2伯努力方程
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⑵适用范围：理想流体作稳定流动；同一流管。 ⑶v、p、h均为该截面的平均值。
2-2伯努利方程 二、 Bernoulli equation的应用
1 .空吸作用suction
第二章 流体的运动
S1v1 S2 v2
1 2 1 2 v1 gh1 p1 v2 gh2 p2 2 2
2-2伯努利方程
第二章 流体的运动
1 1 2 2 v A p A v B pB 2 2 流速v A 0 1 2 v B p A pB 2 p A pB g (hA hB )
所以待测流速为:
v vB 2g hA hB
2-2伯努利方程 皮托管 （Pitot tube）
作业：2-2 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9
P0 3 gh1
h2 3h1
0
1
0
2
2-2伯努利方程 应用伯努利方程解题 的步骤与注意点：
选取两个适当的参考点
与大气接触处 p=p0
第二章 流体的运动
1 2 1 2 v1 gh1 p1 v2 gh2 p2 2 2
对相对很大的液面处
v≈0
必要时与连续性方程连用
⑵外力对这段流体所作的功
F1 p1S1；F2 p2 S 2； A1 F1v1t；A2 F2 v2 t A A1 A2 p1S1v1t p2 S 2 v2 t 因为S1v1t S 2 v2 t V 所以A p1V p2V
2-2伯努利方程
1 2 1 2 pb v b ghb pe ve ghe 2 2 hb H , he 0, vb ve , pe p0
即：
1 v 2 gh P 恒量 2
整理得：
Pb P0 gH ＜P0
v不变，h↑则p↓
2-2伯努利方程
第二章 流体的运动
A
h1 h2 E
2-2伯努利方程
第二章 流体的运动
对A、D两点，有 1 2 1 2 PA v A gh A PD v D gh D 2 2 因 S A S D ，由连续性方程有 v A 0
于是
vD 2ghA hD 2gh1
对同一流管中C、D两点，有 S C vC S D v D 1 2 1 2 v C PC ghC v D PD gh D 2 2 1 2 1 2 P gh P C 2 0 PC v D PD v C 2 2 P 3gh P gh
第二章 流体的运动
头 动脉kpa 平卧 12.67
部 静脉kpa 0.67
足 动脉kpa 12.67
部 静脉kpa 0.67
直立
ΔP
6.80
-5.87
-5.20
-5.87
24.40
11.73
12.40
11.73
2-2伯努利方程
第二章 流体的运动
5、流速与高度的关系 当流管中各处的压强相等时，伯努利方程为：
2-2伯努利方程
已知：Pa=Pe=P0
解：⑴ Sa va =Seve
第二章 流体的运动 Sa＞＞Sb=Sc=Sd=Se h H ⑶Pb，Pd
求：⑴ve ⑵vb，vc，vd
→
1 2 1 2 va gH pa ve pe 2 2
va≈0
（3）求b点压强
ve 2gH ⑵由Sv=恒量 得 vb=vc=vd = ve
第二章 流体的运动
X：P1、v1、h1、S1
Y： P2、v2、h2、S2
Δt后，XY→X’Y’
由于Δt很小，可以认为 S、p 、v不变
2-2伯努利方程
⑴流体的机械能的变化
第二章 流体的运动
1 1 2 2 E E K E P ( mv2 mv1 ) (m gh 2 m gh 1) 2 2 1 1 2 2 ( mv2 m gh ) ( m v 2 1 m gh 1) 2 2
第二章 流体的运动
⑶Bernoulli equation 据功能原理有： 1 1 2 2 1 11 2 2 1 p V p V ( m v m gh ) ( m v m gh )) ) 2 2 1 2 2 2 1 1 p V p V ( m v m gh ) ( m v m gh p1V p V ( m gh ) ( m v m gh 1 2 22 1 1 1 1 22 2 2 2 2 22 整理后得： 整理后得： 整理后得： 1 2 11 1mv 222 m gh p V 1 mv 22 m gh p V 1 1 1 p 1V 2 2 2p m v m gh m v m gh m v m gh m v m gh p 1 1 2 2 2V 1 1 1 2 2 2V 2 2 22 2 2 各项除以 V 得： 各项除以 V 各项除以 V得： 得：
2-2伯努利方程
B点比A点高2m。假设水的内摩擦 可以忽略不计，
求A、B点
的流速和B点 的压强。
2-2伯努利方程
第二章 流体的运动
[ 例 4] 如图所示，两个盛水的开口容器 B 、 F ，容 器B的底部接一水平管，管中C处的截面积是 D处的 1/2 ，且 D 处截面积远小于容器 B 的横截面积，在 C 处开口引管E浸入容器F内的水中。如果水沿水平管 作稳定流动，且D处与容器B中液面高度差为h1，试 求E管内水上升的高度h2。
第二章 流体的运动 2-2伯努利方程 第二节 伯努利方程（ Bernoulli equation）
1738年伯努利(D. Bernoulli) 提出了著名的伯努利方程.
