非退化双线性函数

一、 非退化双线性函数
定义6 设f 是线性空间V 上的双线性函数，如果它在某组基下的度量矩阵A 是可逆矩阵，则称f 是非退化的双线性函数，否则称为退化的双线性函数。

例6 设f 是V 上双线性函数，那么f 是非退化的双线性函数的充分必要条件是：如果存在向量β，使得,V ∈∀α0),(=βαf 时必有.0=β
证 设n εεε,,,21 是V 的基，f 在基n εεε,,,21 下的度量矩阵为
.A ,),,,(,),,,(2121B X n n εεεβεεεα ==则.),(AB X f '
=βα )(⇒ 若f 是非退化的双线性函数，则A 是可逆矩阵，并且假定存在向量,2211n n b b b εεεβ+++= ,V ∈∀α.0),(=βαf
分别取n εεεα,,,21 =，则有.0),(=βεi f 于是有
0),(),(),(100010001212121222211121121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛βεβεβεn
n nn n n n n n f f f b b b a a a a a a a a a b b b A
因为A 是可逆矩阵，所以.0,021=====βn b b b
)(⇐ 假定存在向量,2211n n b b b εεεβ+++= 使得,V ∈∀α 0),(=βαf ，且可推出.0=β
分别取n εεεα,,,21 =，有.0),(=βεi f 于是
.0,0),(),(),(212121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n
n b b b f f f b b b A βεβεβε 即0=AX 只有零解，所以矩阵A 可逆。

例7 设),,,,(),,,,(,432143214
y y y y x x x x P V ===βα
,),(44332211y x y x y x y x f -++=βα
1）证明f 是V 上双线性函数； 2）求f 在基
)1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1(4321====εεεε
下的度量矩阵；
3）求f 在基
)3,1,6,6(),1,2,3,5(),0,1,3,0(),1,1,1,2(4321===-=ηηηη
下的度量矩阵；
4）证明f 是非退化双线性函数； 5）求一个向量,0≠α使.0),(=ααf 证 1） f 是V V ⨯到P 的映射。

,
,),,,,(),
,,,(),,,,(),,,,(43212432114321243211P l k d d d d c c c c b b b b a a a a ∈∀===∀ββαα
).
,(),()
()()
()()
()(),(21114433221144332211444333222111211βαβαββαlf kf d a d a d a d a l c a c a c a c a k ld kc a ld kc a ld kc a ld kc a l k f +=-+++-++=+-+++++=+
同理可证).,(),(),(1211121βαβαβααlf kf l k f +=+所以f 是V
上双线性函数。

2）设f 在基4321,,,εεεε下的度量矩阵为A ，则
.10000100001000
01
),()
,()
,(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(44342414433323134232221241312111⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεf f f f f f f f f f f f f f f f A
3）
,),,,(31011
21163316502),,,(),,,(432143214321X εεεεεεεεηηηη=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-= 设f 在基4321,,,ηηηη下的度量矩阵为B ，则
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='=31011
2116331650211113166123501301112AX X B .6447191447371110191110214102531011211633165023166123501
301112⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----= 4）因为⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=11
11A 可逆，所以f 是非退化双线性函数。

5）设),,,(4321x x x x =α使,0),(=ααf 则
,011
11),,,(43214321=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x x x x x 即.02
4232221=-++x x x x 所以
),0,0,(11x x ±=α或).,,0,0(),,0,,0(3322x x x x ±±
例8 设),(),Tr(),(,V B A AB B A f P V n
n ∈∀==⨯，则f 是非
退化的双线性函数。

证 取线性空间V 的基,,,,,,,,222111211nn n E E E E E E 因为
⎩⎨⎧≠==,0,
k j k j E E E il kl ij
所以,1Tr ),(==ii ji ij E E E f 当 l i ≠时，
⎩⎨
⎧≠====,00Tr ,
0Tr ),(k j k j E E E f il kl ij
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛),(),(),(),()
,(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(12111121122121121112111112111111111nn nn n nn n nn n nn nn nn n n n nn n n n E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f E E f
.
10
00001000000000001000100000000000100000000000100010000000000010000000000012122212
12111⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=nn n
n
n n E E E E E E E E E
因为矩阵
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛nn n n
n n E E E E E E E E E 2122212
12111
可逆，所以f 非退化的双线性函数。

另证：设
,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=nn n n n n b b b b b b b b b B ⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=∀nn n n n n x x x x x x x x x X
2122221
112
11 若,0)Tr(),(==XB B X f 取.,,2,1,
,n j i E X ij == 因为
,0000001121111⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝
⎛= n b b b B E
,0),(11=B E f 则.011=b
取,12E X =
,0000002222112⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝
⎛= n b b b B E .0),(2112==b B E f 取,1n E X =
,000000211⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛= nn n n n b b b B E .0),(11==n n b B E f 取,21E X =
,000000112
1121⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛= n b b b B E .0),(1221==b b E f 取,2n E X =
,00000002
12⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝
⎛= nn n n n b b B E
.0),(22==n n b B E f …………………………
取,1n E X =
,0
00000112111⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=n n b b b B E .0),(11==n
n b B E f
………………………………
取,nn E X =
,0
0000021⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=nn n n nn b b b B E .0),(==nn nn b B E f 即0),(,=∈∀B X f X X 必有0=B ，所以f 非退化的双线性函数。

