2021届高考数学一轮基础反馈训练：第九章第2讲古典概型

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2021高考总复习(北师大版)数学(文)【配套课件】第九章第二节古典概型(28张PPT).ppt

号和不小于 15 的概率为
()
1
1
A.32
B.64
C.332
D.634
解析：试验所有结果为(1,1)，(1,2)，…，(1,8)，(2,1)， (2,2)，…，(8,8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有答三案种：，D分别为(7,8)，(8,7)，(8,8)，∴所求概率为634.
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第二节古典概型结束
2．(2013·温州调研)一个袋子中有 5 个大小相同的球，其中有 3
个黑球与 2 个红球，如果从()
1
3
A.5
B.10
C.25
D.12
解析：共有(黑 1，黑 2)、(黑 1，黑 3)、(黑 1，红 1)、(黑 1，
红 2)、(黑 2，黑 3)、(黑 2，红 1)、(黑 2，红 2)、(黑 3，红 1)、
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第二节古典概型结束
连续取两次都是白球的结果有：(白1，白1)，(白1，白2)， (白2，白1)，(白2，白2)，共4个，故所求概率为146＝14. (2)连续取三次的结果有：(红，红，红)，(红，红，白1)， (红，红，白2)，(红，红，黑)；(红，白1，红)，(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白1，黑)，…，共64个．因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0 分，若连续取三次，则分数之和为4分的结果如下：
其中当直线 y＝kx＋b 不经过第二象限时应有 k＞0，b＜0，
一共有 2×2＝4 种，所以所求概率为49. 答案：C
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高考数学一轮知识点各个击破第九章第二节古典概型追踪训练文(含解析)新人教A版

