2015-2016高一数学人教A版必修四课件：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

第二十页，编辑于星期五：八点 十四分。
{x | x (2k 1) , k Z}
函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
-1+1=0.
第十五页，编辑于星期五：八点 十四分。
例3.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值 时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
[
5
3
,
3
]
第十八页，编辑于星期五：八点 十四分。
练习
1、
函数
y sin(2x ) 的一条对称轴的是（
3
C）
A.x 4
3
B.x
2
C.x
12
D.x 0
2、求 y sin(2x )函数的对称轴和对称中心。
3
x k k z
12 2
( k ,0) k z
62
第十九页，编辑于星期五：八点 十四分。
例5、求函数
y
sin(
1 2
x
3
),
x
[2的,2单 调] 区间
解:令
z
1 2
x
3
.函数y
sin
z的单调递增区间是
[
2
2k
,
2
2k
]
由
2
2k
1 2
x
3
2
2k得：
5 3
4k
x
3
4k , k
Z
取k
0,得
5 3
x
而
3,
[
5 3
，3 ]
[2
,2
]
因此,函数
y
sin(
1 2
x
3
),
x
[2
,2
]的单调增区间是
10
18
(2) cos( 23 ) 与 cos( 17 )
5
4
解： cos( 23 )=cos 23 =cos 3
5
5
5
cos( 17 )=cos 17
4
4
=cos
4
0 3
45
cos 3 <cos
5
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
第十七页，编辑于星期五：八点 十四分。
余弦函数的最值
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x 2k (k z)时 ymax 1
x 2k (k z)时 ymin 1
第十四页，编辑于星期五：八点 十四分。
例5.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值
时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
小结
函 数 y= sinx (k∈z)
y= cosx (k∈z)
性质
定义域
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
R
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
在上x都∈是[2增kπ函- 数π2, 2kπ+
π
]2
在x∈[2kπ+ π2,2kπ+
f ( x) cos x, x R 为偶函数
例3.
判断函数
f (x) 1 sin(x ) 的奇偶性。
2
2
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四.对称性
正弦函数的对称性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-o 2-1来自232
2
5 2
x
3
7 2
4
余弦函数的对称性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
| sin x |≤1 | cos x |≤1
第二页，编辑于星期五：八点 十四分。
练习1：下列等式能否成立？
× (1)2cos x 3 cos x 3 1 2
√ (2)sin2 x 0.5 sin x 0.5 [1,1]
第三页，编辑于星期五：八点 十四分。
练习2：求下列函数的定义域、值域
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的x的集合，就是使 函数 y cos x, x 取R得最大值的x的集合
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R取得最小值的x的集合
3
函数 y Asin( x 的) 周期是
2
2
函数 y A cos( x )的周期是
做书上36页练习的1、2。
第七页，编辑于星期五：八点 十四分。
三.奇偶性
y
1
3 5
2
2 3
2
2
O
2
3 2
2
1
5 3
2
x
正弦函数 y sin x
y
1
3 5
2
2 3
2
O 3 2
2
2
2
的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k (k Z且k 0)，最小正
周期是 2 2、“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）
3余、 周弦期函函数数的周是期周T往期往是函多值数的（，如2y=ksin(xk 2,4Z且,…,k-2,-40,)…，都最是周小期正）
周期是 2 4、周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
第六页，编辑于星期五：八点 十四分。
例2.求下列函数的周期。 (1)y 3cos x, x R; (2)y sin 2x, x R;
(3)y 2sin(1 x ), x R;
26
(4)y 2 cos(2x ), x R.
减区间为 [0, ] , 其值从 1减至-1
第十二页，编辑于星期五：八点 十四分。
正弦函数的最值
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x 2k
2
(k z)时
ymax 1
x 2k (k z)时
2
ymin 1
第十三页，编辑于星期五：八点 十四分。
（1）y cos x
解(1)：定义域：R. 值域：[-1,1].
(2) y 3sin x
解（2）：∵-3sinx ≥0
∴sinx ≤0
∴定义域为 {x|π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z}
又∵-1≤sinx ≤0
∴0≤-3sinx ≤3
∴值域为 [0, 3]
第四页，编辑于星期五：八点 十四分。
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
第十页，编辑于星期五：八点 十四分。
五.单调性
正弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
…
0
…
3 2
-1
y=sinx (x [ , 3)]
22
增区间为 [ , ] , 其值从-1增至1
22
解：（2)令z=2x,因为使函数 y 3sin z, z R取最大值的z的集合是
{z | z 2k , k Z}
由 2x z 2k 2 得 x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z}
4
同理，使函数 y 3sin 2x, x R取最小值的x的集合是 {x | x k , k Z}
二.正弦、余弦函数的周期性
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
第五页，编辑于星期五：八点 十四分。
二.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x
取定义域内的每一个值时，都有
f (x+T)=f (x) 那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质
第一页，编辑于星期五：八点 十四分。
一.定义域和值域
y
1
3 5
2
2 3
2
2
O
2
3 2
2
1
5 3
2
x
正弦函数 y sin x 定义域：R 值域：[-1，1]
y
1
3 5
2
2 3
2
O 3 2
2
2
2
1
5 3
2
x
余弦函数 y cos x 定义域：R 值域：[-1，1]
上都是减函数.
3]π2
对称中心 对称轴
(kπ,0)
π
x = kπ+ 2
R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
在x∈[2kπ-π， 2kπ ]
上都是增函数 ,
在x∈[2kπ ， 2kπ+π ]
上都是减函数 。
(kπ+
π
2
,0)
x = kπ
4
函数 y 3sin 2x, x R取最大值是3，最小值是-3。
第十六页，编辑于星期五：八点 十四分。
例4 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)
sin(
18
)
与sin(
)
10
解：
2 10 18 2
又 y=sinx 在 [ , 上] 是增函数
22
sin( ) < sin( )
1
5 3
2
x
余弦函数 y cos x
第八页，编辑于星期五：八点 十四分。
三.奇偶性
(1) f ( x) sin x, x R 任意x R f ( x) sin( x) sin x f ( x)
f ( x) sin x, x R 为奇函数
(2) f ( x) cos x, x R 任意x R f ( x) cos( x) cos x f ( x)
减区间为 [ , 3 ], 其值从 1减至-1
22
第十一页，编辑于星期五：八点 十四分。
余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
x
3
2
2
5 2
3
7 2
4
0… 2
…
1
0
-1
y=cosx (x [ , ] )
增区间为 [ ,0] , 其值从-1增至1