2023-2024学年上海市徐汇区高一上册期末数学学情检测模拟试题合集2套(含答案)

2023-2024学年上海市徐汇区高一上册期末数学学情检测模拟试题
一、填空题
1．设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,6A =，{}1,3,4B =，则A B = ______．【正确答案】{}2,6##{}
6,2【分析】利用补集及交集的定义运算即得.
【详解】因为{}{
}1,2,3,4,5,6,1,3,4U B ==，所以{}2,5,6B =，又因为{}2,3,6A =，所以{}2,6A B = .故答案为.{}
2,62．关于x 的不等式230x ax +-<，解集为(3,1)-，则不等式230ax x +-<的解集为___________.【正确答案】3,12⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
【分析】根据不等式的解集为(3,1)-，可得3,1-是方程230x ax +-=的两根，即可求出a 的值，代入所求不等式，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】由题意得，3,1-是方程230x ax +-=的两根，可得31a -+=-，解得2a =，所以不等式为2230x x +-<，整理为(23)(1)0x x +-<，解得3
12
x -<<，故答案为.3,12⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
本题考查含参的一元二次不等式的解法，考查分析理解，求值化简的能力，属基础题.
3．幂函数()()
2
266
33m
m f x m m x
-+=-+在()0,∞+上单调递减，则m 的值为______．
【正确答案】2
【分析】利用幂函数定义求出m 值，再借助幂函数单调性即可判断作答.
【详解】解：因为函数()()
2
266
33m
m f x m m x
-+=-+是幂函数，
则有2331m m -+=，解得1m =或2m =，
当1m =时，函数()f x x =在()0,+∞上单调递增，不符合题意，当2m =时，函数2()f x x -=在()0,+∞上单调递减，符合题意.所以m 的值为2
m =
故2
4．已知函数(21)y f x =+的定义域为[]1,2-，则函数(1)=-y f x 的定义域为_________.【正确答案】[]
0,6【分析】根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.
【详解】函数(21)y f x =+的定义域为[]12-，
，即12x -≤≤，所以1215x -≤+≤，所以115x -≤-≤，即06x ≤≤，所以函数的定义域为[]0,6.故答案为.[]
0,65．设实数x 满足2log 4log 1x x -=，则x =________．【正确答案】
1
4
或2【分析】结合对数的换底公式整理得222(log )log 20x x +-=，求出2log x ，结合对数和指数式的互化即可求出x .
【详解】由于22
log 42log 2log x x x ==
，所以原式转化为
222log 1log x x
-=，即222(log )log 20x x +-=，解得2log 2x =-或2log 1x =，所以1
4
x =或2x =．故答案为:
1
4
或2.6．函数()2
0.4log 34y x x =-++的值域是________.
【正确答案】[)
2,-+∞先求出函数的定义域为()1,4-，设()2
2
3253424f x x x x ⎛
⎫=-++=--+ ⎪⎝
⎭，()1,4x ∈-，根据二次函数的性
质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出()20.4log 34y x x =-++的单调性，从而可求出值域.
【详解】解：由题可知，函数()2
0.4log 34y x x =-++，
则2340x x -++>，解得：14x -<<，所以函数的定义域为()1,4-，
设()2
2
3253424f x x x x ⎛
⎫=-++=--+ ⎪⎝
⎭，()1,4x ∈-，
则31,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭时，()f x 为增函数，3,42x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()f x 为减函数，
可知当32
x =时，()f x 有最大值为25
4，
而()()140f f -==，所以()25
04
f x <≤
，而对数函数0.4log y x =在定义域内为减函数，由复合函数的单调性可知，
函数()2
0.4log 34y x x =-++在区间31,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭上为减函数，在3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，
0.425
log 24
y ∴≥=-，
∴函数()2
0.4log 34y x x =-++的值域为[)2,-+∞.
故答案为.[)
2,-+∞关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.
7．已知p ：35x -<，q ：123a x a -<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．
【正确答案】112a a ⎧⎫
≥⎨⎬
⎩
⎭【分析】先求解绝对值不等式，由p 是q 的充分不必要条件，可得P Q P Q ⊆≠，，列出不等式组，求解即可
【详解】3553528x x x -<∴-<-<∴-<< 记{|28},{|123}P x x Q x a x a =-<<=-<<-由p 是q 的充分不必要条件，可得P Q ⊆，且P Q
≠故12238
a a -≤-⎧⎨-≥⎩，且等号不同时成立，解得11
2a ≥
故112a a ⎧⎫
≥⎨⎬
⎩
⎭
8．设函数221,1
()(4),1
x
x ax x f x a x ⎧-++≤=⎨->⎩，若()f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是__________．【正确答案】4
[1,]
3
【分析】由函数()f x 在每一段上都递增，列出不等式，且有(1)4f a ≤-，再联立求解即得.
