对称问题经典例题

对称问题经典例题
一、要点梳理
1. 对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.
2.解决最值问题最常用的方法是目标函数法和几何法。

3.求对称曲线的常用思想方法：代入转移法
4.许多问题中都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等
二、基础练习
1、已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为 ( )
A.(x ＋1)2＋y 2＝1
B.x 2＋y 2＝1
C.x 2＋(y ＋1)2＝1
D.x 2＋(y －1)2＝12、方程|2x+y|+|2x-y|=4表示的曲线曲线 ( )
A.关于x 轴对称但不关于y 轴对称
B.关于y 轴对称但不关于x 轴对称
C.关于原点对称
D.以上都不对3、函数y ＝－e x 的图象 ( )
A.与y ＝e x 的图象关于y 轴对称
B.与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称
C.与
的图象关于y 轴对称 D.与
的图象关于坐标原点对称
x
y e -=x
y e -=4、曲线x 2＋4y 2＝4关于点M （3，5）对称的曲线方程为___________.
5、光线从点A （-3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点B （-2，6），求射入y 轴后的反射线的方程。

变式：已知直线l 1: x+my+5=0和直线l 2:x+ny+P=0，则l 1、l 2关于y 轴对称的充要条件是(
)
A 、
B 、p=-5
C 、m=-n 且p= -5
D 、
且p=-5n
p m =5n
m 1
1-=6. 直线交x 、y 轴于A 、B 两点，试在直线上求一点P ，使最小，则P 点
0632=-+y x x y -=B P A P 11+的坐标是_______
思考、已知函数的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线与曲线C 交于不同于P 3
21()3
f x x x x =
++l 的两点，且恒有为定值，则的值为（
）
1122(,),(,)M x y N x y 12y y +0y 0y A. B. C. D. 1
3-2
3
-
4
3
-
2
-7、已知点M （3，5），在直线：和y 轴上各找一点P 和Q ，使的周长最小。

022=+-y x MPQ ∆8、在直线上任取一点P ，过点P 且以椭圆的焦点为焦点作椭圆。

问：点P 在何处
:90l x y -+=22
1123
x y +=时，所作椭圆的长轴最短？并求具有最短长轴的椭圆的方程。

9、已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1<x 4<2，求tan θ的取值范围.
10、已知抛物线y =ax 2－1上存在关于直线x +y =0成轴对称的两点，试求实数a 的取值范围.
变式：已知椭圆方程为，试确定实数的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线
13
422=+y x m 对称。

m x y +=411、已知函数()ln
(01)1x
f x x x
=<<-（1）在函数的图象上是否存在一点（m ,n ），使得的图象关于（m,n ）对称？
)(x f y =)(x f y =（2）令，是否存在这样的实数b ，使得任意的∈时，对任意的x ∈，不等式1()(
)2x g x f x +=+a ]3
1
,41[),0(+∞恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由.
b ax x x g +->2)(12、已知抛物线2
:4C y x =，过M (m ,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点.
（Ⅰ）若m =3，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；
（Ⅱ）若，且存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求m 的取值范围.
0>m （Ⅲ）若，记A 关于x 轴的对称点为，求证：直线过定点.
0<m 1A B A 113、设两点在抛物线上，l 是AB 的垂直平分线．
),(),,(2211y x B y x A 2
2x y =（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论；
21x x +(Ⅱ)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围．
14、已知函数f （x ）=
的图像在点P （0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2.3
213
x x ax b -++(Ⅰ)求实数a,b 的值；
(Ⅱ)设g （x ）=f(x)+
是[]上的增函数。

1
m
x -2,+∞ （i ）求实数m 的最大值；
(ii)当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由。

参考解答：
1、C ；
2、C ；
3、D ；
4、（x －6）2+4（y －10）2=4；
5、解：A （-3，4）关于x 轴的对称点（-3，-4）在经x 轴反射的光线上；A 1（-3，-4）关于y 轴的对称
1A 点（3，-4）在经过射入y 轴的反射的光线上，∴=
2A B A k 223
24
6-=--+∴所求直线方程为 ，即)2(26+-=-x y 0
22=-+y x 变式、C ；6、(0,0)；
思考、B ；解析： 323231111()(3311)(1)3333
f x x x x x x x x =
++=+++-=+- 从而的图像关于定点对称，
311()(1)33f x x ∴+=+()f x 1
(1,)3
--所以点为，P 1(1,)3--12012
2(33
y y y +==-=-
7、解：可求得点M 关于的对称点为（5，1），点M 关于y 轴的对称点为（-3，5），则
l 1M 2M 的周长就是，连，
MPQ ∆12PM QP Q M ++12M M 则直线与y 轴及直线的交点P 、Q 即为所求。

12M M 022=+-y x 直线的方程为，直线与y 轴的交点坐标为，
1M 2M 072=-+y x 1M 2M Q )2
7,0(由方程组 得交点，∴点、即为所求。