第九章第二节古典概型一、选择题1．在2011年深圳世界大学生运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为 ( )A.310B.58 C.710D.252．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( )A.110B.18C.16D.153．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 ( )A.110B.310C.35D.9104．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )A.13B.12C.23D.345．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是 ( )A.16 B.13 C.12D.346．从x 2m －y 2n＝1(其中m ，n ∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12 B.47 C.23D.34二、填空题7．某商场举行抽奖活动，从装有编号为0,1,2,3的四个小球的抽奖箱中同时取出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，则中奖的概率为________．8．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________．9.在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA ，OB ，OC ，OD 的中点．在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F .设G 为满足向量OG u u u r ＝ OE u u u r ＋ OF u u u r的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为__________．三、解答题10．已知集合A ＝{－2,0,1,3}，在平面直角坐标系中，点M 的坐标(x ，y )满足x ∈A ，y ∈A .(1)请列出点M 的所有坐标； (2)求点M 不在y 轴上的概率；(3)求点M 正好落在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5<0x >0y >0上的概率．11．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．12．某班级有数学、自然科学、人文科学三个兴趣小组，各有三名成员，现从三个小组中各选出一人参加一个座谈会．(1)求数学小组的甲同学没有被选中、自然科学小组的乙同学被选中的概率；(2)求数学小组的甲同学和自然科学小组的乙同学中至少有一人没有被选中的概率．详解答案一、选择题1．解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝310.答案：A2．解析：在正六边形中，6个顶点选取4个，共有15种结果．选取的4点能构成矩形只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，故所求概率为315＝15.答案：D3．解析：从3个红球、2个白球中任取3个，根据穷举法，可以得到10个基本事件，其中没有白球的取法只有一种，因此所取的3个球中至少有1个白球的概率P＝1－P(没有白球)＝1－110＝910.答案：D4．解析：记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P (A )＝39＝13.答案：A5．解析：要使△ABC 有两个解，需满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >b sin A b >a，因为A ＝30°，所以⎩⎪⎨⎪⎧b <2ab >a，满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16.答案：A6．解析：当m ＝－1，n ＝－1时，表示焦点在y 轴上的双曲线；当m ＝2，n ＝2,3时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＝3，n ＝2,3时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当m ＝2，n ＝－1时，表示椭圆；当m ＝3，n ＝－1时，表示椭圆．∴方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为P ＝47.答案：B 二、填空题7．解析：同时取出两个小球的取法有6种：(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)．两个小球号码相加之和等于1的取法有1种：(0,1)，两个小球号码相加之和等于2的取法有1种：(0,2)，故所求概率P ＝1－26＝23.答案：238．解析：若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人在最后一个小时游览的景点可能为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件，所以所求的概率为16.答案：169. 解析：基本事件的总数是4×4＝16，在 OG u u u r ＝ OE u u u r ＋ OF u u u r 中，当 OG u u u r ＝ OP u u u r＋OQ u u u r ， OG u u u r ＝ OP u u u r ＋ ON u u u r ， OG u u u r ＝ON u u u r ＋ OM u u u u r ， OG u u u r ＝OM u u u u r ＋ OQ u u u r时，点G 分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G 在平行四边形的边界上，而其余情况中的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.答案：34三、解答题10．解：(1)∵集合A ＝{－2,0,1,3}，点M (x ，y )的坐标x ∈A ，y ∈A ，∴M 的坐标共有：4×4＝16个，分别是：(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,3)；(0，－2)，(0,0)，(0,1)，(0,3)；(1，－2)，(1,0)，(1,1)，(1,3)；(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)．(2)点M 不在y 轴上的坐标共有12种：(－2，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,3)；(1，－2)，(1,0)，(1,3)；(3，－2)，(3,0)，(3,1)，(3,3)，所以点M 不在y 轴上的概率是P 1＝1216＝34.(3)点M 正好落在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5<0x >0y >0上的坐标共有3种：(1,1)，(1,3)，(3,1)故M 正好落在该区域上的概率为P 2＝316.11．解：(1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )(C ，F )共9种，从中选出的两名教师性别相同的结果有：(A ，D )(B ，D )(C ，E )(C ，F )共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P ＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )(A ，C )(A ，D )(A ，E )(A ，F )(B ，C )(B ，D )(B ，E )(B ，F )(C ，D )(C ，E )(C ，F )(D ，E )(D ，F )(E ，F )共15种，从中选出两名教师来自同一学校的结果有： (A ，B )(A ，C )(B ，C )(D ，E )(D ，F )(E ，F )共6种，选出的两名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25.12．解：我们把数学小组的三位成员记作S 1，S 2，S 3，自然科学小组的三位成员记作Z 1，Z 2，Z 3，人文科学小组的三位成员记作R 1，R 2，R 3，则有S 1的基本事件为(S 1，Z 1，R 1)，(S 1，Z 1，R 2)，(S 1，Z 1，R 3)，(S 1，Z 2，R 1)，(S 1，Z 2，R 2)，(S 1，Z 2，R 3)，(S 1，Z 3，R 1)，(S 1，Z 3，R 2)，(S 1，Z 3，R 3)，然后把这9个基本事件中的S 1换成S 2，S 3，又各得9个基本事件，故基本事件的总数是27个．用S 1表示数学小组中的甲同学，Z 1表示自然科学小组中的乙同学．(1)“数学小组的甲同学没有被选中，自然科学小组的乙同学被选中”的基本事件是上述基本事件中不含S 1，含有Z 1的基本事件，即(S 2，Z 1，R 1)，(S 2，Z 1，R 2)，(S 2，Z 1，R 3)，(S 3，Z 1，R 1)，(S 3，Z 1，R 2)，(S 3，Z 1，R 3)共6个，故所求的概率为627＝29.(2)“数学小组的甲同学和自然科学小组的乙同学中至少有一人没有被选中”的对立事件是“数学小组的甲同学和自然科学小组的乙同学都被选中”，这个对立事件所包含的基本事件为(S 1，Z 1，R 1)，(S 1，Z 1，R 2)，(S 1，Z 1，R 3)，共3个，概率是327＝19，根据对立事件的概率计算公式，得所求的概率是1－19＝89.。