【详解】因函数221,1
()(4),1
x
x ax x f x a x ⎧-++≤=⎨->⎩在R 上单调递增，则有221=-++y x ax 在(,1]-∞上递增，于是得1a ≥，
(4)x y a =-在(1,)+∞上也递增，于是得41a ->，即3a <，并且有(1)4f a ≤-，即24a a ≤-，解得43
a ≤
，综上得：4
13
a ≤≤
，所以a 的取值范围是4
[1,]3.
故4[1,3
9．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b
+++的最小值为_________．【正确答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为8
2a b a b +++，利用基本不等式即可求解.【详解】0,0,0a b a b >>∴+> ，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b
∴++=++
++8
42a b a b +=
+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，
结合1ab =,解得22a b =-=+，或22a b ==.故4
本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.10．给出下列四个结论
①函数2
11(2
x y -+=的最大值为12；
②已知函数()log 2(0a y ax a =->且1)a ≠在()0,1上是减函数，则a 的取值范围是()1,2；③在同一坐标系中，函数2log y x =与12
log y x =的图象关于y 轴对称；
④在同一坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称．
其中正确结论的序号是______．
【正确答案】④
【分析】①根据指数函数的单调性可得二次函数的最值，求得21
1()2
x y -+=的最小值为12；②根据对数
函数的图象与性质，求得a 的取值范围是(]1,2；③同一坐标系中，函数2log y x =与12
log y x =的图象
关于x 轴对称；④同一坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称．【详解】对于①，函数21t x =-+的最大值为1，21
1()2
x y -+∴=的最小值为12，∴①错误；
对于②，函数()log 2(0a y ax a =->且1)a ≠在()0,1上是减函数，{
1
20a a >∴-≥，
解得a 的取值范围是(]1,2，②错误；
对于③，在同一坐标系中，函数2log y x =与12
log y x =的图象关于x 轴对称，③错误；
对于④，在同一坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称，④正确．综上，正确结论的序号是④．故答案为④．
本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．
11．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，()2x
f x =，则()22lo
g 5f +的
值为______．
【正确答案】4
5
-##-0.8
【分析】由题设条件可得()f x 的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有()224
2log 5(log 5
f f +=-，
根据已知解析式求值即可.
【详解】由题设，(2)()()f x f x f x -=-=-，故(2)()f x f x +=，即()f x 的周期为2，
所以()22225542log 5(22log (log (log )445
f f f f +=⨯+==-，且24
1log 05-<<，
所以()2
4
log 5
242log 525
f +=-=-.故答案为.45
-
12．设R a ∈，对任意实数x ，记()2
min{2,35}f x x x ax a =--+-，其中{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨
>⎩
．若()f x
至少有3个零点，则实数a 的取值范围为________．【正确答案】[)
10,+∞【分析】设()2
35g x x ax a =-+-，()2h x x =-，分析可知函数()g x 至少有一个零点，可得出0∆≥，
求出a 的取值范围，然后对实数a 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a 的不等式，综合可求得实数a 的取值范围.
【详解】设()2
35g x x ax a =-+-，()2h x x =-，由20x -=可得2x =±.
要使得函数()f x 至少有3个零点，则函数()g x 至少有一个零点，则212200a a ∆=-+≥，解得2a ≤或10a ≥.
①当2a =时，()2
21g x x x =-+，作出函数()g x 、()h x
的图象如下图所示：
此时函数()f x 只有两个零点，不合乎题意；
②当2a <时，设函数()g x 的两个零点分别为1x 、()212x x x <，要使得函数()f x 至少有3个零点，则22x ≤-，所以，()2
224550a
g a ⎧<-⎪⎨⎪-=+-≥⎩
，解得a ∈∅；
③当10a =时，()2
1025g x x x =-+，作出函数()g x 、()h x 的图象如下图所示：
由图可知，函数()f x 的零点个数为3，合乎题意；
④当10a >时，设函数()g x 的两个零点分别为3x 、()434x x x <，要使得函数()f x 至少有3个零点，则32x ≥，可得()222450a g a ⎧>⎪⎨⎪=+-≥⎩
，解得4a >，此时10a >.