⎩⎨
⎧=-+=+-0
72022y x y x )49,25(P )49,25(P Q 27
,0(8、略
9、解：设P 1B =x ，∠P 1P 0B =θ，则CP 1=1－x ，
∠P 1P 2C 、∠P 3P 2D 、∠AP 4P 3均为θ，∴tan θ==x .
B
P B
P 01又tan θ===x ，∴CP 2==－1.
21CP CP 2
1CP x -x x -1x 1
而tan θ=
===x ，∴DP 3=x （3－）=3x －1.D
P D
P 23)11(23--x DP x
DP 133-
x 1
又tan θ=
===x ，∴AP 4==－3.
43AP AP 4)13(1AP x --4
32AP x -x x 32-x 2
依题设1<AP 4<2，即1<
－3<2，∴4<<5，>>x 2x 2412x 5
1.∴
>tan θ>.2
15
2
10、解法一：设抛物线上关于直线l 对称的两相异点为P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点为
M （x 0，y 0），设直线PQ 的方程为y =x +b ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，⎩⎨⎧-=+=1
2
ax y b x y ，
即得方程
ax 2－x －（1+b ）=0. ①
判别式Δ=1+4a （1+b ）＞0.
②
由①得x 0=
=，y 0=x 0+b =+b .221x x +a 21a
21
∵M ∈l ，∴0=x 0+y 0=
++b ，即b =－，代入②解得a ＞.a 21a 21a 14
3
解法二：设同解法一，由题意得
21122
212
12
1212
1110.22
y ax y ax y y x x y y x x ⎧=-⎪=-⎪⎪-=⎨-⎪⎪+++=⎪⎩，①，②
，③④
将①②代入③④，并注意到a ≠0，x 1－x 2≠0，得
由二元均值不等式易得2（x 12+x 22）＞（x 1+x 2）2（x 1≠x 2）.1
222122112
.
x x a x x a a ⎧
+=⎪⎨⎪+=-+⎩
，将⑤⑥代入上式得2（－
+
）＞（）2，解得a ＞.2
1
a a 2a 14
3
解法三：同解法二，由①－②，得y 1－y 2=a （x 1+x 2）（x 1－x 2）.
∵x 1－x 2≠0，∴a （x 1+x 2）==1.
2
12
1x x y y --∴x 0=
=.∵M （x 0，y 0）∈l ，221x x +a
21
∴y 0+x 0=0，即y 0=－x 0=－
，从而PQ 的中点M 的坐标为（，－）.a 21a 21a
21
∵M 在抛物线内部，∴a （
）2－（－）－1＜0. 解得a ＞.（舍去a ＜0，为什么?）a 21a 214
3变式：解法一：该问题等价于存在直线，使得这直线与椭圆有两个不同的交点、，线段n x y +-
=4
1
P Q 的中点落在直线上。

PQ m x y +=4由消去y 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-==+n x y y x 411342
20481681322=-+-n nx x ∵直线与椭圆有两个不同交点。

∴ ①2
13
2130)4816(134642
2<
<-
⇔>-⨯-=∆n n n
由韦达定理得：，。

13821n x x =
+13
242)(412121n
n x x y y =++-=+故中点为 又在直线上PQ 13
12,134(
n
n M M m x y +=4∴，∴ ② m n n +⋅=13441312n m 13
4-= 由①②知 13
13
213132<
<-m 解法二：设、是椭圆上关于直线对称的相异的两点，
),(21y x A ),(22y x B m x y +=4中点为。

则,,AB ),(00y x M 2211143x y +=22
22143
x y +=由点差法得，代入解得，点坐标为。

003x y =004y x m =+M )3,(m m --而是中点，∴点在椭圆内部。

M AB M ∴。

解得。

139422<+m m 13
13
213132<
<-m 11、【解析】（1）若存在一点（m ，n ），使得y =f (x )的图象关于点（m ，n ）对称，则f (x +m )+f (m －x )=2n
即22
22
ln ln ln
11(1)x m m x m x x m m x m x +--+=---+--当时f (x +m )+f (m －x )=2n 在y=f(x)的图像上，1,02m n =
=且1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
所以在y=f(x)的图像上存在一点，使得y=f(x)的图像关于对称。

