长沙市长郡中学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试卷(答案解析)

一、选择题
1．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且
13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（ ）．
A ．
14
B ．
12
C ．
34
D ．1
2．如图，已知正四面体1234A A A A ，点5A ，6A ，7A ，8A ，9A ，10A 分别是所在棱中点，点P 满足4414243
A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=，记44min ||||A Q A P =，则当1i ≤，10j ≤且i j ≠时，数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是（ ）
A ．3
B ．5
C ．9
D ．21
3．如图，在四面体A BCD -中，已知AD a →
→
=，AB b →
→
=，AC c →
→
=，12
BE EC →
→
=，则
DE →
等于（ ）
A ．2133
a b c →
→→
-++
B ．2133a b c →
→→++ C ．2133a b c →→→-+ D ．2133
a b c →→→
-+
4．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，
则折叠后,A B 两点间的距离为（ ） A ．41B 41
C 17
D ．17
5．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．306
B ．
6 C ．
3
D ．6
6．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若
a b ⊥，a α⊥，b α⊄，则//b α；②若//a α，a β⊥，则αβ⊥；③若a β⊥，
αβ⊥，则//a α或a α⊂；④若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥．其中正确命题的
个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．以下四个命题中，正确的是（ ） A ．若11
23
OP OA OB =
+，则P 、A 、B 三点共线 B ．若{,,}a b c 为空间的一个基底，则{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底 C ．()a b c a b c ⋅=⋅⋅
D ．ABC 为直角三角形的充要条件是·0AB AC =
8．如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,AB a =,AD b =,1AA c =,M 是1
D D 的中点,点N 是1AC 上的点,且11
3
AN AC =
,用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )
A ．
1
2
a b c ++ B ．114
555a b c ++
C ．1315105
a b c --
D ．121336
a b c --
9．已知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若a 、b 、c 三向量共面，则实数
λ等于（ ）
A ．9
B ．
647
C ．
65
7
D ．
667
10．正四面体ABCD 的棱长为2，动点P 在以BC 为直径的球面上，则AP AD ⋅的最大值为（ ） A ．2
B ．23
C ．4
D ．43
11．下列结论中
①若空间向量()123,,a a a a =，()123,,b b b b =，则
3
12123a a a b b b ==是//a b
的充要条件； ②若2x <是x a <的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为2a <； ③已知α，β为两个不同平面，a ，b 为两条直线，m α
β=，a α⊂，b β⊂，
a m ⊥，则“αβ⊥”是“a
b ⊥”的充要条件；
④已知向量n 为平面α的法向量，a 为直线l 的方向向量，则//a n 是l α⊥的充要条件. 其中正确命题的序号有（ ） A ．②③
B ．②④
C ．②③④
D ．①②③④
12．已知ABC ，AB AC =，D 是BC 上的点，将ABD ∆沿AD 翻折到1AB D ∆，设点
A 在平面1
B CD 上的射影为O ，当点D 在B
C 上运动时，点O （ ）
A ．位置保持不变
B ．在一条直线上
C ．在一个圆上
D ．在一个椭圆上
13．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则直线1A E 与平面11B D F 所成角的正弦值是（ ） A ．
155
B ．
1510
C 5
D ．
3010
第II 卷（非选择题）
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参考答案
二、填空题
14．在三棱锥P -ABC 中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为________.
15．如图，已知平面α⊥平面β，l αβ=，∈A l ，B l ∈，AC α⊂，BD β⊂，
AC l ⊥，BD l ⊥，且4AB =，3AC =，12BD =，则CD =_________________.
16．设E ,F 是正方体1AC 的棱AB 和11D C 的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面
1A ECF 成60︒角的对角线的数目是______.
17．已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当0AP BP ⋅=取最小值时，点P 的坐标为__________．
18．正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为
22，则1AC 与1B C 所成的角为___________.
