优质：浙江省杭州市2016-2017学年高二下学期期末考试数学试题(解析版)

1．B 【解析】
{}{}=1,2,323A A B ∴⋂=， ,选B.
【点睛】集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．
2．B 【解析】d 选B.
3．D 【解析】1+0+1cos ,a b =
选D.
8．A 【解析】当x>1时，有11x < ；当11x <时，有x>1或x<0，故“x＞1”是“1
1x
< ”的充分非必要条件，故选A.
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
10．B 【解析】试题分析：由题两圆的圆心分别为()2,0-， ()2,1=
的半径分别为2,3，由于3232-<<+，所以两圆相交.
11．D 【解析】
由图可知直线2x y z --经过点（0,2）时z 最小， min 2z =- ，选D.
【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
12．C 【解析】设正方体边为a ，中心半径为
1
2
a ，其余部分半径圆滑变化，故选C. 13．C 【解析】()()()2
11242,3,3f b c f b c b f x x x c =++==++=-=-+解得故
()01210,212f c c ≤=-≤≤≤ ，故选C.
14．D 【解析】在三角形ABD 中，设点Q 在直线BD 上， AQ a AB bAD =+ ，则1a b +=
而AP xAB y AD =+且点P 不在三角形OCD 边界上，则当1x y +≤ 时点P 必定不在三角形OCD 内，选项A,B,C 舍去，故选
D.
17．C 【解析】OA ： b y x a =
，由OA AB ⊥ 得:a AB y x d b =-+，又AB 过点F ，则ac
d b
=
{ a ac y x b b b y x a =-+= 解得222
222222
2{ ,,a c
x a c abc a b A a b b a abc y b a =⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=+ { a ac y x b b b y x a =-+=- 解得2222
22222
2{ ,,a c x a c abc a b B a b b a abc y b a =⎛⎫- ⎪--⎝⎭=-
2AB ==
OA = 由2AB OA OB =+
得2a b =，
c e a === 选C.
【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
18．D 【解析】由正弦定理得，设△ABP 与△ACP 的外接圆半径分别为12,r r
在△ABP 中，
12sin AP r B = ；在△ACP 中， 22AP
r sinC
= 2
2
21122
2πr
sin πr sin r C r B λ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 为定值，选D.
【点睛】1．选用正弦定理或余弦定理的原则
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．
2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．
20．
7
2
【解析】由BF FC =知点F 为BC 中点 ()()AF DF AB BF
DC CF AB DC AB CF BF DC BF CF ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅
17
422AB DC AB FC BF DC BF FC =⋅-⋅+⋅-⋅=-
=.
21．
30
31
【解析】令1111,21,1n S a a ==-=得 当()()11112,221221,21n n n n n n n n n n a S S a n a n a a a a ----≥=-=---+=--=+
23453,7,15,31a a a a ∴====，
12233445248161111111301+-+-=337715153131
a a a a a a a a +++=-+- . 【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消
法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如
()()
1
13n n ++或
()
1
2n n +.
22．3
4【解析】过A 作AO 垂直平面α于O,过O 作OD 垂直BC 于D,则π
3
ABO ADO θ∠=∠=，， 设,BD a =
则332,,sin .24
AO AB a AD AO a AB θ===
∴==
试题解析：（1）由已知得34πππcos ,sin cos cos cos sin sin 55666ααααα⎛
⎫=
=∴-=⋅+= ⎪⎝⎭
（2）()11π1sin sin sin 22264f ααααα⎫⎛
⎫=+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ ()ππ
π5π
30,2,0,26664f ααα⎡⎤
⎡⎤
⎤⎡∈∴-∈-∴∈⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.
【点睛】向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，或转化为三角形中的“数量关系”，再利用解三角形的有关知识进行求解.
24．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由切割线定理得EM=EB ，其中AE 切圆于M ，再根据切
线长公式得|EA|+|EB|为定值4（2）由椭圆定义可得E,F 均在椭圆22
143
x y += 上，由弦长公式化简|EB|•|FQ|=|BF|•|EQ|得()
12123
2y y y y m
=+，设直线EF 方程()10x my m =+≠与椭圆方程联立，结合韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++，即证()1212
3
2y y y y m
=+成立 试题解析：（1）设AE 切圆于M ，直线x=4与x 轴交于N ，则EM=EB
所以4EA EB AM +==
===
(2)同理FA+FB=4，所以E,F 均在椭圆22143x y += 上，设EF: ()10x my m =+≠ ,则34,Q m ⎛⎫
⎪⎝⎭
与椭圆方程联立得()
221212121222
69234690,,34343
m m
m y my y y y y y y y y m m --++-=+=
=⇒+=++ ()1122121212333
2EB FQ BF EQ y y y y y y y y y y m m m
⋅=⋅⇔-⋅+=⋅-⇔=+ ，结论成立.
【点睛】解析几何证明问题，一般解决方法为以算代证，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到证明．其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化
.
试题解析：（1）当0b = 时， []()(
)()()1,1,x f x g x f x g x ∈---=-=- ，为奇函数；
当0b ≠ 时， 11111111,,22222222f g f g f g f g ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
-≠---≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
为非奇非偶函数 （2）任取1211x x -<<< ，则()()
()()
121212221
2
1011a x x x x y y x x -+-=<-- ，即为单调递增函数
（3）()2,h x ax x a b =--+-
当11122a -≤-
≤-时()max 11112,22,4424h x a b a b a a a ⎡⎤=+-=+=+-∈-⎢⎥⎣⎦
当112a -
<-时()max 112,11,2h x b a b a ⎛
⎫=-=+=-∈-- ⎪⎝
⎭ 综上11,4a b ⎛
⎤
+∈- ⎥⎝
⎦.。