丹· 伯努利 (Daniel Bernoull, 17001782)瑞士科学家.
2-2伯努利方程
一 伯努利方程 1. 推导 理想流体作稳定流动 选t时刻X、Y之间的流体为研 究对象
则v1 S 2 （ 2 p1 p2 ) 2 （S12 S 2 ） （ 2 p1 p2 ) 2 （S12 S 2 ）
因此流体的流量为： Q S1S 2
由于P1-P2=ρg h
Q S1 S 2
2 gh 2 S12 S 2
2-2伯努利方程 3.流速计
第二章 流体的运动
⑴水平管道中流动的液体，h1=h2 , v↑--P↓ ， ⑵流管中S↓--v↑ ⑶ S↓-- P↓ ，该处流体可以吸入 外界流体 ------空 吸作用。.汾丘里流量计
第二章 流体的运动 1 2 1 2 v1 p1 v2 p2 2 2 据连续性方程 S 1v1 S 2v 2
注意单位，特别是压强的单位
大气压：P0=1.013*105帕，76mmHg
2-2伯努利方程 小结： equation of continuity Bernoulli equation
第二章 流体的运动
S1v1 S2 v2
1 2 1 2 v1 gh1 p1 v2 gh2 p2 2 2
求d点压强: 1 2 1 2 pd v d ghd pe ve ghe 2 2 hd h H , he 0, vd ve , pe p0
整理得：pd p0 g (h H ) ＜pb＜p0
答：
2-2伯努利方程
此题小结：
第二章 流体的运动
应用：用一根跨过水坝的粗细
1 2 11 1v 222 gh p 2 1 1 2 v gh p vv gh p v gh 1 1 22 2 2 2p2 gh p v gh p 11 1 1 1 1 1 2 2 2 2 22 2 2 2
均匀的虹吸管,从水库里取水
2-2伯努利方程 [例2] 如图所示，大口 径直立圆筒下方 开有一小孔，小 孔距离筒内水平 高度h=1.2m,小孔 截面积S=0.2cm2, 计算小孔出水速 度和流量。
第二章 流体的运动
第二章 流体的运动 [例3]设有流量为0.12m3•s-1的水流过图2-4所示的管 子。A点的压强为2105Pa，A点的截面积为 100cm2，B点的截面积为60cm2，
第二章 流体的运动
ρ
1 2 v PA PM gh 2 2 gh v
ρ’
（被测流体ρ为气体）
2-2伯努利方程 4、压强与高度的关系
第二章 流体的运动
在考虑流速不变的情况下，压 强与高度的关系为：
gh p 恒量
h↑ 则 p↓
2-2伯努利方程 体位对血 压的影响
1 2 v gh p 恒量 2
伯努利方程
2-2伯努利方程
2.讨论
第二章 流体的运动
1 2 1 2 v1 gh1 p1 v2 gh2 p2 2 2
⑴物理意义：在重力场中，理想流体作稳定流动 时，同一流管不同截面处，单位体积流体的动能、 势能，以及该处压强之间可以相互转化，而总和 守恒。-------理想流体流动时的功能关系。
1 2 v gh 恒量 2
当同一流管中各处压强相等时，随着高度的
逐渐降低，流速增大。水从高处自由下落就
属于这一情况。
2-2伯努利方程
第二章 流体的运动
6.虹吸（syphon）
虹吸现象 一大容器中插入一弯管， 其底端e点与液面a点的高 度差为H。当弯管最初充 满液体，则随后液体从e 端流出(这一现象称为虹吸 （syphon）) 求：⑴e点流速；⑵管中各 点的流速如何？⑶管中b点 、d点压强如何？
2-2伯努利方程 二、 Bernoulli equation的应用
1 .空吸作用suction
第二章 流体的运动
S1v1 S2 v2
1 2 1 2 v1 gh1 p1 v2 gh2 p2 2 2
2-2伯努利方程
第二章 流体的运动
1 1 2 2 v A p A v B pB 2 2 流速v A 0 1 2 v B p A pB 2 p A pB g (hA hB )
所以待测流速为:
v vB 2g hA hB
2-2伯努利方程 皮托管 （Pitot tube）
作业：2-2 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9
P0 3 gh1
h2 3h1
0
1
0
2