19．在棱长为9的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ，F 分别在棱AB ，DD '上，满足
2AE D E D
F
B F '==，点P 是DD '上一点，且//PB 平面CEF ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为______.
20．如图，矩形ABCD 中，1,AB BC a ==，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个
点Q 满足PQ DQ ⊥，则a 的值等于________.
21．设向量()1,2,a λ=，()2,2,1b =-，若4
cos ,9
a b =，则实数λ的值为________. 22．给出下列命题：
①直线l 的方向向量为a =（1，﹣1，2），直线m 的方向向量b =（2，1，﹣1
2
），则l 与m 垂直；
②直线l 的方向向量a =（0，1，﹣1），平面α的法向量n =（1，﹣1，﹣1），则l ⊥α；
③平面α、β的法向量分别为1n =（0，1，3），2n =（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A （1，0，﹣1），B （0，1，0），C （﹣1，2，0），向量n =（1，u ，t ）是平面α的法向量，则u+t=1.
其中真命题的是______．（把你认为正确命题的序号都填上）
23．如图所示，P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点，且OM xOA yOB zOC =++，则x y z ++=__．
24．如图，在正四棱锥V ABCD -中，二面角V BC D --为60°，E 为BC 的中点.已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为60°，则
VF
VA
=_____________.
25．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1B B ，CD 的中点，有以下命题： ①//MN 平面1A BD ；②1MN CD ⊥；③平面1A MN ⊥平面1A AC ， 则正确命题的序号为______.
26．在△ABC 中，A （1，﹣1，2），B （2，1，1），C （﹣1，2，3），若向量n 与平面ABC 垂直，且n ＝15，则n 的坐标为_____．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
利用空间向量的基本定理可计算得出1111
333
OG OA OB OC =
++，由已知条件可得出13
4OG OG =，进而可求得x 、y 、z 的值，由此可求得结果.
【详解】
如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，
1G 为ABC 的重心，可得12
3
AG AD =
， 而()()
111
222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=
+， ()
112212
3333
OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+=+-=+
()()
1211
3323
OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，
所以，1331111
11443334
44OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫=
=++=++ ⎪⎝⎭， 所以，14x y z ===，因此，3
4
x y z ++=. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：对于空间向量的基底分解的问题，一般需要利用向量的加减法法则进行处理，也可以借助一些相应的结论对运算进行简化.
2．B
解析：B 【分析】
由条件可知点P 在平面123A A A 上，并且由几何意义可知4A Q ⊥平面123A A A ，利用数量积的几何意义求4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数. 【详解】
条件“4414243A P xA A yA A zA A =++且
1x y z ++=”，说明点P 在平面123A A A 上，而44min ||A Q A P =说明Q 为平面123A A A 的中心，此时4A Q ⊥平面123A A A ，由向量数量积的
几何意义，i j A A 在4A Q 的投影有5种情况：0、41
||2
A Q ±
、4||A Q ±，∴数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是5，
故选：B ． 【点睛】
本题考查空间向量共面定理的应用，数量积的几何意义，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型.
3．A
解析：A 【分析】
利用向量三角形法则与向量共线定理可得：DE BE BD →
→
→
=-，13
BE BC →
→=，BC AC AB →→→
=-，
BD AD AB →→→
=-，代入即可得出．
【详解】
解：已知AD a →
→
=，AB b →
→
=，AC c →
→
=，12
BE EC →
→
=，
利用向量三角形法则和向量共线定理得出：
DE BE BD →
→
→
=-，13BE BC →
→=，BC AC AB →→→=-，BD AD AB →→→
=-，
∴1
12()()3
3
3
DE AC AB AD AB c a b →
→→→→
→→
→=---=-+，
即：2133
DE a b c →
→
→→
=-++.
