R 上的减函数， 则 a 的取值范围为___－__∞_，__12____． 解析 因为函数 f(x)＝(2a－1)x＋b 是 R 上的减函数， 所以 2a－1<0，解得 a<12， 所以 a 的取值范围是－∞，12.
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函数单调性的判断
【例 1】试讨论函数 f(x)＝xa－x1
思维启迪 解析 探究提高 证明函数的单调性用定义法的步
(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
骤：取值—作差—变形—确定符号
—下结论．
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变式训练 1 (1)已知 a>0，函数 f(x)＝x＋ax (x>0)，证明函数 f(x)
解 令 u＝x2＋x－6，y＝ x2＋x－6可以看作有 y＝ u与 u＝ x2＋x－6 的复合函数． 由 u＝x2＋x－6≥0，得 x≤－3 或 x≥2. ∵u＝x2＋x－6 在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是 增函数，而 y＝ u在(0，＋∞)上是增函数． ∴y＝ x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为 [2，＋∞)．
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题型二
利用函数单调性求参数
【例 2】 若函数 f(x)＝axx＋－11在
思维启迪 解析 探究提高
所以 f(x1)－f(x2)>0，由于 x1<x2<－1， (－∞，－1)上是减函数，求实
数 a 的取值范围．
所以 x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0，
思维启迪 解析 探究提高
解 f(x)＝axx＋－11＝a－xa＋＋11，
数 a 的取值范围．
设 x1<x2<－1， 则 f(x1)－f(x2)＝a－xa1＋＋11
－a－xa2＋＋11
＝xa2＋＋11－xa1＋＋11＝ax2＋＋11xx11－＋x12，
又函数 f(x)在(－∞，－1)上是减函数，
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利用函数单调性求参数
【例 2】 若函数 f(x)＝axx＋－11在
思维启迪 解析 探究提高
(－∞，－1)上是减函数，求实
数 a 的取值范围．
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【例 2】 若函数 f(x)＝axx＋－11在 (－∞，－1)上是减函数，求实