综上所述，实数a 的取值范围是[)10,+∞.故答案为.[)
10,+∞方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、单选题
13．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（）
A ．1a
<1b
B ．a 2>b 2
C ．
21a c +>
21
b
c +D ．a |c |>b |c |
【正确答案】C
【分析】举特例即可判断选项A ，B ，D ，利用不等式的性质判断C 即可作答.【详解】当a =1，b =-2时，满足a >b ，但11
a b
>，a 2<b 2，排除A ，B ；因
211c +>0，a >b ，由不等式性质得2211
a b
c c >++，C 正确；
当c =0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，
故选：C
14．下列命题中，真命题是（）
A ．2R,2x x x ∀∈>
B ．若,R x y ∈且2x y +>，则x ，y 至少有一个大于1
C ．2R,20x x ∃∈+≤
D ．0a b +=的充要条件是
1a
b
=-【正确答案】B
【分析】举反例可判断AD ，由2R,0x x ∀∈≥，可判断C ，由逆否命题与原命题同真假可证明B.【详解】选项A ，当2x =时，22x x =，错误；
选项B ，若1,1x y ≤≤，则2x y +≤，故若,R x y ∈且2x y +>，则x ，y 至少有一个大于1，正确；选项C ，由于2R,0x x ∀∈≥，故222R,x x ∈+≥∀，错误；选项D ，当0a b ==时，a
b
无意义，错误.故选：B
15．若函数()f x 的零点与()422x
g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是
A ．3()2
f x x =-
B ．2
()(2)f x x =-C ．()1
x
f x e =-D ．3
()ln()
4
f x x =+【正确答案】D
【详解】函数()422x g x x =+-的零点即函数()4x h x =与函数()22r x x =-图象交点横坐标a ，如图，据根的存在性定理结合图形不难判断出1
02a <<，而选项A 、B 、C 、D 的零点分别为31,2,024
，，可立即排除A 、B 、C ，故选D ．
16．已知函数()()ln2,01ln 2ln 2,12x
x f x x x ⎧<<⎪=⎨-+≤<⎪⎩，若存在02a b c <<<<使得()()()f a f b f c ==，则
111
ab bc ca
++的取值范围是（）
A ．20,93⎛⎫ ⎪
⎝⎭B ．20,3⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
C
．∞⎫
+⎪⎪
⎣⎭
D
．92⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
【正确答案】A
【分析】()()ln 2ln 2ln 22x x -+=-，易得ln2y x =与()ln 2ln2y x =-+的图象关于直线1x =对称，由,,a b c 大小关系易判断1
2,4b c ab +==
，再将111ab bc ca ++全部代换为含a 的式子得()16281
a a a +-，令81t a =-，利用换元法和对勾函数性质进而得解.
【详解】∵()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，∴ln 2y x =与()ln 2ln2y x =-+的图象关于直线1x =对称，作出()f x
的大致图象如图所示，
易知2b c +=，由ln2ln2a b =，即ln 2ln 2a b -=，ln 40ab =，得1
4
ab =，∵
112
b <<，∴11124a <
<，得11
42a <<，∴()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a
+++++++====
--
.设81t a =-，则()1,3t ∈，111117184t ab bc ca t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭
.17
t t
+
≥
=t 故当()1,3t ∈时，令()1718h t t t +=+，()h t 单减，()()80136,33
h h ==，故1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫
++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.故选：A 三、解答题
17．已知集合{1A x x =≤-或}5x ≥，集合{}22B x a x a =≤≤+．
（1）若1a =-，求A B ⋂和()R A B ð；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围．
【正确答案】（1）{|21}A B x x ⋂=-≤≤-，(){}R |25A B x x ⋃=-≤<ð；
（2）(]()32-∞-⋃+∞，
，.【分析】（1）当1a =-时，{|21}B x x
=-＃，直接进行集合的并集和补集并集计算即可求解；
（2）由题意可得B A ⊆再讨论B =∅和B ≠∅时列不等式组，解不等式即可求解.【详解】（1）当1a =-时，集合{|1A x x =≤-或5}x ³，{|21}B x x =-＃，
可得{|21}A B x x ⋂=-≤≤-，因为{}R |15A x x =-<<ð，所以(){}R |25A B x x ⋃=-≤<ð；（2）因为A B B = ，所以B A ⊆，当B =∅时，22a a >+，可得2a >，
当B ≠∅时2221a a a ≤+⎧⎨+≤-⎩或2225a a a ≤+⎧⎨≥⎩
，可得3a ≤-，
综上所述：2a >或3a ≤-．
所以实数a 的取值范围为(]()32-∞-⋃+∞，
，.18．已知关于x 的不等式250,R mx x m m ++<∈．(1)若2m =，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集非空，则求m 的取值范围．【正确答案】(1)12,2⎛
⎫-- ⎪
⎝
⎭(2)5,2⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭【分析】(1)代入2m =，根据二次不等式的解法即可求解；
(2)分0m =，0m <和0m >三种情况讨论，0m ≠时，结合二次函数的性质即可求解．【详解】（1）当2m =，不等式22520x x ++<，解22520x x ++=得，1
2x =-或2-，
故22520x x ++<的解集是12,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭．