故选：A. 【点睛】
本题考查向量的三角形法则和向量基本定理的应用，考查了推理能力．
4．D
解析：D 【分析】
画出图形，作,AC CD BD CD ⊥⊥，则6,8,4AC BD CD ===，可得
0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，故两异面直线,CA DB
所成的角为60︒，结合已知，即可求得答案. 【详解】
如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥
则6,8,4AC BD CD ===，
∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=
沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角
∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒．
可得：.cos6024CA DB CA DB ︒
⋅=⋅= 故由AB AC CD DB =++ 得22||||AB AC CD DB =++
222
2+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅=
222
2+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB +++⋅⋅-⋅=
36166448=++-
68=
||17AB ∴=故选：D. 【点睛】
本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
5．D
解析：D 【分析】
根据三棱柱的边长和角度关系，设棱长为1，分别求得AB AC ⋅、1AB AA ⋅、1AC AA ⋅的数量积，并用1,,AA AC AB 表示出1AB 和1BC ，结合空间向量数量积的定义求得
11AB BC ⋅，再求得1AB 和1BC ，即可由向量的夹角公式求得异面直线1AB 与1BC 所成角
的余弦值. 【详解】
三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，设棱长为1，
则111cos602AB AC ⋅=⨯⨯︒=
，1111cos602
AB AA ⋅=⨯⨯︒=，
1111cos602
AC AA ⋅=⨯⨯︒=
. 11AB AB AA =+，11BC AA AC AB =+-，
所以()()
1111AB BC AB AA AA AC AB ⋅=+⋅+-
22
1111AB AA AB AC AB AA AA AC AA AB =⋅+⋅-++⋅-⋅
11111112222
=
+-++-= 而(
)
2
22
11
1
123AB AB AA AB AB AA AA =
+=+⋅+=，
()
2
11
1
BC AA AC AB =
+-==，
所以111111
cos 6
2AB BC AB BC AB BC ⋅<⋅>==
=⋅， 故选：D. 【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算，空间向量数量积的定义与运算，异面直线夹角的向量求法，属于中档题.
6．D
解析：D 【分析】
设直线a ，b 的方向向量分别为11,a b ，α，β的法向量分别为11,n m ，将各选项中的题设条件转化为向量的关系后可得相应的结论是否成立. 【详解】
对于①，因为a b ⊥，a α⊥，故11a b ⊥，11a n λ=，故11n b ⊥，因b α⊄，故//b α， 故①正确.
对于②，因为//a α，a β⊥，故11a n ⊥，11a m λ=，故11n m ⊥即αβ⊥，故②正确. 对于③，因为a β⊥，αβ⊥，故11a m λ=，11n m ⊥，故11n a ⊥即//a α或a α⊂， 故③正确.
对于④, 因为a b ⊥，a α⊥，b β⊥，故11a b ⊥，11a n λ=，11b m μ=， 故11n m ⊥即αβ⊥，故④正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，此类问题一般是根据位置关系的判定定理和性质定理来考虑，也可以利用直线的方向向量和法向量的关系来判断位置关系，本题属于中档题.
7．B
解析：B 【分析】
对于A ,P ，A ， B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，故A 不正确；
对于B ， ,,a b b c c a +++不共线，所以 {,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故
B 正确；
对于C ，设,a b θ<>=，则|()||||||||cos |a b c a b c θ=，故C 不正确；
对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，反之也可以是B ，C ∠为直角，故D 不正确. 【详解】
对于A ,P ，A ， B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，
11
23
OP OA OB =+，
P ∴，A ，B 三点共线不成立，故A 不正确；
对于B ，若{,,}a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共线，∴,,a b b c c a +++不共线，
∴{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故B 正确；
对于C ，设,a b θ<>=，则|()||||||||cos |a b c a b c θ=，故C 不正确；
对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，故ABC ∆为直角三角形，反之也可以是B ，C ∠为直角，故D 不正确. 故选：B 【点睛】
本题主要考查命题真假的判断，考查向量共线的条件，考查向量的数量积的计算，考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
8．D
解析：D 【分析】
在平行六面体1111ABCD A B C D -中根据空间向量的加法合成法则,对向量MN 进行线性表示,即可求得答案. 【详解】 连接1C M
113
AN AC = 可得:1123
C N C A = ()111AC AA AC AA A
D AB c a b =+=++=++ ∴1122223333C N C A c a b =
=---
又112
C M a c =-- ∴11MN C N C M =-
22213332c a b a c ⎛⎫=------ ⎪⎝⎭ 121336
a b c --= ∴121336
a b N c M =-- 故选: D.