2021届新高考数学一轮课件：第九章+第2讲+古典概型

后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡
片上的数的概率为( )
A.110
B.15
C.130
D.25
解析：从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)， 25 种情形，
(2)①从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}， {B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D， E}，{D，F}，{E，F}共 15 种.
②方法一，由表格知，符合题意的所有可能结果为 {A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}， {B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共 11 种.
性较小，常与统计结合命题，因此，复习生的概率
时要加强与统计相关的综合题的训练，注
重理解问题、分析问题、解决问题能力的
提升，努力提高解决综合问题的能力
1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型： (1)试验中所有可能出现的基本事件有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等.
此问题中含有 36 个等可能基本事件. ①由点 P 落在直线 x＋y－7＝0 上，得 m＋n＝7，有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共 6 种，概率为

高三数学一轮复习课件：第九章第二节古典概型

学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为( 1 A. 12 ) 1 B. 9 5 C. 36 1 D. 6
解析：先后投掷两次骰子的结果共有6×6＝36种．以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共 3 1 3种，故所求概率为＝ . 36 12
等可能性
.
A包含的基本事件的个数 m 基本事件的总数 P(A)＝＝n.
[小题诊断] 1．(2018· 太原模拟)下列概率模型中，古典概型的个数为( ①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； ②向正方形ABCD内随机抛掷一点P，求点P恰与点O重合的概率； ③从1,2,3,4四个数中任取两个数，求所取两数之积是2的概率； ④在[0,5]上任取一个数x，求x<2的概率． A． 0 C． 2 B． 1 D． 3 )
5．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 1 5 ________ ．
解析：从五个数中任意取出两个数的可能结果有(1,2)，(1,3)， (1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10 2 个，其中“和为5”的结果有(1,4)，(2,3)，故所求概率为＝ 10 1 . 5
1 13 解析：∵P(A)＝，P(B)＝， 52 52 1 13 14 7 ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝ . 52 52 52 26
核心考点互动探究
题组练通
1．(2018· 邯郸模拟)口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3 个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意取出1个球，则2次取出的球颜色不同的概率是( 2 A. 9 2 C. 3 1 B. 3 8 D． 9 )

2021届高三北师大版数学(文)一轮复习课时规范练：第九章第二节古典概型

第九章概率、统计与统计案例第二节古典概型课时规范练A组——基础对点练1．某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为()A.112 B.19C.536 D.16解析：先后投掷两次骰子的结果共有6×6＝36种，而以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3种，故所求概率为336＝1 12.答案：A2．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是()A.19 B.16C.118 D.112解析：抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1，4；4，1；2，5；5，2；3，6；6，3共6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有36种，所以所求概率P＝636＝16，故选B.答案：B3．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.23 B.25C.35 D.910解析：由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戌)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝9 10.答案：D4．在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A.34 B.58C.12 D.14解析：分析题意可知，共有(0，1，2)，(0，2，5)，(1，2，5)，(0，1，5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝1 2.答案：C5．(2020·河北三市联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为()A.34 B.710C.45 D.35解析：设2个红球分别为a、b，3个白球分别为A、B、C，从中随机抽取2个，则有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P＝610＝35.答案：D6．(2020·商丘模拟)已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.79 B.13C.59 D.23解析：f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2>b2的共有6个，P＝69＝23.答案：D7．(2020·榆林质检)从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为()A.12 B.13C.14 D.15解析：从1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，有12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共12种结果，其中大于30的两位数有31，32，34，41，42，43，共6个，所以这个两位数大于30的概率P＝612＝1 2.答案：A8．(2020·武汉部分学校调研)标有数字1，2，3，4，5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为 ( ) A.12 B.15C.35D.25解析：5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n ＝5×4＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：①第1张抽到2，第2张抽到1；②第1张抽到3，第2张抽到1或2；③第1张抽到4，第2张抽到1或2或3；④第1张抽到5，第2张抽到1或2或3或4.共10种．故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率P ＝1020＝12.答案：A9．(2020·武汉调研)已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 69471417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 36619597 7424 7610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为________．解析：∵4次射击中有1次或2次击中目标的有：7140，1417，0371，6011，7610，∴所求概率P ＝1－520＝34.答案：3410．(2020·安阳模拟)盒中有三张分别标有号码3，4，5的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为奇数的概率为________．解析：法一：两次抽取的卡片号码有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共9种情况，其中至少有一个是奇数的有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共8种情况，因此所求概率为89.法二：所求事件的对立事件为：两次抽取的卡片号码都为偶数，只有(4，4)这1种取法，而两次抽取的卡片号码有(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，共9种情况，因此所求事件的概率为1－19＝89.答案：89B 组——素养提升练11．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析：圆心(2，0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d <2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2<2，得b >a ，满足b >a 的共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512.答案：51212．(2020·桂林模拟)从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________．解析：从正五边形ABCDE 的5个顶点中随机选择3个顶点，基本事件总数为10，即ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的个数为5，即△ABD ，△ACD ，△ACE ，△BCE ，△BDE ，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率P ＝510＝12.答案：1213．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．解析：(1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23＞13，故这种说法不正确．14．设a ∈{2，4}，b ∈{1，3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率．解析：(1)由题意，得－b 2×12a≥－1，即b ≤a . 而(a ，b )可能为(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，共4种，满足b ≤a 的有3种，故所求的概率为34.(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．因为函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，所以这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2，3)，(4，1)这1组满足，故所求的概率为16.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