（2）若0m =，则50x <解得0x <，此时符合题意；
若0m <，二次函数25y mx x m =++开口向下，必然存在函数值小于0，此时符合题意；若0m >，二次函数25y mx x m =++开口向上，
若要不等式的解集非空，则需2
0Δ2540
m m >⎧⎨=->⎩解得5
02m <<；综上，m 的取值范围是5,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭．
19．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x （百辆．．
），需另投入成本()C x （万元），且()210100,040,
10000
5014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪
=⎨+-≥⎪
⎩
．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
(1)求出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆．．）的函数关系式；(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【正确答案】(1)2104002000,040
()10000
2500,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨--⎪⎩
(2)当100x =时，即2022年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元．【分析】（1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分040x <<和40x 两种情况得到利润
()L x （万元）关于年产量x （百辆．．
）的函数关系式；（2）当040x <<时利用二次函数的性质求出()L x 的最大值，当40x 时，利用基本不等式求()L x 的最大值，最后再比较即可．
【详解】（1）解：当040x <<时，22()500101002000104002000L x x x x x x =---=-+-，当40x 时，1000010000()500501450020002500L x x x x x x
=--
+-=--，2104002000,040
()10000
2500,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
∴=⎨--⎪
⎩
；（2）当040x <<时，2()104002000L x x x =-+-，
这个二次函数的对称轴为20x =，所有当20x =时，()2000L x =为最大值，
当40x 时，1000010000
()25002500(L x x x x x
=--
=-+，
10000200x x +
，当且仅当10000x x
=即100x =时，等号成立，()25002002300L x ∴-=，
即当100x =时，()L x 取到最大值2300，
23002000> ，
∴当100x =时，即2022年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元．
20．已知函数()22x x
a
f x b
+=+（1）当4a =，2b =-时，解关于x 的方程()2x f x =；
（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，求函数()f x 解析式；
（3）在（2）的前提下，函数()g x 满足()[()2]22x x f x g x -+⋅=-，若对任意x R ∈且0x ≠，不等式
()()210g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值．
【正确答案】（1）2；（2）21
()21
x x f x -=+；（3）【分析】（1）将4a =，2b =-代入，可转化为关于2x 的二次方程，解方程进而可得x 的值；（2）利用奇函数的性质直接求解；
（3）化简可得()22x x g x -=+，代入不等式分离参数，转化为函数求最值，利用换元法及基本不等式直接求最值.
【详解】（1）当4a =，2b =-时，24()222
x x x f x -+==．
即2(2)3240x x -⋅-=，
解得：24x =或21x =-（舍去），∴2x =；（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，即2222x x x x
a a
b b
--++=-++即()(22)220x x a b ab -++++=恒成立，解得：1a =，1b =-，或1a =-，1b =经检验1a =-，1b =满足函数的定义域为R ，21
()21
x x
f x -∴=+．
（3）当0x ≠时，函数()g x 满足()[()2]22x x f x g x -⋅+=-，∴()[()2]22,(0)x x f x g x x -⋅+=-≠，则()22x x g x -=+不等式()()210g x m g x ≥⋅-恒成立，即()
()2
2222210x x
x x m --+-≥⋅+-恒成立
即8
(22)22x x
x x
m --≤++
+恒成立，
设22x x t -=+，则2t >，即8
m t t ≤+，2t >恒成立，
由平均值不等式可得：当t =时，8
t t
+取最小值
故m ≤，即实数m 的最大值为．
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
21．已知函数()ln 1ax f x b x =-+⎛⎫
⎪⎝⎭
（其中a ，b ∈R 且0a ≠）的图象关于原点对称.（1）求a ，b 的值；（2）当0a >时，
①判断()x
y f e =在区间()0,+¥
上的单调性（只写出结论即可）
；②关于x 的方程()
ln 0x
f e x k -+=在区间(]0,ln 4上有两个不同的解，求实数k 的取值范围.
【正确答案】（1）21a b =⎧⎨=⎩
或2
1a b =-⎧⎨=-⎩；（2）①在区间()0,+¥
上单调递增；②20
33
k <≤
.【分析】（1）由图象关于原点对称知：()()0f x f x -+=，结合函数解析式可得()2
21
1a b b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩
，即可求
参数.
（2）由已知得()1ln
1x f x x -=+，①()x
y f e =为211
x t e =-+，()ln g t t =的构成的复合函数，由它们在()0,+¥上均单调递增，即知()x
y f e =的单调性；②由①整理方程得()11
x x x
e e k e +=
-在区间(]0,ln 4上有
两个不同的解，令1x u e =-，(]0,3u ∈有2
3k u u
=++，结合基本不等式求其最值，进而确定k 的取值范围.