【点睛】
本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题. 9．C
解析：C
【分析】
由题知，a 、b 、c 三个向量共面,则存在常数,p q ，使得c pa qb =+，由此能求出结果.
【详解】
因为()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，且a 、b 、c 三个向量共面, 所以存在,p q 使得c pa qb =+.
所以()()7,5,2,4,32p q p q p q λ=--+- ，
所以274532p q q p p q λ-=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩
， 解得331765,,32777
p q p q λ=
==-= . 故选:C.
【点睛】
本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算. 10．C
【分析】
建立空间坐标系，设(),,P x y z ，求出AP AD ⋅关于,,x y z 的表达式，根据球的半径得出,,x y z 的取值范围，利用简单的线性规划得出答案.
【详解】
设BC 的中点为M ，以M 为原点建立如图所示的空间坐标系，
则()326,0,,
3,0,0A D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设(),,P x y z ，则326,,AP x y z ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，2326,0,AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
23262AP AD x z ∴⋅=-+， P 在以M 为球心，以1为半径的球面上，
2221x y z ∴++=，
01y ≤≤，2201x z ≤+≤，
23262x z m +=， 则直线
23262033x z m -+-=与单位圆221x z +=相切时，截距取得最小值， 2221232633m
-=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0m =或4m =
∴AP AD ⋅的最大值为4.
【点睛】
本题考查了空间向量的数量积以及简单的线性规划，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于难题.
11．B
解析：B
【分析】
①由112233//,,()a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔=⇔===∈可判断①不正确; ②由2x <是x a <的必要不充分条件,可得{|2}x x < {|}x x a <,从而得到2a <正确; ③根据面面垂直的性质和判定定理即可判断;
④结合利用法向量与方向向量的定义即可判断.
【详解】
解:①空间向量()123,,a a a a =,()123,,b b b b =,则
112233//,,()a b a b a b a b a b R λλλλλ⇔=⇔===∈, 所以312123a a a b b b ==是//a b
的充要条件错误,故①不正确; ②若2x <是x a <的必要不充分条件,则{|2}x x < {|}x x a <,
所以2a <,故②正确;
③若αβ⊥,则由条件可得a β⊥,又b β⊂,所以a b ⊥;
若a b ⊥,则根据条件得不到αβ⊥,故③不正确;
④若//a n ,则a α⊥,因为a 为直线l 的方向向量,所以l α⊥;
若l α⊥,则a α⊥,因为n 为平面α的法向量,所以//a n ,故④正确.
综上,正确命题的序号为②④.
故选:B .
【点睛】
本题考查了空间向量平行的充要条件,利用必要不充分条件求参数范围,平面与平面垂直的判定和利用法向量与方向向量判定平行和垂直关系,属中档题.
12．C
解析：C
【分析】
为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，取BC 中点M ，利用AO OC ⊥，AO OM ⊥即可得到轨迹方程.