1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
（2）g =l n n (＞－1), 构造函数F =n ()x l x
x x x
=++-
++21121()1+x x ()x l (),
12ax x x +-+则(),1
21121122112112+⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-+=
+--++=-++='x a x ax x x ax ax ax x x F 因为∈所以a x ,0>]3
1,41[,
02,01>>+ax x 若，则x ∈上是减函数；0)(<'x F )121,0()(),121,
0(-∴-a x F a 在若，则x ∈上是增函数；0)(>'x F ),121
()(),,121(+∞-∴+∞-a
x F a 在所以当取最小值，即=ln )(,121x F a x 时-=)121()(min -=a F x F 2)121(12121-++-a a a a =ln
=ln 14112121-+++-a a a a a a
a +-4121
记ln
,又=)(a h a a a +-4121,)21
(411141141)21(2)(2222-=+-=++-⨯='a a a
a a a a h 因为∈[3，4]所以,即在上为增函数，所以a 10)(>'a h )(a h ]3
1,41[432ln 41()(min -
==h a h 所以若使恒成立，只需.
b x F >)(l b <4
3
2-n 所以存在这样的实数∈，对任意的x ∈时，
a b 使得对,432ln -<]3
1
,41[),0(+∞不等式ln （1+x ）＞x-ax 2+b 恒成立.
12、（Ⅰ）解：由题意， 直线l 的方程为，由 得
3y x =-23
4y x y x
=-⎧⎨=⎩，故21241202,6y y y y --=⇒=-=()()
1,2,9,6A B -以AB 为直径的圆的圆心为AB 中点，半径为
()5,22
AB
=.
()()2
2
:5232x y ∴-+-=圆的方程为（Ⅱ）解：设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , (0)MB AM λλ=>
.
则1122(,),(,)AM m x y MB x m y =--=-
,
所以 2121
()
x m m x y y λλ-=-⎧⎨
=-⎩
○1
因为点A , B 在抛物线C 上,
所以2211224,4y x y x ==,
○2
由，消去212,,x y y 得1x m λ=. ○
1○2
若此直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，则2||||||OM MB AM =⋅，
即2||||||OM AM AM λ=⋅，所以22211[()]m x m y λ=-+，
因为2114y x =，1x m λ=，所以22111
[()4]m
m x m x x =
-+，整理得2211(34)0x m x m --+=，
○3 因为存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，所以关于x 1的方程有正根，○
3
因为方程的两根之积为m 2>0, 所以只可能有两个正根，○
3
所以2223400(34)40m m m m ->⎧⎪
>⎨⎪∆=--≥⎩
，解得4m ≥.
故当4m ≥时，存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列.
（Ⅲ）定点位N(-m ,0)。

13、解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等．
B A FB FA l F ,||||⇔=⇔∈∵抛物线的准线是x 轴的平行线，不同时为0，
2121,,0,0y y y y 依题意≥≥∴上述条件等价于;
0))((21212
22121=-+⇔=⇔=x x x x x x y y ∵， ∴上述条件等价于 21x x ≠.
021=+x x 即当且仅当时，l 经过抛物线的焦点F ．
021=+x x 另解：（Ⅰ）∵抛物线，即，∴焦点为 2
2x y =41,22
=∴=
p y x 1
(0,8
F （1）直线的斜率不存在时，显然有
l 021=+x x （2）直线的斜率存在时，设为k ，截距为b l 即直线：y =kx +b 由已知得：
l 12121212221k b k y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩
221
21222
1212221
2222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩ 22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩
2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥即的斜率存在时，不可能经过焦点
l 1(0,8
F 所以当且仅当
=0时，直线经过抛物线的焦点F
12
x x
+l （II ）设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为；
b x y +=2过点A 、B 的直线方程可写为，m x y +-
=2
1
所以满足方程得；21,x x ,02122
=-+
m x x 4
1
21-=+x x A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 即,0841>+=
∆m .32
1
->m 设AB 的中点N 的坐标为，
),(00y x
则.
16
121,81(2100210m m x y x x x +=+-=-=+=由.32
9
321165165,41161,=->+=+-=+∈m b b m l N 于是得
即得l 在y 轴上截距的取值范围为（）．+∞,32
9法二:y 1=2x 12, y 2=2x 22, 相减得
121200121
2()4,4,2
y y x x x x x x -=+=-=-即, 中点在抛物线内必0011
,84x y b =-=-+2009
232
y x b >>得14、解：（Ⅰ）由及题设得即。

2
'()2f x x x a =-+'(0)3(0)2f f =⎧⎨
=-⎩3
2
a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）（ⅰ）由 得。

321()3231
m g x x x x x =
-+-+-2
2
'()23(1)m g x x x x =-+--是上的增函数， 在上恒成立，
()g x [2,)+∞'()g x ∴0≥[2,)+∞即在上恒成立。

2
2
230(1)m
x x x -+-
≥-[2,)+∞设。

，即不等式在上恒成立2
(1)x t -=[2,),[1,)x t ∈+∞∴∈+∞ 20m
t t
+-
≥[1,)+∞当时，不等式在上恒成立。

0m ≤20m
t t +-
≥[1,)+∞当时，设，0m >2m
y t t
=+-[1,)
t ∈+∞因为，所以函数在上单调递增，因此。

2'10m y t =+>2m
y t t
=+-[1,)+∞min 3y m =-，即。

又，故。

min 0,30y m ≥∴-≥ 3m ≤0m >03m <≤综上，的最大值为3。

m （ⅱ）由（ⅰ）得，其图像关于点成中心对称。

3213()3231g x x x x x =
-+-+-1
(1,3Q 证明如下： 32
13()3231
g x x x x x =-+-+
-3213(2)(2)(2)3(2)2321g x x x x x ∴-=---+--+--32183
3331x x x x
=-+-++
-因此，。

2
()(2)3
g x g x +-=上式表明，若点为函数在图像上的任意一点，则点也一定在函数的图像上。

(,)A x y ()g x 2
(2,)3
B x y --()g x 而线段中点恒为点，由此即知函数的图像关于点成中心对称。

AB 1
(1,3
Q ()g x Q。