程序性知识典型错题的成因分析及教学策略

程序性知识典型错题的成因分析及教学策略
□夏春峰
【摘要】程序性知识典型错题是学生在运用数学“怎么做”知识时发生的错误。

这类知识的错误在实践和研究中占大多数，究其原因，一方面是没有理解陈述性知识的意义，另一方面是没有掌握程序性知识本身。

学生如果没有掌握这类知识，必将影响其策略性知识的掌握和运用。

对此，在研究中梳理和剖析程序性知识典型错题的表现及成因，并提出相应的教学策略。

【关键词】程序性知识；典型错题；归因分析；教学策略
程序性知识是有关“怎么办”的知识，主要涉及概念和规则的应用。

作为小学数学程序性知识，是关于小学数学领域“做什么”“怎么做”的知识，其思维条理化为数学程序性知识的主要特征，演绎、推理为主要表现方式。

什么是数学程序性知识典型错题？我们认为，学生在运用数学程序性知识解题时，在口答、书面作业或检测中反映出来的错误率较高（全班的错误率≥15%）的数学错题，称之为程序性知识典型错题。

程序性知识典型错题可以从错误出现的人数多、频率高、纠正难等几个维度去判断锁定。

据不完全统计，程序性知识典型错题在各类知识典型错题中占60%以上。

所以，梳理、分析和应用程序性知识典型错题对改进小学数学教学有着十分重要的作用。

一、程序性知识典型错题的成因分析
在实践中，我们发现产生程序性知识典型错误的主要原因有以下这些方面。

（1）“怎么做”的程序目标不明。

程序性知识是关于“怎么做”的知识，在“怎么做”前首先需要明确“做什么”的程序目标，偏离了目标，那“怎么做”的程序就毫无意义了。

【典型错题1】甲、乙两人跑同样长的一段路，甲要16分钟，乙要20分钟，甲跑得速度比乙快百分之几？
学生错解：（20-16）÷20=20%
显然，学生把所要解决的问题“甲跑得比乙快百分之几”，误解成了“甲跑的时间比乙少百分之几”，这里的“甲跑得比乙快百分之几”实质上是“甲跑的速度比乙跑的速度快百分之几”。

对“做什么”理解有误，那也就是偏离了“怎么做”的程序目标。

（2）“怎么做”的信息提取有误。

程序性知识在明确“做什么”的程序目标后，需要围绕目标的达成和解决，选择有用的信息执行“怎么做”。

【典型错题2】在直径为9米的圆形花坛外面有一条宽1米的环形小路。

这条小路的面积是多少？
学生错解1：学生错解2
：
学生知道，求圆环（小路）的面积是外圆的面积减去内圆的面积，然后，在选择外圆或内圆的半径时，出现了错误。

“错解1”把“（9+1）÷2=5.5米”当作了圆环的外圆半径，“错解2”先把“9÷2=4.5米”当作外圆的半径，而把环宽的一半“1÷2=0.5米”当作
教学反思·课堂诊断
了内圆的半径。

造成这一信息提取错误的根本原因是对“小路宽1米”也就是对环宽的理解不到位。

（3）“怎么做”的程序规则不清。

程序性知识在“怎么做”时，需要遵循有关“规则”来做，如果学生
对有关“规则”理解不清或掌握有误，那么在“怎么做”时就会发生“规则错误”。

这种错误往往发生在计算法则、运算顺序、定律、性质、计算公式等的运用上。

【典型错题3】计算：32+20×3学生错解：32+20×3=52×3=153这一错误就是违背了“先乘再加”这一“规则”，而主要原因是学生对这一“规则”的不理解和没掌握。

（4）“怎么做”的程序环节缺失。

程序性知识在“怎么做”时需要环节紧扣，步步推进，如果缺失某一环节往往就会发生错误。

【典型错题4】用简便方法计算：49×2.8+7.2÷94学生错解：49×2.8+7.2÷94=49×94×（2.8+7.2）=1×10=10从上述的典型错解中，可以看出学生知道可用乘法运算定律来简算，但由于缺失了把“7.2÷94”先转化为“7.2×49”这一环节，使得学生为“凑整”而违背运算规则来所谓的简算。