【详解】
为计算简便，不妨设ABC 为等腰直角三角形，令2BC =，且令190B DC ∠=︒， 以BC 中点M 为空间原点，MA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设(02)BD a a =<<，12B A BA =(,,)O x y z ，
则()010C ，，，(001A ，，），(000M ，，），()0,1,0D a -，
所以(AO x =，
y ，1z -)，(),1,CO x y z =-，(),,MO x y z =， 因为AO OC ⊥，所以()()2
110AO CO x y y z z ⋅=+-+-=， 同理AO OM ⊥，所以()22
10AO MO x y z z ⋅=++-=， 两式相减得0y =，代入得()2221
11()24
x z z x z +-=+-=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查点的轨迹方程，考查空间向量位置关系等，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．
13．D
解析：D
【分析】
设正方体棱长为2，以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求得
1(0,1,2)A E =-和平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
设正方体棱长为2，分别以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
则111(0,0,2),(0,1,0),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)A E B D F ，
所以1111(0,1
,2),(2,2,0),(2,0,1)A E B D B F =-=-=-.
设平面11B D F 的法向量为(,,)n x y z =，
则1110,0,n B D n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即220,20,x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，则1,2y z ==， 即平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =.
设直线1A E 与平面11B D F 所成角为θ， 则1130sin 1030
n A E n A E θ⋅=
==⋅. 故选D.
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、填空题
14．【分析】首先可证平面PAC 则BD 与平面PAC 所成角为所以当D 为PC 的中点时取得最大值如图建立空间直角坐标系利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：因为PAABAC 两两垂直所以平面PAC 则BD 与
311 【分析】
首先可证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，所以当D 为PC 的中点时ADB ∠取得最大值，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
【详解】
解：因为PA ，AB ，AC 两两垂直，PA AC A =
所以AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，
所以3tan AB ADB AD AD
∠==，
当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值在等腰Rt PAC △中，
当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，以A 为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，
则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ，
则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC =-，(3,2,0)BC =-，
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=，
即220320
y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令3y =，得(2,3,3)n =. 因为311cos ,11222
n AD 〈〉==⨯， 所以AD 与平面PBC 311. 311 【点睛】 (1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
15．13【分析】根据面面垂直得线面垂直进而得再根据向量模的平方求得结果
【详解】因为平面平面所以因为所以故答案为：13【点睛】本题考查面面垂直性质定理利用空间向量求线段长考查基本分析论证与求解能力属中档题 解析：13
【分析】
根据面面垂直得线面垂直，进而得AC BD ⊥,再根据向量模的平方求得结果.
【详解】
因为平面α⊥平面β，l αβ=，AC α⊂,AC l ⊥，所以AC β⊥，
因为BD β⊂，所以AC BD ⊥，
CD CA AB BD =++
2222
222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD ∴=+++⋅+⋅+⋅
2222341200013||13CD =+++++=∴= 故答案为：13
【点睛】
本题考查面面垂直性质定理、利用空间向量求线段长，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
16．【分析】由于平面不是特殊的平面故建系用法向量求解以为原点建系正方体三边为坐标轴求出平面的法向量求解面对角线和的夹角即可求得答案【详解】以点为原点所在直线为轴所在直线为轴所在直线为轴设正方体棱长为2如 解析：4
【分析】
由于平面1A ECF 不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以D 为原点建系,正方体三边为坐标轴,求出平面1A ECF 的法向量n ,求解面对角线和n 的夹角,即可求得答案.
【详解】
以点D 为原点,AD 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,1DD 所在直线为z 轴
设正方体棱长为2,如图:
则(2,0,0),(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A D B C
1111(2,0,2),(2,2,2,),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ,(2,1,0),(0,1,2)E F
∴ 1(2,1,0),((0,1,2),(2,2,0)EC A E AC =-==-
1
(2,2,0),(2,0,2)BD BC =--=-- 11(0,2,2),(0,2,2)B A A B =--=-
当面对角线与截面
1A ECF 成60︒角,
∴ 需保证直线与法向量的夹角为30︒,即其余弦值
32± 设平面1A ECF 的法向量(,,)n x y z = 100n EC n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
可得:2020y z x y -=⎧⎨-+=⎩ ,取2y = ∴ (1,2,1)n = ,则||6n =
33cos ,62||||86
n AC AC n n AC ⋅<>===≠±⋅⋅ 3cos ,86BD n <>=
=-⨯ 13cos ,86B C n <>=
≠±⋅ 13cos ,286
B A n <>==-⋅ 13cos ,286
A B n <>=≠±⨯ 当两条面对角线平行时,求解其中一条与面1A ECF 的法向量n 夹角即可.
