3-3 电路约束的相量形式

3-3单一参数的交流电路(电路约束的相量形式）
元件约束（VCR）结构约束（KCL、KVL）相量形式
时域形式
dt
du
C
i c
c
=
dt
di
L
u L
L
=
Ri
u
R
=
∑=0
i
∑=0
u
电
路
约
束
数域
？
？
3-3-1 元件VCR 的相量形式
（1）相量模型
]2Im[t j e U ω I R U
=要等式成立，只要
相应电路模型为
I
U
R
1.电阻元件将u R
、i R
代入式u=Ri 得
R =]
2Im[t j e I R ω =]2Im[t j e I
ω ]
2Im[t
j R e U
u ω =]
2Im[t j R e I i ω =由正弦函数等于旋转复矢量取虚部，u R 、i R 可表示为
（2）限流与移相特性
∴U =RI
ϕu =ϕi
t
i
u
i
u
j j RIe
Ue ϕϕ=u j Ue U
ϕ= i j Ie
I ϕ= （3）波形图相量图
结果表明，电阻在交流电路中只有限流作用没有移
相功能。

ϕu =ϕi
U I
2.电容元件
（1）相量模型
]
2Im[t j c e
I i ω =得
代入式、将dt
du C i i u c
c c c =]2Im[t j e dt
d U C ω ]
2Im[t j e U C j ωω =]2Im[t j e U dt
d C dt du C ω ==]
2Im[t j c
e U u ω =由正弦函数等于旋转复矢量取虚部，u c 、i c 可表示为
所以要等式成立，只要
或U jB U C j I c
==ω相应电路模型为
I
U
c
jX -I jX I C
j U c
-=-=ω1=]2Im[t
j e I
ω ]
2Im[t j e U C j ωω
（2）限流与移相特性
∴U=X c I ϕu =ϕi -90°。

；；90j j j e
j Ie I Ue U i u -=-==ϕϕ ）
（。

90-i j c Ie
X ϕ=
u
j Ue
ϕC X I
U
=X c —具有与电阻相同的作用，即限流作用，但又不是电阻，故引用容抗来描述电容的限流特性，单位为Ω。

C C B X U I ==1B c —具有与电导相同的作用，即导流作用，但又不是
电导，故引用容纳来描述电容的导流特性，单位为S 。

或
它表明电压滞后电流90°，它揭示电容的件的移相特性。

ϕi
ϕu
（3）波形图及相量图
t
i u
ϕi ϕ
u
ϕu -ϕi =-90°
U
I
（1）相量模型
3.电感元件
]
2Im[t j L e
U u ω
=得
代入、将dt
di L u i u L
L L L =]2Im[t j e dt
d I L ω ]2Im[t j
e I L j ωω =]2Im[t j e I dt
d L dt di L ω ==]
2Im[t j L e
I i ω =由正弦函数等于旋转复矢量取虚部，u L 、i L 可表示为
所以=]2Im[t
j e
U
ω ]
2Im[t j e I L j ωω 要等式成立，只要
或I jX I L j U L
==ω相应电路模型为
U jB U L
j I L
-=-=ω1I
U
L
jX
（2）限流与移相特性
∴U =X L I。

；；90j j j e
j Ie I Ue U i u ===ϕϕ ）
（。

90+i j L
Ie X
ϕ=u
j Ue
ϕL X I
U
=X L —具有与电阻相同的作用，即限流作用，但又不是
电阻，故引用感抗来描述电感的限流特性，单位为Ω。

L L B X U I ==1B L —具有与电导相同的作用，即导流作用，但又不是
电导，故引用感纳来描述电感的导流特性，单位为S 。

或
ϕu =ϕi +90°
它表明电压超前电流90°，它揭示电感的件的移相特性。

ϕi ϕu t
i u
ϕi ϕu （
3）波形图相量图
ϕu -ϕi =90°
U I
3-2-3 KCL 、KVL 的相量形式
可以证明KCL 、KVL 的相量形式为
∑=0k
U ∑=0k
I ∑∑=j k E U （无源回路）（有源回路）
应用KVL 、KCL 的相量形式，有助于进行正弦稳态分析时，直接建立相量形式的电路方程。

电路约束的相量形式
元件约束（VCR）结构约束（KCL、KVL）
相量（频域）形式时域形式
dt
du
C
i c
c
=
dt
di
L
u L
L
=
Ri
u
R
=
∑=0
i
∑=0
u
数域
U RI
=
1
C C
U j I jX I
C
ω
=-=-
L L
U j LI jX I
ω
==
k
I=
∑
U=
∑ U E
=
∑∑。