如果提醒和强化学生在简算前先把“7.2÷94”转化为“7.2×49”，那么，学生能一下子判别接下去的环节可用乘法分配律来简算。

所以，对此类错题的教学需要强化“转化”这一前置环节的引导和训练。

（5）“怎么做”的程序思维僵化。

程序性知识的“怎么做”往往是有程序的，有“规则”可循，然而如果程序思维僵化，套用“规则”，就往往会产生“重外形，轻本质”的错误。

【典型错题5】一个运动场如下图，两边是半圆形，中间是长方形。

这个运动场的周长是多少米？o 100m
32m
学生错解：3.14×32×2+（100+32×2）×2=528.96（米）
从上述典型错解中，可以看出这是一种明显的套用圆的周长和长方形周长计算公式的程序僵化，
改变这一僵化思维的关键是要真正理解“这个组合图形周长”的含义。

二、程序性知识典型错题的教学策略
对于程序性知识典型错题的教学，要从两方面入手，一方面是典型错题出现前的提前干预；另一
方面是学生错误产生后的改错纠错。

（一）提前防错的干预策略
提前防错是指教师预设学生可能产生的错误，
在学生做题前，提前干预，将错误阻止在“萌芽”状
态，使学生头脑中构建起“怎么做”的正确思路和方
法。

提前干预的策略有：
1.加强陈述性知识教学，为“怎么做”夯实程序
基础
陈述性知识是关于“是什么”的知识，在小学数
学中主要是指概念、法则、公式、性质、定律等，而这
些知识是关于程序性知识“怎么做”的基础。

比如，学生对于乘法分配律都没有理解和掌握，那他怎么会运用这个定律进行有关的简算呢？所以，陈述性知识是程序性知识的基础，只有知道了“是什么”，才能知道“怎么做”。

2.范例教学，为“怎么做”提供程序规范
程序性知识在操作活动或心智活动时，有着一定的思维操作程序，因此程序性知识典型错题教学，可采取范例教学法，帮助学生掌握其思维操作程序。

所谓范例教学法，是指学习时按照课本提供
的范例，将数学程序性知识的思维操作程序一步一步地展现出来，然后根据这种程序逐步掌握程序性
知识关于“怎么做”的心智活动。

小学数学课本中的例题就是关于“怎么做”的
教学反思·课堂诊断
范例，所以加强例题的思维操作程序教学显得十分重要。

如“解方程”例3（人教版教材五年级上册第68页），课本中展示了如何解形如“a -x =b ”此类方程的思维操作步骤：第一步是等式两边加上相同的式子；第二步等式两边互换位置；第三步等式两边同减9，就得到x =11；第四步把x =11代入原方程中进行检验。

学习时只需要明确范例所反映的此类方程的解题程序和方法，并按照这种程序和方法进行求解即可掌握此类解方程的程序性知识和技能。

3.预设错例，为“怎么做”实施防错策略教师根据教学规律、教学经验和知识的重难点，可以对学生在“怎么做”时可能会产生的典型错误做出预设，通过预设学生的典型错例，改进教学，实施提前干预。

【典型错题6】求下图平行四边形的面积。

学生错解1：10.8×8
学生错解2：10×8从上述典型错例中可知，对于平行四边形面积的计算方法，必须关注“底”和“高”的对应问题，因此，教师在推导平行四边形面积计算公式的新授课时，可以切入预设性错误，先让学生大胆设想，下面平行四边形的面积怎么计算？学生可能有三种预设性方法，其中2、3种是预设性错误。

先来猜猜这个平行四边形的面积可以怎么求？5米预设1：用“底×高”计算：6×4＝24（平方米）预设2：用“底×邻边”计算：6×5＝30（平方米）预设3：用“邻边×高”计算：5×4＝20（平方米）这三种方法，哪种才是计算平行四边形面积的正确方法呢？通过探究使学生真正理解平行四边形面积的计算方法是“底×高”，就是必须“底×所在底上的高”。