平面11AA D D 中1AD 与EF 平行,故不符合题意.
综上所述,符合题意的面对角线为:1111,,,BD B D AB DC 共4条.
故答案为:4.
【点睛】
本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题. 17．(00)【分析】设P(x00)求出·＝x(x －1)＋2＝(x －)2＋再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P 的坐标【详解】设P(x00)则＝(x －1－20)＝(x －11)·＝x(x －1)＋2＝(x －
解析：(
12
，0,0) 【分析】 设P (x,0,0)，求出
·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋，再利用二次函数求出函数的最小值和此
时点P 的坐标.
【详解】
设P (x,0,0)，则＝(x －1，－2,0)，＝(x ，－1,1)， ·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋，
∴当x ＝时，·取最小值，此时点P 的坐标为(，0,0)． 故答案为(
12
，0,0) 【点睛】 (1)本题主要考查空间向量的坐标表示和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 111222121212(,,),(,,),a x y z b x y z a b x x y y z z ==⋅=++.
18．【分析】作出图形分别取的中点连接以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得异面直线与所成的角【详解】分别取的中点连接如下图所示：在正三棱柱中平面且分别为的中点且所以四边形为 解析：3
π 【分析】
作出图形，分别取AC 、11A C 的中点O 、E ，连接OE 、OB ，以点O 为坐标原点，OB 、OC 、OE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1AC 与1B C 所成的角.
【详解】
分别取AC 、11A C 的中点O 、E ，连接OE 、OB ，如下图所示：
在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，11//AC A C 且11AC A C =，
O 、E 分别为AC 、11A C 的中点，1//AO A E ∴且1AO A E =，
所以，四边形1AOEA 为平行四边形，1//OE AA ∴，则OE ⊥平面ABC ，
ABC 为等边三角形，O 为AC 的中点，则OB AC ⊥，
以点O 为坐标原点，OB 、OC 、OE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，
则()0,1,0A -、()0,1,0C 、13,0,22B 、(10,1,22C ，
(1AC =
，(1B C =--， 1111111cos ,22AC B C
AC B C AC B C ⋅<>===-⋅， 因此，1AC 与1B C 所成的角为
3π. 故答案为：
3
π. 【点睛】 方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
19．【分析】以为原点分别为轴建立空间直角坐标系设由平面可得P 点的坐标根据四棱锥的特点可得外接球的直径可得答案【详解】以为原点分别为轴建立空间直角坐标系由则设设平面的法向量为则即不妨令则得因为平面所以即解 解析：178π
【分析】
以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)P t ，由//PB 平面CEF 可得P 点的坐标，根据四棱锥P ABCD -的特点可得外接球的直径可得答案.
【详解】
以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
(0,0,0)D ，由2AE D E D
F B F '==， 则(9,6,0),(0,9,0)E C ，(0,0,3)F ，(9,9,0)B ，设(0,0,)P t ，
∴()9,3,0EC =-， ()0,9,3CF =-，()9,9,PB t =-
设平面FEC 的法向量为(),,n x y z =，
则·0·
0n EC n CF ⎧=⎨=⎩，即930930x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令3z =，则11,3y x ==， 得1,1,33n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，因为//PB 平面CEF ， 所以0PB n ⋅=，即1919303
t ⨯+⨯-=，解得4t =， 所以(0,0,4)P ，
由PD ⊥平面ABCD ，且底面是正方形，
所以四棱锥P ABCD -外接球的直径就是PB ，
由()9,9,4PB =-，得229
916178PB =++=，
所以外接球的表面积2
41782PB S ππ⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭
. 故答案为：178π.