【详解】（1）由题意知：()()0f x f x -+=，整理得()()ln[
]01
1
a b x b a b x b x x -+--⨯=-+，即
()
2
2221a b x b x --=-，对于定义域内任意x 都成立，
∴()2211a b b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩
，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩.
（2）由0a >知：21
a b =⎧⎨=⎩，故()21ln 1ln 11x x x x f x -⎛⎫
=-=
⎪++⎝⎭①()
2ln(1)1x
x y f e e ==-
+，由211
x t e =-+，()ln g t t =在()0,+¥上均单调递增，
∴()x
y f e =在区间()0,+¥
上的单调递增.
②由①知1ln ln 01x x e x k e --+=+，可得1ln ln ln 01x x
x
e e k e --+=+，即()11
x x x
e e k e +=-在区间(]0,ln 4上有两个不同的解，令1x u e =-，(]0,3u ∈
∴()()()11223331
x x x e e u u k u e u
u
+++=
=
=++≥=-当且仅当u =23k u
u
=++在上递减，在3]上递增，且3u =时20
3k =
.
∴20
33
k <≤.关键点点睛：
（1）利用函数的对称性，结合解析式列方程求参数值；
（2）根据对数型复合函数的构成判断单调性，应用参变分离、换元思想，将方程转化为2
3k u u
=+
+在(]0,3u ∈上存在不同的u 对应相同的k 值，求参数范围.
2023-2024学年上海市徐汇区高一上册期末数学学情检测模拟试题
一、填空题
1．设实数a 满足2log 4a =，则=a _________.【正确答案】16
【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解.【详解】因为2log 4a =，所以4216a ==，
故16
2．已知函数()()2
35
1m m f x m x --=-是幂函数，则实数m =__________.
【正确答案】2
【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义直接计算作答.【详解】因为函数()()2
35
1m m f x m x --=-是幂函数，则11m -=，解得2m =，
所以2m =.故2
3．已知集合{}1,0,1A =-，{}2
20B x x x =-=，则A B ⋃=______．
【正确答案】{1,0,1,2}
-【分析】根据给定条件求出集合B ，再利用并集的定义直接计算作答.【详解】解方程220x x -=得：0x =或2x =，则{}0,2B =，而{}1,0,1A =-，所以{1,0,1,2}A B =- .故{1,0,1,2}
-4．若指数函数()3x
y m =-在R 上是严格减函数，则实数m 的取值范围是______.
【正确答案】34
m <<【分析】由指数函数单调性去判断即可解决.【详解】由指数函数()3x
y m =-在R 上是严格减函数可知031m <-<，即34m <<故34
m <<5．函数()12
log 2y x =+，[]2,6x ∈的最大值为______.
【正确答案】-2
【分析】通过对数函数的单调性，确定函数在给定区间内的最大值.
【详解】因为[]26x ∈，
，则()[]248x +∈，，由于12
log y x =是减函数，所以max 12
log 42y ==-，
故-26．已知
sin 2cos 4sin cos αα
αα
+=-，则tan α=____________.
【正确答案】2
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为sin 2cos 4
sin cos αα
αα
+=-所以tan 2
4tan 1
αα+=-，解得tan 2
α=故2
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.7．已知扇形的圆心角为23
π
，半径为5，则扇形的面积为______.【正确答案】
253
π【分析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解.【详解】因为扇形的圆心角为23π
，半径为5，所以扇形的弧长210533
l ππ=⨯=，
所以面积11102552233
S lr ππ
==⨯⨯=.故答案为.
253
π本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..
8．已知等式22321(1)(1)x x a x b x c ++=-+-+恒成立，其中a ，b ，c 为常数，则a b c -+=__________.【正确答案】1
【分析】本题首先可将等式转化为22321(2)x x ax b a x a b c ++=+-+-+，然后根据等式恒成立即可得出结果.
【详解】因为等式22321(1)(1)x x a x b x c ++=-+-+恒成立，所以22321(2)x x ax b a x a b c ++=+-+-+恒成立，则1a b c -+=.故1
9．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x
f x e =-，则当0x <时，()f x =____
【正确答案】e 1
x --+【分析】根据函数是奇函数，得()()f x f x -=-，由0x <，得0x ->，代入已知的函数关系中，可得解.【详解】()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，
因为0x ≥时，()1x f x e =-．
当0x <时，0x ->，()()()11x x
f x f x e e --=--=--=-+，
所以0x <时，()e 1x f x -=-+．故填.e 1
x --+本题考查根据函数的奇偶性，求对称区间上的函数解析式，属于基础题.