【赢在微点】高三数学(文)一轮复习练习：9-2古典概型(含答案解析)

配餐作业(五十五) 古典概型一、选择题1．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋ni)(n －mi)为实数的概率为( )A.13B.14 C.16D.112解析：复数(m ＋ni)(n －mi)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，则n 2－m 2＝0⇒m ＝n ，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为66×6＝16。

答案：C2．(2016·贵阳模拟)将一枚骰子连续抛掷两次，则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是( )A.23 B.56 C.2936D.34解析：抛掷骰子两次，有36种等可能的结果，如表：所求概率P ＝3036＝56。

答案：B3．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B.712C.13D.12解析：∵(m ，n)·(－1,1)＝－m ＋n<0，∴m>n 。

基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。

∴P ＝1536＝512，故选A 。

答案：A4．(2016·河北三市二联)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球。

现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为( )A.34B.710C.45D.35解析：设2个红球分别为a 、b,3个白球分别为A 、B 、C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b)，(a ，A)，(a ，B)，(a ，C)，(b ，A)，(b ，B)，(b ，C)，(A ，B)，(A ，C)，(B ，C)，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35。

高考数学一轮复习全套课时作业9-7古典概型

作业9.7古典概型一、单项选择题1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是()A.12B.14C.34D ．02．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()A.110B.18C.16D.153．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为()A.132B.164C.332D.3644．用数字1，2，3组成无重复数字的三位数，那么所有的三位数中是奇数的概率为()A.13B.16C.12 D.235．(2021·河南新乡市高三模拟)连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x ，y ，z ，那么点P(x ，y ，z)到原点O 的距离不超过3的概率为()A.427B.7216C.1172D.166．(2021·辽宁大连市高三模拟)为了普及垃圾分类的知识，某宣传小组到小区内进行宣传．该小组准备了100张垃圾的图片，其中可回收垃圾40张．为了检验宣传成果，该小组从这100张图片中选取20张做调查问卷，则这20张中恰有10张可回收垃圾的概率是()A.C 4010C 10020B.C 4010·C 6010C 10020C ．C 20D ．C 207．(2021·广州市摸底调研考试)2021年广东新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为()A.136B.116C.18D.168．(2021·衡中调研卷)2021年1月，河北石家庄突发新冠疫情，衡水市某医院从3名呼吸科、3名重症科和3名急诊科医生中选派5人组成一个医疗专家小组支援石家庄，则该院呼吸科、重症科和急诊科医生都至少有1人的概率为()A.89B.23C.67D.139．(2021·河南郑州模拟)现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为()A.110B.15C.310D.2510．(2021·石家庄教学质量检测)袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为()A.19B.16C.29D.518二、多项选择题11．(2021·江苏连云港高三月考)在4件产品中，有一等品2件，二等品1件(一等品与二等品都是正品)，次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是()A ．两件都是一等品的概率是13B ．两件中有1件是次品的概率是12C ．两件都是正品的概率是13D ．两件中至少有1件是一等品的概率是56三、填空题和解答题12．从13，12，2，3，5，9中任取两个不同的数，分别记为m ，n ，则“log m n ＞0”的概率为________．13．(2021·衡水中学模拟)2020年初，新冠肺炎疫情期间，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为________．14．甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题．