【点睛】
本题考查了四棱锥外接球的表面积的求法，关键点是建立空间直角坐标系，确定球的半径，考查了学生的空间想象力和计算能力.
20．【详解】连接AQ 取AD 的中点O 连接OQ ∵PA ⊥平面
ABCDPA ⊥DQPQ ⊥DQ ∴DQ ⊥平面PAQ 所以DQ ⊥AQ ∴点Q 在以线段AD 的中点O 为圆心的圆上又∵在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ ⊥DQ ∴BC 与
解析：2
【详解】
连接AQ ，取AD 的中点O ，连接OQ ．
∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊥DQ ，PQ ⊥DQ ，
∴DQ ⊥平面PAQ ，所以DQ ⊥AQ ．
∴点Q 在以线段AD 的中点O 为圆心的圆上，
又∵在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ ⊥DQ ，
∴BC 与圆O 相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）
∴OQ ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴OQ =AB =1，∴BC =AD =2，
即a =2．
故答案为：2．
考点：直线与平面垂直的性质．
21．或【分析】由公式结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数的方程解出该方程可得出实数的值【详解】则解得或故答案为或【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列 解析：2或1227-
. 【分析】 由公式4cos ,9a b
a b a b ⋅==⋅结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数λ的方程，解出该方程可得出实数λ的值. 【详解】
()1,2,a λ=，()2,2,1b =-，246a b λλ⋅=+-=-，25a λ=+，3b =， 24cos ,953a b
a b a b λ⋅===+⨯⋅，则606λλ->⇒<，解得2λ=或1227
-. 故答案为2或1227
-
. 【点睛】 本题考查空间向量数量积的坐标运算，解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.
22．①④【解析】则则直线与垂直故①正确则则或故②错误与不共线不成立故③错误点向量是平面的法向量即解得故④正确综上所述其中真命题是①④点睛：本题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用①求数量积利用数量积进
解析：①④
【解析】
()112a =-，，，1212b ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，，，则11211202a b ⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪⎝⎭
则a b ⊥，∴直线l 与m 垂直，故①正确
()011a =-，，，()111n =--，，，则()()()0111110a n =⨯+⨯-+-⨯-=
则a n ⊥，l α∴或l α⊂，故②错误
()1013n ，，=，()2102n =，
，，1n ∴与2n 不共线， αβ∴不成立，故③错误
点()1
01A -，，，()010B ，，，()120C -，， ()111AB ∴=-，，，()11
0BC =-，， 向量()1
n u t =，，是平面α的法向量 00
n AB n BC ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，即1010u t u -++=⎧⎨-+=⎩，解得1u t +=，故④正确 综上所述，其中真命题是①，④
点睛：本题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用．①求数量积a b ，利用数量积进行判断，②求数量积a n ，利用数量积进行判断，③求利用1n 与2n 的关系进行判断，④利用法向量的定义判断，即可得到答案．
23．【分析】用向量表示就能找到的值进而算出答案【详解】解：因为分别是四面体的边的中点是靠近的三等分点所以所以故答案为：【点睛】本题考查空间向量的表示考查空间向量加法法则等基础知识考查运算求解能力考查数形 解析：23
【分析】
用向量OA ，OB ，OC 表示OM ，就能找到x ，y ，z 的值，进而算出答案．
【详解】
解：因为P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点， 所以1111()2323
OM OP PM OA PQ OA PA AB BQ =+=+=+++， 1111()2322
OA OA OB OA BC =++-+， 1111(())2322
OA OA OB OA OC OB =++-+-， 111366
OA OB OC =++， 所以13x =，16
y =，16z =， 11123663
x y z ++=++=，
故答案为：23． 【点睛】 本题考查空间向量的表示，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 24．11【分析】由题意建立空间直角坐标系由二面角的定义得出从而写出的坐标由向量共线的性质设利用向量的加法得出由异面直线与所成角利用向量法得出的值从而得出的值【详解】取的中点G 与的交点为以O 为坐标原点分别 解析：11
【分析】
由题意建立空间直角坐标系，由二面角的定义得出60OEV ∠=︒，从而写出,,,V E B A 的坐标，由向量共线的性质设(1)VF VA λλ=≠，利用向量的加法得出BF ，由异面直线BF 与VE 所成角，利用向量法得出λ的值，从而得出
VF VA
的值. 【详解】 取AB 的中点G ，AC 与DB 的交点为O ，以O 为坐标原点，分别以,,OG OE OV 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =
因为二面角V BC D --为60°，所以60OEV ∠=︒
则
()()()()
0,0,3,0,1,0,1,1,0,1,1,0V E B A -()()()1,1,3,1,1,3,0,1,3VA VB VE =--=-=-.