（二）错误生成的纠错策略
学生有些错误是难以预设的，为此，当学生错误生成后，教师更多地需要采取有效的纠错策略，促进学生数学知识的意义建构。

学生错误生成后，首要的是寻找错因，只有使学生明确了错误原因，才能对症下药，改错纠错。

寻找错因，教师可以从以下几方面入手。

1.目标有否偏失：“做什么”的问题，我把握
了吗
一些问题限于学生的理解能力和认知水平，往往使学生对问题的把握失误，从而造成了解决问题目标的偏失。

【典型错题7】右图是某学校教师喜欢看的电视节目统
计图，喜欢看“新闻联播”的人
数比喜欢看“焦点访谈”的多
几分之几？
学生错解：28%-15%=13%
学生以为求喜欢看“新闻联播”的人数比喜欢看“焦点访谈”的多几分之几，就是把喜欢看“新闻联播”的占28%和喜欢看“焦点访谈”的占15%相减就行了。

针对这一典型错解，教师可让学生说说问题“喜欢看‘新闻联播’的人数比喜欢看‘焦点访谈’的多几分之几”表示求什么人数占什么人数的几分
之几，使学生对问题有一个正确的了解，纠正偏离
“做什么”的程序目标。

2.信息有否误读：“怎么做”的信息，我读透
了吗
【典型错题8】学校有一个正方形花坛，四周种
了一圈绿篱，绿篱总长28米。

这个花坛的面积是多少？
学生错解：28×28=784（平方米），答：这个花坛的面积是784平方米。

学生在阅读理解提取信息时，把“四周种了一圈绿篱，绿篱总长28米”这一信息当作花坛的边长
了，所以造成了上述的错解。

教学反思
·课堂诊断
提供有质材料点化无形思维
——以“平方数的相差关系”一课为例谈内隐数学素养活动的要素
□张翼文
数学学习的关键是数学思维，也就是说数学课要有“数学味”，如果离开数学思维水平的提升去谈核心素养提高，那么数学素养的内化将是“无本之木”。

其实数学思维与数学素养是相辅相成的，道不清说不明，难以割舍之整体。

因此，数学学习中要循序渐进地去点化儿童潜在的思维水平，其关键之一是要选择合适的有质学习素材。

换言之，儿童的无形数学思维（意识形态）是需要有形学习材料（视觉感官）作为载体的，在有形刺激与无形顿悟中去完成数学的外在与内隐活动。

接下来笔者以“平方数的相差关系”的教学为例来简要谈谈课堂中如何通过有质材料去慢慢点化学生的无形思维，然后渐渐地完成内隐性数学素养活动。

【教学过程】
一、复习引入，激发参与
（一）旧知回顾，引入学习
1.读一读并说一说，32、42、52、62、72、352、652的含义。

2.揭示课题。

如果两个平方数之间添加一个减号，如42-32，那么这两个平方数就建立相差关系（板书）。

3.建立联系。

在以往学习过程中，学习哪个知识时，是两个完全相同的数相乘积就是其结果的？（边长×边长=正方形面积）
【摘要】数学学习中要循序渐进地去点化儿童潜在的思维，其关键是需要选择合适的
有质学习素材。

儿童的无形数学思维（意识形态）是需要有形学习材料（视觉感官）作为载体
的，在有形刺激与无形顿悟中去完成数学的外在与内隐活动。

因此，学生进行内隐性的数学
思维活动，是需要有形的数学信息作为支持的；学生思维水平提升，是需要有效信息作为比
较载体的；学生进行有效概括，是需要建立在有质材料的数学活动基础之上的。

因此数学的
抽象过程也就是学生活动经验积累水到渠成的过程。

【关键词】有形材料；无形思维；数学素养
3.程序有否出错：“怎么做”的程序，我到位了吗有些程序性知识典型错例，是由于学生“怎样做”的程序不到位造成的。

比如，前面的“典型错题4”，用简便方法计算：49×2.8+7.2÷94，错误的出现往往是没有先把“7.2÷94”转化成“7.2×49”这一前置环节而造成的。

所以，针对这一错解，要让学生先转化，然后观察数据特点，应用相关的运算定律进行简算。

总之，程序性知识典型错题是学生在运用数学“怎么做”知识时发生的错误，这类知识的错误在实
践和研究中占大多数。

我们只要把握这类错题关于“怎么做”程序性的错因，进而预设错因，巧用错例，改进教学。

（浙江省绍兴市上虞区百官小学312300）
教学反思·教例反思。