10．关于x 的不等式21x x a +--≤的解集为R ，则实数a 的取值范围是_________.【正确答案】3
a ≥【分析】令()3,
12121,213,2x f x x x x x x >⎧⎪
=+--=+-≤≤⎨⎪-<-⎩，所以函数的最大值为3，即可求解.
【详解】令()3,12121,213,2x f x x x x x x >⎧⎪
=+--=+-≤≤⎨⎪-<-⎩
，所以函数的最大值为3，
要使得关于x 的不等式21x x a +--≤的解集为R ，所以3a ≥.故答案为3a ≥.
本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，其中解答中求得分段函数的最大值解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11．设,0,
(){1,0,x a x f x x x x
-+≤=+>若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是
.
【正确答案】(,2]
-∞【详解】由题意，当0x >时，()f x 的极小值为(1)2f =，当0x ≤时，()f x 极小值为(0)f a =，(0)f 是()f x 的最小值，则2a ≤.函数的最值问题..
12．垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东-西，南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点(2,2)-，(2,1)，(2,3)，(2,4)-，(4,5)，(6,6)为垃圾回收点，请确定一个格点（除回收点外）________为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短【正确答案】(2,4)
首先表示横轴和纵轴方向的距离和，再根据含绝对值三角不等式求最值.【详解】设格点的坐标为(),x y ，则26x -≤≤，16y ≤≤，根据含绝对值三角式+a b a b ≥-可知
横轴方向距离和()222246d x x x x x =++-+-+-，()()262422x x x x x =++-+++-+-()()()()26242014x x x x ≥+--++--+⨯=，
此时()d x 的最小值是14，此时三个等号成立的条件是26242x x x -≤≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪=⎩
，所以2x =时，()d x 的最小值是14，
纵轴方向的距离和()123456d y y y y y y y =-+-+-+-+-+-，()()()()()()()1625349
d y y y y y y y ≥---+---+---=此时()d y 的最小值是9，三个等号成立的条件是162534y y y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，即3y =或4，
当3y =时，此时格点位置是()2,3，是垃圾回收点，舍去，所以4y =，此时格点坐标是()2,4.故()
2,4关键点点睛：本题是具有实际应用背景的习题，本题的关键是正确理解题意，并能转化为横轴距离和纵轴距离，利用含绝对值三角不等式求最值.二、单选题
13．若a R ∈，则
“cos α=”是“526k παπ=+，Z k ∈”的（
）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
【正确答案】B
【分析】写出cos α=的等价条件，结合充分必要定义判断即可.
【详解】由cos α=可得526k παπ=+或526k παπ=-，Z k ∈，
∴cos α=推不出526k παπ=+，Z k ∈，
但526k παπ=+
，Z k ∈能推出cos 2
α=，
∴“cos α=是“526k παπ=+，Z k ∈”的必要非充分条件.
故选：B
14．用反证法证明命题：“已知a ，N b ∈，若ab 不能被5整除，则a 与b 都不能被5整除”时，假设的内容应为（
）
A ．a 、b 都能被5整除
B ．a 、b 不都能被5整除
C ．a 、b 至多有一个能被5整除
D ．a 、b 至少有一个都能被5整除【正确答案】D
【分析】根据反证法证明数学命题的方法和步骤，可知应假设命题的否定成立.
【详解】假设的内容是命题“a 与b 都不能被5整除”的否定为“a 、b 至少有一个能被5整除”.故选：D
15．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,∞+上是增函数，且()20f =，则不等式()0f x x
>的解集为（
）
A ．()()2,00,2-⋃
B ．()(),22,-∞-+∞
C ．()(),20,2-∞-
D ．()()
2,02,-+∞ 【正确答案】D
【分析】分0x >和0x <两种情况讨论，利用函数的奇偶性和单调性可解得结果.【详解】当0x >时，
()0f x x
>可化为()0f x >，
又()f x 为偶函数且(2)0f =，所以不等式()0f x >可化为(||)(2)f x f >，因为()f x 在[)0,∞+上是增函数，所以||2x >，解得2x >；当0x <时，
()0f x x
>可化为()0f x <，
又()f x 为偶函数且(2)0f =，所以不等式()0f x <可化为(||)(2)f x f <，因为()f x 在[)0,∞+上是增函数，所以||2x <，解得20x -<<；综上所述：不等式()0f x x
>的解集为()()2,02,-+∞ .
故选：D
关键点点睛：利用函数的奇偶性和单调性求解是解题关键.
