2022-2023学年福建省莆田市涵江区九年级第一学期期中数学试卷

莆田市涵江区2022—2023学年上学期九年级期中试卷
数学学科
（满分：150分；考试时间：120分钟；考试形式：闭卷）
一、选择题（共10小题；每小题4分，共40分）
1.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是
A. B. C. D.
2．抛物线y=（x+1）2-3的顶点坐标是（）
A．（1，-3）B．（1，3） C.（-1，-3） D.（-1，3）
3.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将ΔBCE绕点C顺时针方向旋转90°得到ΔDCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（）
A．10°B．15°C．20°D．25°
4．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣4）2+1
5.某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
A.4
B. 5
C. 6
D. 7
6.如图，点A、B、C在☉O上，AC//OB，∠BAO＝30°，则∠BOC的度数为( )
A.30°
B.50°
C.60°
D.80°
7.在同一坐标系中，一次函数y＝ax+k与二次函数y＝k x2+a的图象可能是（）
A．B．C．D．
8. 已知关于x的一元二次方程m−1x2+2x−3=0有实数根，则m的取值范围是
A. m≥2
3B. m<2
3
C. m>2
3且m≠1 D. m≥2
3
且m≠1
9.如图所示为一座纵截面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水位下降1m时，水面的宽度为
A.3m
B. 2 6m
C. 3 2m
D. 2m
10.已知抛物线 y =ax 2+bx +c(a ≠0) 的对称轴为直线 x =2 ，与x 轴的一个交点坐标 (4,0) ，其部分图象如图所示，下列结论： ① 抛物线过原点； ②4a −2b +c <0 ； ③4a +b +c >0 ； ④ b <m （am+b ）+c （m≠2） ⑤ 当 x <1 时，y 随x 增大而增大 . 其中结论正确的有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分）
11.点A （-8，3）关于原点中心对称的点B 的坐标为 ．
12.如图，△ABC 内接于☉O ，若∠OAB ＝30°，则∠C ＝ .
13.已知二次函数y =−x 2+2x +3，用配方法化为y =a （x −ℎ）2
+k 的形式为 .
14.若有一点到圆上最小距离为2cm ，最大距离8cm ，则圆的半径为 cm.
15.分别用4cm 长的线段围成矩形和圆，则 的面积最大.(填“矩形”或“圆”)
16.对于一个函数：当自变量x 取a 时，其函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点，若二次函数y ＝x 2+2x+c （c 为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c 的取值范围是 .
三、解答题（共6题；共86分）
17.（本小题满分8分）
解方程0542=--x x
18.面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标为（﹣1，0）．
（1）(4分)将△ABC 向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，画出平移后的△A 1B 1C 1，并写出点A 1的坐标；
（2）(4分)画出△ABC 关于坐标原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2，并写出点B 2的坐标．
19.（本小题满分8分）已知关于x 的方程x 2+ax+a-2=0.
（1）(4分)若该方程的一个根为1,求a 的值及该方程的另一根;
（2）(4分)求证不论a 取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
20.（本小题满8分）如图，⊙O 的直径 AB ＝10，弦 AC ＝8，连接 B C ．
（1）(3分)尺规作图：作弦 CD ，使 CD ＝BC （点 D 不与 B 重合），连接 AD ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）(5分)在（1）所作的图中，求四边形 ABCD 的周长．
21.（本小题满分8分）在⊙O 中，① CD 是直径 ；② CD ⊥AB ，垂足为E ； ③ AE=BE ；
④AC BC =；⑤ AD BD =
请从上述五个命题中选出两个作为已知条件，三个作为结论并证明.
（1）(2分)已知: ，求证： .
（2）(6分)证明：
22.（本小题满分10分）如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点(不与B ，C 重合)，PE 是△ABP 的外接圆☉O 的直径.
(1)(5分)求证：△APE 是等腰直角三角形；
(2)(5分)若☉O 的直径为2，求PC 2＋PB 2的值.
23.（本小题满分10分）某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y 件，售价为x 元/件，每月的总利润为Q 元.
（1）(4分)当售价在40≤x ≤50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?
（2）(6分)当售价在50≤x ≤70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x 是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元?
24.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点O （0，0），点A （5，0），点B （0，3）．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．
（1）（4分）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；
（2）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ．
①（3分）求证△ADB ≌△AOB ；
②（5分）求点H 的坐标．
25.（本小题满分14分）
已知函数2(3)2y x m x m =-+-+（m 为常数）．
（1）（3分）试判断该函数的图象与x 轴的公共点的个数；
（2）（5分）求证：不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数246y x x =++的图象上；
（3）（6分）若直线y =x 与二次函数图象交于A 、B 两点，当﹣4≤m ≤2时，求线段AB 的最大值和最小值．。