陕西省西安市第十二中学2021年高三数学理联考试卷含解析

陕西省西安市第十二中学2021年高三数学理联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，若当时，有解，则m的取值范围为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
求得函数的导数，得到函数的单调性，以及的取值，再由导数的几何意义，即可求解。

【详解】由题意，函数，则导数，
所以函数在上递减，在上递增，
当时，，又由，，，
当时，有解，即函数和的图象有交点，如图所示，
又因为在点的切线的斜率为，所以．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及方程的有解问题，着重考查了转化与化归思想、数形结合思想和推理、运算能力，对于方程的有解问题，通常转化为两个函数图象的交点个数，结合图象求解．
2. 一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成米,米,米,…,米或米；
(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成；
(3)当设置的步长为米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔秒．
则这个机器人跑米(允许超出米)所需的最少时间是【】.
A.秒
B.秒
C.
秒 D.秒
参考答案：
A
易知：当设置的步长为米时，所需时间最少，此时迈步动作间隔27次，所以所需时间为秒。

3. 设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）
A．B．C．D．3
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．
【解答】解：将y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后为
=，
所以有=2kπ，即，
又因为ω＞0，所以k≥1，
故≥，
故选C
【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．
4. 已知为实数，且，则“”是“”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件.
参考答案：
B
略
5. 在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是
（）
A．B． C．
D．
参考答案：
A
略
6. 已知，则（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
7. （5分）（2015?嘉兴一模）设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则（?U A）∪B=（）
A．? B． {1，2，3，4} C． {2，3，4} D． {0，11，2，3，4}
参考答案：
C
【考点】：交、并、补集的混合运算．
【专题】：集合．
【分析】：根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．
解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，
∴?U A={3，4}，则（?U A）∪B={2，3，4}，
故选：C．
【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
8. 已知为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是 ( ) A． B． C． D．
参考答案：
C
略
9. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则( )
(A)a＝13 (B)a＝12 (C)a＝11 (D)a＝10
参考答案：
C
10. 已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?R A)∩B＝()
A．{－2，－1}B．{－2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d (cm)表示成t (秒)的函数，则d=______________其中
参考答案：
12. 如图，在平面四边形ABCD 中，，
，
，
.若点E
为边CD 上的动点，则
的最小值为
．
参考答案：
连接，
已知
， ，
又
，
，
设
，
，
当时，
有最小值，故答案为.
13. 若函数f (x)=在(0，3)上单调递增，则a ∈ 。

参考答案：
答案：
14. 过椭圆
的左焦点
作轴的垂线交椭圆于点
，
为右焦点，若
，则椭圆的离心率为 .
参考答案：
15. 曲线C 的极坐标方程是ρ=1+cos θ，点A 的极坐标是(2,0)，曲线C 在它所在的平
面内绕A 旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______。

参考答案：
π
解：只要考虑|AP |最长与最短时所在线段扫过的面积即可．
设P (1+cos θ，θ)，
则|AP |2
=22
+(1+cos θ)2
－2·2(1+cos θ)cos θ=－3cos 2
θ－2cos θ+5
=－3(cos θ+)2+≤．且显然|AP |2
能取遍[0，]内的一切值，故所求面积=π．
16. 设椭圆
的左、右焦点分别为是上的点，
,则
的离心率为
参考答案：
17. 若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ． 参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 若函数，.
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.
参考答案：
（Ⅰ）的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值；（Ⅱ）证明见解析．
.……………………1分
由解得.与在区间上的情况如下：
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；………………4分
在处取得极小值.………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.
因为存在零点，所以，从而.……………………8分
考点：用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点．
【名师点睛】1.导数法求函数单调区间的一般流程:
求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性
当f(x)不含参数时,也可通过解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间.
2．零点存在定理：函数在上有定义，若，则在上至少有一个零点．如果函数在还是单调的，则零点是唯一的．
19. 如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米,滴管内液体忽略不计.
（1）如果瓶内的药液恰好分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？
（2）在条件(1)下,设输液开始后（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为（单位：厘米），已知当时，.试将表示为的函数.（注）
参考答案：
【解】（1）设每分钟滴下（）滴，………………1分
则瓶内液体的体积………………3分
滴球状液体的体积………………5分
所以，解得，故每分钟应滴下滴。

………………6分
（2）由（1）知，每分钟滴下药液………………7分
当时，，即，此时………10分
当时，，即，此时………13分
综上可得………………14分
略
20. （本小题满分10分）已知等差数列的前n项和为，且．数列的前n项和为，且，．
（Ⅰ）求数列,的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
参考答案：
【答案解析】(I) ,(II)
解析：解：（Ⅰ）由题意，，得．，
，，两式相减，得数列为等比数列，．
（Ⅱ）
．
【思路点拨】根据已知条件求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的和.
21. 函数y＝()|x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？
参考答案：
因为|x|＝，
故当x ≥0时，函数为y ＝()x ；
当x <0时，函数为y ＝(
)－
x ＝2x ，其图象由y ＝(
)x (x ≥0)和y ＝2x (x <0)的图象合并而成．而y
＝()x (x ≥0)和y ＝2x (x <0)的图象关于y 轴对称，所以原函数图象关于y 轴对称．由图象可知值域是(0,1，递增区间是(－∞，0，递减区间是0，＋∞)．
22. （本小题满分13分）已知函数，
的图象经过
和
两点，如图
所示，且函数
的值域为
.过该函数图象上的动点作轴的垂线，垂足为
，连接
.（I ）求函数的解析式；
（Ⅱ）记
的面积为
，求
的最大值.
参考答案：。