陕西师范大学2003年数学分析考试试卷

陕西师范大学2003年数学分析考试试卷年数学分析考试试卷
1.计算下列各题计算下列各题
(1)()()()2250030sin lim
1311tan x x x t dt d x x x x dx
=®++--½ò (2)lim 1232002n n n n n
n ®¥+++×××+ (3)()[][][]2
3410,0,10,10,1x y z V x y z dxdydz V +++=´´òòò (4)()2002220034212002ln ln 1e
x xdx x x x dx -+++òò
(5)()f x ¢其中()21sin sin 0
00x x x f x x x ì+¹ï=íï=î
2.解答下列各题解答下列各题
(1)已知()()()()0
1,sin 3f f x f x xdx p p ¢¢=+=ò,求()0f (2)设f 在R 有定义且恒不为零.()0f ¢存在且对任何,x y 都有()()()f x y f x f y +=,求()(),f x f x ¢
(3)设S 为上半球面()2222
0x y z R z ++=³,函数f 在S 上连续且()()2221
,,,,f x y z R x y f x y z
d s p S =---òò,求(),,f x y z 3.证明以下各题证明以下各题
(1)设函数f 在区间(),-¥+¥上连续且()lim x f x ®+¥
存在且有限.试证f 在(),-¥+¥上有界上有界 (2)设1n n a ¥=å收敛,证明01!x n t n
n a t e dt n ¥
-=åò
在[)0,b (其中0b >上一致收敛上一致收敛 (3)设函数f 在区间[],a b 上连续且非负,证明()()()lim max b n n a n a x b f x dx f x ®+¥££=ò (4)设无穷积分()0f x dx +¥ò
收敛且极限()lim x f x A ®+¥=,证明:0A = (5)设函数f 在区间[],a b 上有二阶导数且()()0f a f b +-¢¢==,则必存在一点(),a b x Î使得()()()()24f f b f a b a x ¢¢³--
(6)设Q 为有理数集，()()1,,0x y Q D x y ìÎ=íî其他情况
证明证明
a .对任一()2
,a b R Î，极限()()(),,lim ,x y a b D x y ®都不存在都不存在 b .函数()()()()()2
2,,f x y x a y b D x y =-+-仅在点(),a b 处连续处连续。