16．函数,(),x x P
f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，又规定{}()(),f P y y f x x P ==∈，
{}()(),f M y y f x x M ==∈，给出下列四个判断：
①若P M ⋂=∅，则()()f P f M =∅ ；②若P M ⋂≠∅，则()()f P f M ≠∅ ；③若⋃=R P M ，则()()f P f M =R ；④若⋃≠R P M ，则()()f P f M ≠R ．其中正确判断有（）A ．1个B ．2个
C ．3个
D ．4个
【正确答案】B
【分析】根据函数定义，结合特殊值，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对①：取{}1P =，{}1M =-，满足P M ⋂=∅，但(){}1f P =，(){}1f M =，()(){1}f P f M = ，故①错误；对②：若P M ⋂≠∅，由函数定义可得{}=0P M ⋂，所以[]0()()f P f M ∈≠∅ ，故②正确；
对③：取{}|0P x x =≥，{}|0M x x =<，满足R P M = ，
但(){}|0f P x x =≥，(){}|0f M x x =>，()()f P f M ≠R ，故③错误；对④：假设⋃≠R P M ，且()()=f P f M R ，
则存在()x P M ∉⋃，则(),x P x f P ∉∉，所以(),x f M ∈所以x M -∈，且[]()()=x f P f M -∈R ，
若()x f P -∈，则x P -∈，所以(){}=0x P M -∈⋂，所以=0x P ∈，矛盾，假设不成立；若()x f M -∈，则x M ∈，矛盾，假设不成立；所以若⋃≠R P M ，则()()f P f M ≠R ，故④正确.故选：B.三、解答题
17．已知角α的终边经过点()4,3-.
(1)求tan α的值；
(2)求sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝
⎭的值.【正确答案】(1)34
-；
(2)10
-.【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义计算作答；
（2）利用三角函数定义，结合差角的正弦公式计算作答.
【详解】（1）角α的终边经过点()4,3-，所以3tan 4
α=-.（2）角α的终边经过点()4,3-
，则该点到原点距离5r ==，因此34sin ,cos 55
αα=-=，
所以πππ34sin()sin cos cos sin 44455ααα-=-=--=18．已知21()f x ax x
=+，其中a 为实数.（1）当2a =时，证明函数()y f x =在[]1,2上是严格增函数；
（2）根据a 的不同取值，判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）当0a =时，奇函数；当0a ≠时，非奇非偶函数，理由见解析.
（1）当2a =时，得到函数21()2f x x x
=+，利用函数单调性的定义，即可作出证明；（2）分0a =和0a ≠两种情况，结合函数的奇偶性的定义，即可得出结论.【详解】（1）当2a =时，函数21()2f x x x =+
，设[]12,1,2x x ∈且12x x <，则22222121212121
1111()()222()()f x f x x x x x x x x x -=+--=-+-12212121211212
12()()()[2()]x x x x x x x x x x x x x x -=-++=-+-，因为12x x <，可得210
x x ->又由[]12,1,2x x ∈，可得()2111124,1x x x x +><，所以2111
12()0x x x x +->
所以21()()0f x f x ->，即12()()f x f x <，
所以函数()y f x =是[]1,2上是严格增函数.
（2）由函数21()f x ax x
=+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称，当0a =时，函数1()f x x =，可得11()()f x f x x x
-==-=--，此时函数()f x 为奇函数；当0a ≠时，2211()()f x a x ax x x -=⋅-+
=--，此时()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠，所以0a ≠时，函数()y f x =为非奇非偶函数.
19．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态
”.（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）
【正确答案】（1）20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]
x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.
（1）根据题意，分别求得(0,16]x ∈和(16,40]x ∈上的解析式，即可求解；
（2）当(0,16]x ∈和(16,40]x ∈时，令()68f x <，求得不等式的解集，即可求解.
【详解】（1）当(0,16]x ∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b =-+<，
因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()(12)844
f x x =--+，当(16,40]x ∈时，0.8()lo
g ()80f x x a =++，
由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+，
综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]
x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩.（2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684
f x x =--+<，即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，
当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，
所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟.
20．已知()225,f x x ax a =-+∈R .
(1)当3a =时，作出函数()y f x =的图象，若关于x 的方程()f x m =有四个解，直接写出m 的取值范
围；
(2)若()y f x =的定义域和值域均为[]1,a ，求实数a 的值；
(3)若()y f x =是(],2-∞上的严格减函数，且对任意的[]1,1x a ∈+，总有()41f x -≤≤成立，求实数a 的取值范围.
【正确答案】(1)作图见解析，(0,4)；
(2)2；(3)5[,3]2
.【分析】（1）把3a =代入，分析函数()f x 的性质及图象特征，作出|()|y f x =的图象，再求出m 的范围作答.
（2）根据给定条件，利用单调性求出函数最大值即可作答.
（3）由单调性求出a 的取值范围，再求出在指定区间上的最值，列式求解作答.