2-2伯努利方程 应用伯努利方程解题 的步骤与注意点：
选取两个适当的参考点
与大气接触处 p=p0
第二章 流体的运动
1 2 1 2 v1 gh1 p1 v2 gh2 p2 2 2
对相对很大的液面处
v≈0
必要时与连续性方程连用
⑵外力对这段流体所作的功
F1 p1S1；F2 p2 S 2； A1 F1v1t；A2 F2 v2 t A A1 A2 p1S1v1t p2 S 2 v2 t 因为S1v1t S 2 v2 t V 所以A p1V p2V
2-2伯努利方程
1 2 1 2 pb v b ghb pe ve ghe 2 2 hb H , he 0, vb ve , pe p0
即：
1 v 2 gh P 恒量 2
整理得：
Pb P0 gH ＜P0
v不变，h↑则p↓
2-2伯努利方程
第二章 流体的运动
A
h1 h2 E
2-2伯努利方程
第二章 流体的运动
对A、D两点，有 1 2 1 2 PA v A gh A PD v D gh D 2 2 因 S A S D ，由连续性方程有 v A 0
于是
vD 2ghA hD 2gh1
对同一流管中C、D两点，有 S C vC S D v D 1 2 1 2 v C PC ghC v D PD gh D 2 2 1 2 1 2 P gh P C 2 0 PC v D PD v C 2 2 P 3gh P gh
第二章 流体的运动
头 动脉kpa 平卧 12.67
部 静脉kpa 0.67
足 动脉kpa 12.67
部 静脉kpa 0.67
直立
ΔP
6.80
-5.87
-5.20
-5.87
24.40
11.73
12.40
11.73
2-2伯努利方程
第二章 流体的运动
5、流速与高度的关系 当流管中各处的压强相等时，伯努利方程为：
2-2伯努利方程
已知：Pa=Pe=P0
解：⑴ Sa va =Seve
第二章 流体的运动 Sa＞＞Sb=Sc=Sd=Se h H ⑶Pb，Pd
求：⑴ve ⑵vb，vc，vd
→
1 2 1 2 va gH pa ve pe 2 2
va≈0
（3）求b点压强
ve 2gH ⑵由Sv=恒量 得 vb=vc=vd = ve
第二章 流体的运动
X：P1、v1、h1、S1
Y： P2、v2、h2、S2
Δt后，XY→X’Y’
由于Δt很小，可以认为 S、p 、v不变
2-2伯努利方程
⑴流体的机械能的变化
第二章 流体的运动
1 1 2 2 E E K E P ( mv2 mv1 ) (m gh 2 m gh 1) 2 2 1 1 2 2 ( mv2 m gh ) ( m v 2 1 m gh 1) 2 2
第二章 流体的运动
⑶Bernoulli equation 据功能原理有： 1 1 2 2 1 11 2 2 1 p V p V ( m v m gh ) ( m v m gh )) ) 2 2 1 2 2 2 1 1 p V p V ( m v m gh ) ( m v m gh p1V p V ( m gh ) ( m v m gh 1 2 22 1 1 1 1 22 2 2 2 2 22 整理后得： 整理后得： 整理后得： 1 2 11 1mv 222 m gh p V 1 mv 22 m gh p V 1 1 1 p 1V 2 2 2p m v m gh m v m gh m v m gh m v m gh p 1 1 2 2 2V 1 1 1 2 2 2V 2 2 22 2 2 各项除以 V 得： 各项除以 V 各项除以 V得： 得：
2-2伯努利方程
B点比A点高2m。假设水的内摩擦 可以忽略不计，
求A、B点
的流速和B点 的压强。
2-2伯努利方程
第二章 流体的运动
[ 例 4] 如图所示，两个盛水的开口容器 B 、 F ，容 器B的底部接一水平管，管中C处的截面积是 D处的 1/2 ，且 D 处截面积远小于容器 B 的横截面积，在 C 处开口引管E浸入容器F内的水中。如果水沿水平管 作稳定流动，且D处与容器B中液面高度差为h1，试 求E管内水上升的高度h2。
第二章 流体的运动 2-2伯努利方程 第二节 伯努利方程（ Bernoulli equation）
1738年伯努利(D. Bernoulli) 提出了著名的伯努利方程.
