山西省忻州一中2011-2012学年高二下学期第一次月考数学(理)试题

注意事项:
1．请将选择题的正确答案涂黑涂满相应机读卡位置，填空题、解答题的答案写在试
卷上，交卷时只交试卷，不交试题，答案写在试题上无效。

2．考试时间90分钟，满分100分。

一．选择题(共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，) 1．设)(x f 在x ＝x 0处可导，且1)
()3(lim 000
=∆-∆⋅+→∆x
x f x x f x ，则=')(0x f
A ．1
B ．0
C ．3
D ．
3
1 2．设P 为曲线C ：y=2
x +2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[3π
4
,π），则点P 横坐标的取值范围为 A ．[-1,- 12] B ．[-3
2
,-1） C ．[0,1）
D ．[1
2
,1]
3．设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线
方程为
A ．x y 2±=
B ．x y 2±=
C ．x y 22±
= D ．x y 2
1
±= 4．若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形，则椭圆的离心率为
A ．
41 B ．2
1
C ．22
D ．23
5．函数)(x f =1+x +cos x 在(0,2π)上是
A ．增函数
B ．减函数
C ．在(0,π)上增，在(π,2π)上减
D ．在(0,π)上减，在(π,2π)上增 6．函数y =3
x x 2的导函数是
A ．y ′=32
x x 2 B ．y ′=23
x x 2
C ． y ′=32
x x 2+x 22ln D ．y ′=32
x x 2+x 23
x 2ln
7．函数)(x f =3x -43
x ，x ∈[0,1]的最大值是
A ．1
B ．1
2
C ．0
D ．-1
8．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x （0≤x ≤π）与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是
A ．π1
B ．π2
C ．4π
D ．π3
9．已知2()
(1),(1)1()2
f x f x f f x +==+
*x N ∈（），猜想(f x ）
的表达式为 A.4()22x
f x =
+； B.2()1
f x x =+； C.1()1f x x =+； D.2()21f x x =+. 10．给出以下命题：
⑴若
()0
b a
f x dx >⎰，则f(x)>0； ⑵
20
sin 4
xdx =⎰π；
⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T 为周期的函数，则
()()a a T T
f x dx f x dx
+=⎰⎰
；
其中正确命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
二．填空题(每空5分，共20分)
11．一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程是
12．若抛物线)0(22
>-=p py x 上纵坐标为4-的点到焦点的距离为5，则焦点到准线
13．1)2(33)(2
3++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是__________． 14．给出下列四个命题：
①若)(x f 是定义在[]1,1-上的偶函数，且在[]0,1-上是增函数，)2
,4(
π
πθ∈，则
)(cos )(sin θθf f >；
②在ABC ∆中，“6
π
>
A ”是“2
1
sin >
A ”的充要条件； ③若函数)(x f y =的图象在点))1(,1(f M 处的切线方程是22
1
+=
x y ，则3)1(')1(=+f f
④已知函数)(x f 的导数a x x f a x x a x f =-+='在若)(),)(1()(处取到极大值， 则a 的取值范围是（－1，0） 其中所有正确．．．．
命题的序号是 。

三．解答题(本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程，并把解答写在试卷的相应位置上) 15．(本题满分10分)
求由曲线2
2y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积。

16．(本题满分10分) 已知x x b ax x f ln 42)(+-
=在3
1
1==x x 与处都取得极值． （1）求a 、b 的值；
（2）若对],1[e e
x ∈时，c x f ≥)(恒成立，求实数c 的取值范围．
17．(本题满分10分)
在三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，点E 是棱OC 的中点．
（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （2）求二面角A BE C --的余弦值．
18．已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)( 的解集为（-1，3）。