【详解】（1）当3a =时，2()65f x x x =-+，当1x ≤或5x ≥时，()0f x ≥，当15x <<时，()0f x <，且min ()(3)4f x f ==-，
函数|()|y f x =的图象如图，
关于x 的方程()f x m =有四个解，即直线y m =与函数|()|y f x =的图象有4个公共点，
由图象，可得04m <<，
所以m 的取值范围是(0,4).
（2）函数2()25f x x ax =-+图象的对称轴为x a =，依题意，1a >，函数()f x 在[1,]a 上单调递减，
因为函数()f x 在[1,]a 上值域为[1,]a ，所以max ()(1)62f x f a a ==-=，且2min ()()51f x f a a ==-+=，
解得2a =，
所以实数a 的值为2.
（3）因为函数()y f x =是(],2-∞上的严格减函数，所以2a ≥，所以13a +≥，显然1a a <+，函数()y f x =在[1,]a 上单调递减，在[,1]a a +上单调递增，而11a -≥，
因此max ()(1)62f x f a ==-，2min ()()5f x f a a ==-+，
因为对任意的[]1,1x a ∈+，总有()41f x -≤≤成立，
所以262154
a a -≤⎧⎨-+≥-⎩，解得532a ≤≤，所以实数a 的取值范围是5[,3]2
.21．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],ma mb （其中(]0,1)m ∈，则称()f x 为区间[],a b 上的“m 倍缩函数”.
(1)证明：函数()3f x x =为区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的“14倍缩函数”；(2)若存在[],R a b ⊆，使函数()()2log 2x f x t =+为[],a b 上的“1
2倍缩函数”，求实数t 的取值范围；(3)给定常数0k >，以及关于x 的函数()1k f x x
=-，是否存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”.若存在，请求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.
【正确答案】(1)证明见解析；(2)1(0,4
；(3)答案见解析.
【分析】（1）利用函数()f x 的单调性，求出()f x 的值域，再结合定义判断作答.
（2）利用函数()f x 的单调性，求出()f x 的值域，结合定义构造方程，再利用方程有两个不等的正根求解作答.
（3）根据给定条件，可得0a >，再分类去绝对值符号，结合单调性求出值域即可求解作答.
【详解】（1）函数3()f x x =在R 上单调递增，则3()f x x =在区间11[,]22
-上的值域为11[,]88-，显然有111111(),842842
-=⨯-=⨯，所以函数()3f x x =为区间11[,]22-上的“14
倍缩函数”.（2）因为函数2x u t =+在R 上单调递增，当0u >时，函数2log y u =在(0,)+∞上单调递增，
因此函数2()log (2)x f x t =+是定义域上的增函数，
因为函数2()log (2)x f x t =+为[],a b 上的“12倍缩函数”，则函数()f x 在[],a b 上的值域为11[,]22
a b ，于是得1()21()2f a a f b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即,()a b a b <是方程1()2f x x =的两个不等实根，
则方程12221log (2)22((02x x
x x t x t t +=⇔+=⇔-+=有两个不等实根，
令0x z =>，则关于z 的一元二次方程20z z t -+=有两个不等的正实根，
因此Δ140100t t =->⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得104t <<，当104t <<时，函数()f x 恒有意义，所以实数t 的取值范围是1(0,)4
.
（3）常数0k >，函数()1k f x x
=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，并且()0f x ≥，假定存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”，
则函数()f x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，由[,](,0)(0,)a b ⊆-∞+∞ ，及[,][0,)a b ⊆+∞知0a b <<，因为函数1k y x =-
在[],a b 上单调递增，即111k k k a x b -≤-≤-，若101k k a b -
<<-，即0a k b <<<，则函数()f x 在区间[],a b 上的值域中有数0，矛盾，若10k b -≤，即0a b k <<≤，当[,]x a b ∈时，()1k f x x
=-在[,]a b 上单调递减，有()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，即11k a b k b a
⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得k b ab k a ab -=⎧⎨-=⎩，显然无解，若10k a -≥，即k a b ≤<，当[,]x a b ∈时，()1k f x x
=-在[,]a b 上单调递增，有()()f a a f b b
=⎧⎨=⎩，即,()a b a b <是方程()f x x =的两个不等实根且a k ≥，而方程210k x x x k x
-
=⇔-+=，于是得方程2()0g x x x k =-+=在[,)k +∞上有两个不等实根，从而2Δ140()012k g k k k =->⎧⎪⎪=≥⎨⎪>⎪⎩，解得14k <，而0k >，即有104k <<，解方程20x x k -+=
得：12x x =
=所以当104k <<
时，存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”
，1122
a b +==，当14
k ≥时，不存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”.思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。