丹· 伯努利 (Daniel Bernoull, 17001782)瑞士科学家.
2-2伯努利方程
一 伯努利方程 1. 推导 理想流体作稳定流动 选t时刻X、Y之间的流体为研 究对象
则v1 S 2 （ 2 p1 p2 ) 2 （S12 S 2 ） （ 2 p1 p2 ) 2 （S12 S 2 ）
因此流体的流量为： Q S1S 2
由于P1-P2=ρg h
Q S1 S 2
2 gh 2 S12 S 2
2-2伯努利方程 3.流速计
第二章 流体的运动
⑴水平管道中流动的液体，h1=h2 , v↑--P↓ ， ⑵流管中S↓--v↑ ⑶ S↓-- P↓ ，该处流体可以吸入 外界流体 ------空 吸作用。.汾丘里流量计
第二章 流体的运动 1 2 1 2 v1 p1 v2 p2 2 2 据连续性方程 S 1v1 S 2v 2
注意单位，特别是压强的单位
大气压：P0=1.013*105帕，76mmHg
2-2伯努利方程 小结： equation of continuity Bernoulli equation
第二章 流体的运动
S1v1 S2 v2
1 2 1 2 v1 gh1 p1 v2 gh2 p2 2 2
求d点压强: 1 2 1 2 pd v d ghd pe ve ghe 2 2 hd h H , he 0, vd ve , pe p0
整理得：pd p0 g (h H ) ＜pb＜p0
答：
2-2伯努利方程
此题小结：
第二章 流体的运动
应用：用一根跨过水坝的粗细
1 2 11 1v 222 gh p 2 1 1 2 v gh p vv gh p v gh 1 1 22 2 2 2p2 gh p v gh p 11 1 1 1 1 1 2 2 2 2 22 2 2 2
均匀的虹吸管,从水库里取水
2-2伯努利方程 [例2] 如图所示，大口 径直立圆筒下方 开有一小孔，小 孔距离筒内水平 高度h=1.2m,小孔 截面积S=0.2cm2, 计算小孔出水速 度和流量。
第二章 流体的运动
第二章 流体的运动 [例3]设有流量为0.12m3•s-1的水流过图2-4所示的管 子。A点的压强为2105Pa，A点的截面积为 100cm2，B点的截面积为60cm2，
第二章 流体的运动
ρ
1 2 v PA PM gh 2 2 gh v
ρ’
（被测流体ρ为气体）
2-2伯努利方程 4、压强与高度的关系
第二章 流体的运动
在考虑流速不变的情况下，压 强与高度的关系为：
gh p 恒量
h↑ 则 p↓
2-2伯努利方程 体位对血 压的影响
1 2 v gh p 恒量 2
伯努利方程
2-2伯努利方程
2.讨论
第二章 流体的运动
1 2 1 2 v1 gh1 p1 v2 gh2 p2 2 2
⑴物理意义：在重力场中，理想流体作稳定流动 时，同一流管不同截面处，单位体积流体的动能、 势能，以及该处压强之间可以相互转化，而总和 守恒。-------理想流体流动时的功能关系。
1 2 v gh 恒量 2
当同一流管中各处压强相等时，随着高度的
逐渐降低，流速增大。水从高处自由下落就
属于这一情况。
2-2伯努利方程
第二章 流体的运动
6.虹吸（syphon）
虹吸现象 一大容器中插入一弯管， 其底端e点与液面a点的高 度差为H。当弯管最初充 满液体，则随后液体从e 端流出(这一现象称为虹吸 （syphon）) 求：⑴e点流速；⑵管中各 点的流速如何？⑶管中b点 、d点压强如何？