设(1)VF VA λλ=≠，则()1,1,33BF VF VB λλλ=-=----+
从而22||cos ,cos 60||||24(1)(1)
BF VE BF VE BF VE λλ⋅===︒-++ 整理得210110λλ+-=，解得1λ=(舍)，11λ=-
故11VF VA
=. 故答案为：11
【点睛】
本题主要考查了已知面面角，线线角求参数，属于中档题.
25．①②【分析】建立如图所示的空间直角坐标系把空间中的平行垂直关系归结为方向向量法向量之间的关系后可得正确的选项【详解】建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为2则故所以故所以故②正确又设平面的法向 解析：①②
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，把空间中的平行、垂直关系归结为方向向量、法向量之间的关系后可得正确的选项.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则()()()()2,0,0,0,0,0,0,2,0,2,2,0A D C B ，
()()()()11112,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2A D C B ，
故()()2,2,1,0,1,0M N ，所以()2,1,1MN =---，()10,2,2CD =-，
故10MN CD ⋅=，所以1MN CD ⊥，故②正确.
又()2,2,0DB =，()12,0,2DA =，设平面1
A BD 的法向量为(),,n x y z =， 由100n D
B n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00
x y x z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()1,1,1n =--， 因为0MN n ⋅=且MN ⊄平面1A BD ，故//MN 平面1A BD ，故①正确.
又()10,2,1A M =-，设平面1
A MN 的法向量为(),,m x y z =， 由100m MN m A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020
x y z y z ---=⎧⎨-=⎩，取1y =，则3,1,22m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 平面1A AC 的法向量为()2,2,0a =，则0m a ⋅≠
故平面1A MN ⊥平面1A AC 不成立，
故③错，
故答案为：①②.
【点睛】
本题考查空间中平行关系、垂直关系的判断，注意根据几何体的特征建立合适的空间直角坐标系后再利用空间向量来处理，本题属于中档题.
26．（57）或（﹣5﹣7）【分析】求出23设向量与平面垂直列出方程组能求出结果【详解】∵在△ABC 中A （1﹣12）B （211）C （﹣123）∴（12﹣1）（﹣231）设∵向量与平面ABC 垂直∴解得∵∴1
解析：n =（，n =（﹣，，﹣
【分析】
求出(1AB =，2，1)-，(2AC =-，3，1)，设(n x =，y ，)z ，向量n 与平面ABC 垂直，15n =，列出方程组能求出结果．
【详解】
∵在△ABC 中，A （1，﹣1，2），B （2，1，1），C （﹣1，2，3），
∴AB =（1，2，﹣1），AC =（﹣2，3，1），
设(),,n x y z =
∵向量n 与平面ABC 垂直，
∴20
230n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=+-=⎨⋅=-++=⎩，解得57x y z y =⎧⎨=⎩
，
∵15n =，∴
=15，
解得3y =，x = 73z =或y =x =- z =-
∴(53,n =或(53,n =--．
【点睛】
本题考查向量的坐标的求法，考查向量与平面垂直、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．。