例6 考虑一个在发展中国家可能出现的有关污染和工业发展的工业增长模型。

设P 是目前的污染程度，D 是目前的工业发展水平，P '和D '分别是5年以后的污染程度和工业发展水平。

根据发展中国家类似的经验，国际发展机构认为预测公式是:
D P D D P P +='+='2,2，即
.1221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''D P D P 令,1221⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=A ),1)(3(122
1||+-=----=-λλλλλA E
3是A 的一个实特征值，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛11是矩阵A 的属于特征值3的特征向量。

特征向量是⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛11表明：如果以一类适当的指标组成的单位来度量，
某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是1，即1,1==D P ，D P '''',分别是第二个5年以后的污染程度和工业发展水平，)()(,n n D P 分别是第n 个5年以后的污染程度和工业发展水平，那么
.11399111221,11333111221
22
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''D P D P
.11311)()
(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n n n n A D P 例7 假设在没有狐狸的情况下，现有兔子的数量R 一年自然增
长10%，在没有兔子的情况下，现有狐狸的数量F 每年减少15%. 当狐狸和兔子处于同一栖息地时，狐狸吃兔子，兔子数减少，使狐狸增加。

狐狸和兔子处于同一栖息地的生态模型为
.85.01.015.01.1,85.01.015.01.1⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎩⎨⎧+='-='F R F R F R F F R R 矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=85.01.015.01.1A 的特征值为1和0.95，A 的属于特征值
1的特征向量是⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231,23表示2,3==F R 的种群保持“稳态”
；A 的属于特征值0.95的特征向量是,11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,1195.0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,1195.02⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛表
示1,1==F R 的种群缓慢衰减。

例8 假定把一个城市的天气分为3种状态：晴、阴和雨。

通过观察该城市以往几年天气变化趋势后确定：如果今天晴，明天晴的概率为4
3，今天晴明天转阴的概率为8
1，今天晴明天转雨的概率为
81；如果今天阴，明天转晴的概率为2
1，今天阴明天也阴的概率为41，今天阴明天转雨的概率为4
1；如果今天下雨，明天转晴的
概率为41，今天下雨明天转阴的概率为2
1，今天下雨明天也下雨
的概率为4
1,那么可以得到矩阵
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=414181214181
412143A , 矩阵A 称为转移矩阵。

转移矩阵A 的每一列对应于今天天气的状态；转移矩阵A 的每一行对应于明天天气的状态。

例如，A 的2行3列的元素2
1表示今天下雨明天转阴的概率为
2
1. 转移矩阵一定满足A 的每一列的概率之和为1. 有了转移矩阵A ，可以由今天天气是晴、阴和雨的概率推测明
天的天气状态，从而进行天气预报。

这是因为：如果知道今天天气是晴、阴和雨的概率分别为3
1、
52、154，由于今天晴明天也晴的概率为4
3，所以，当今天晴的概率为
31时，明天晴的概率为413143=⋅；由于今天阴明天转晴的概
率为21，所以，当今天阴的概率为52时，明天转晴的概率为
5
1
5221=⋅；由于今天下雨明天转晴的概率为41，所以，当今天下雨
的概率为154
时，明天转晴的概率为.15
1
15441=⋅以上三种概率之和就是明天晴的概率，它等于
.60
3115151411544152213143=++=⋅+⋅+⋅ 这就是说，知道今天天气是晴、阴和雨的概率分别为31、5
2、
15
4
，明天天气晴的概率等于
.60
31
15151411544152213143=++=⋅+⋅+
⋅
1) 设321,,p p p 分别表示今天天气是晴、阴、雨的概率，32
1,,p p p '''分别表示明天天气是晴、阴、雨的概率,则
AP P =',其中.,321321⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛'''='p p p P p p p P 2）今天以后的第一天、第二天、第三天、…… 天气是晴、阴和
雨的概率分别为：
.,,,,)(32P A P P A P P A P A P AP P n n =='''='=''=' 3） 如果清晨我们得知：本市今天天气是晴、阴和雨的概率分别为0、21、2
1 ，预测今天以后的第一天、第二天、第三天、…… 天
气是晴、阴和雨的概率分别为
23
14
、23
5
、.234
4)
),1832)(1(4
1418
1214181
4
1214
3||2---=---------=-λλλλλλA kE 所以，1是A 的一个实特征值。

解方程组,0)(=-X A E 得非零解⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2342352314，所以⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛2342352314是A 的属于
特征值1的特征向量。