（1）若方程a x f 7)(-=有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式； （2）若函数)()(x xf x g =在区间⎥⎦
⎤ ⎝
⎛∞-3
,a 内单调递减，求a 的取值范围；
忻州一中2011-2012学年第二学期高二第一次月考试卷
高二数学（理）
二．填空题（每小题5分，共20分）
11．____________________．12．______________________．
13．____________________．14．______________________．
三．解答题（共40分）
15．(10分)
16．(10分)
17．(10分) 18．(10分)
A
O
B
C
E
忻州一中2011-2012学年第二学期高二第一次月考
数学（理）参考答案及评分标准
一．选择题(每小题4分，共40分)
二．填空题(每小题5分，共20分)
11． 29
2
米； 12．2； 13. 12-<>a a 或；
三．解答题(共40分) 15．（10分）
2232123201
:(23)(32)1331(2)|(2)|32231
x x dx x x dx
x x x x x x ⎰+-+⎰--=+-+--=1201解由题意知阴影部分的面积是:
S= 16. 解：（1）x x
b a x f 4
2)(2
/
++
= x x b ax x f ln 42)(+-= 在3
1
1==x x 与处都取得极值
0)31
(,0)1(/
/
==∴f f ，⎩
⎨
⎧=++=++∴01292042b a b a ………………3分 即1,2
3
-=-
=b a ………………4分 经检验符合 ………………5分 （2）由（1）可知x x
x x f ln 41
3)(++
-=， 2
2/)
1)(13(413)(x x x x x x f ---=+--= ………6分
由)(x f '>0，得()f x 的单调增区间为1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，由)(x f '<0，得()f x 的单调减区
间为10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
和[)1,+∞，∴x =1是)(x f 的极大值点 ………8分
当],1[e e
x ∈时，)1(e
f =e -3
e -4，)(e
f =-3e +e
1+4
而04
84)()1(>-
-=-e
e e
f e
f 所以)()1(e f e f >，即)(x f 在],1[e e 上的最小值为e e 341
-+， …………9分
要使对],1[e e x ∈时，c x f ≥)(恒成立，必须e e
x f c 341
)(min -+=≤………10分
18. （10分）（1）由题设条件，可设),3)(1(2)(-+=-x x a x x f 这里0<a 2分
所以a x a ax x x x a x f 3)1(22))3)(1()(2
--+=+-+=
①
又07)(=+a x f 有两个相等的实数根，而a x a ax a x f 4)1(27)(2
+-+=+，
所以判别式△=016)1(42
2
=--a a ，即01232
=-+a a
3分
解得3
1=
a （舍去），或a =-1，代入①式得34)(2++-=x x x f 5分
（Ⅱ）.3)1(2)()(2
3
ax x a ax x xf x g --+==
因为)(x g 在区间]3
,(a -∞内单调递减，
所以03)1(43)('2
≤--+=a x a ax x g 当]3
,(a x -∞∈时恒成立
7分
∵0<a ，对称轴为直线)(',03)1(2x g a
a x >-=
在]3,(a
-∞上为增函数，
故只需03)1(3
4
3)3(')('3max
≤--+==a a a a a g x g
8分
注意到0<a ，解得51≥-≤a a 或（舍去）。

故a 的取值范围是]1,(--∞
10分
修改后18．已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式f(x)>-2x 的解集为（-1，3）。

（1）若方程a x f 7)(-=有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式； （2）若函数)()(x xf x g =在区间⎥⎦
⎤ ⎝
⎛∞-3
,a 内单调递减，求a 的取值范围；
18. （10分）（1）由题设条件，可设),3)(1(2)(-+=+x x a x x f 这里0<a 2分
所以a x a ax x x x a x f 3)1(22))3)(1()(2
-+-=--+=
①
又07)(=+a x f 有两个相等的实数根，而a x a ax a x f 4)1(27)(2
+++=+，
所以判别式△=016)1(42
2=-+a a ，即01232
=-+a a
3分
解得31
-=a ，或a =1（舍去），代入①式得13
4
31)(2+--
=x x x f 5分
（Ⅱ）.3)1(2)()(2
3
ax x a ax x xf x g -+-==
因为)(x g 在区间]3
,(a
-∞内单调递减，
所以03)1(43)('2
≤-+-=a x a ax x g 当]3
,(a x -∞∈时恒成立
7分
∵0<a ，对称轴为直线,3)
1(2a
a x +=
1︒当
3
322a a a ≥+时，a ≤1-3时，)(x g '在]3,(a
-∞上为增函数，
故只需03)1(3
4
3)3(')('3max
≤-+-==a a a a a g x g
8分
注意到0<a ，解得172172+≥-≤a a 或（舍去）。

与a ≤1-3取交集
此时a ≤2-17； 2︒当
3322a a a <+,1-3<a<0时, 0)322(')('max >+=a
a g x g ，此时g(x)在（-∞，a
3],不是减函数，不合题意
由1︒，2︒得a 的取值范围是a ≤2-17 10分。