(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？15．(2021·衡水中学模拟)某中学有初中生1800人，高中生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中生”和“高中生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)写出a 的值；(2)试估计该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数；(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．16.(2021·湘赣名校联考)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，算盘从右至左档位依次为个位、十位、百位、…….例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为()A.38B.12C.23D.3417．(2021·《高考调研》原创题)某机构有项业务是测试手机电池的续航时间，现有美国产的iPhone 和中国产的小米、华为、OPPO 四种品牌的手机需要测试，其中华为有Mate 40和P40两种型号，其他品牌的手机都只有一种型号．已知每款手机的测试时间都为1个月，测试顺序随机，每款手机测试后不再测试，同一品牌的两个型号不会连续测试．在未来4个月内，测试的手机都是国产手机的概率为________．作业9.7古典概型参考答案1答案A 解析列举出所有基本事件，找出“只有1次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为24＝12.2．答案D 解析在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB 与DE)，共有3种，∴所求概率为315＝15.3．答案D解析基本事件为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)，…，(8，8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率为364.4．答案D解析用数字1，2，3组成无重复数字的三位数共有A 33种，列举如下：123，132，213，231，312，321，其中奇数有4个，故三位数中是奇数的概率P ＝46＝23.故选D.5．答案B解析点P(x ，y ，z)到原点O 的距离不超过3，则x 2＋y 2＋z 2≤3，即x 2＋y 2＋z 2≤9，连续掷三次骰子，得到的点的坐标共有6×6×6＝216(个)，其中(1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，1)，(1，2，2)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，2，1)满足条件，则点P(x ，y ，z)到原点O 的距离不超过3的概率为P ＝7216.故选B.6．答案B解析由题知，该小组从这100张图片中选取20张共有C 10020个结果，而这20张中恰有10张可回收垃圾的共有C 4010·C 6010个结果，由古典概型的概率公式得这20张中恰有10张可回收垃圾的概率为C 4010·C 6010C 10020.故选B.7．答案D解析小明与小芳选课所有可能的结果有C 42C 42种，他们选课相同的结果有C 42种，故所求的概率P ＝C 42C 42C 42＝16，故选D.8．答案C解析从9人中选5人有C 95＝126种选法，三科医生都至少有1人，则按人数分为311，221，选派方法数为C 31C 31C 31C 33＋C 31C 31C 32C 32＝108，∴所求概率为P ＝108126＝67.故选C.9．答案C 解析将5张奖票不放回地依次取出共有A 55＝120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有3A 32A 21A 11＝36(种)取法，所以P＝36120＝310.故选C.10．答案C解析由题意，得随机数的前两位只能出现1或2中的一个，第三位出现另外一个，所以满足条件的随机数为142，112，241，142，故恰好第三次就停止摸球的概率为418＝29，故选C.11答案BD解析由题意设一等品编号为a ，b ，二等品编号为c ，次品编号为d ，从中任取2件的基本情况有(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(b ，c)，(b ，d)，(c ，d)，共6种；对于A ，两件都是一等品的基本情况有(a ，b)，共1种，故两件都是一等品的概率P 1＝16，故错误；对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有(a ，d)，(b ，d)，(c ，d)，共3种，故两件中有1件是次品的概率P 2＝36＝12，故正确；对于C ，两件都是正品的基本情况有(a ，b)，(a ，c)，(b ，c)，共3种，故两件都是正品的概率P 3＝36＝12，故错误；对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(b ，c)，(b ，d)，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率P 4＝56，故正确．故选BD.12．答案715解析log m n>0等价于m>1且n>1，或0<m<1且0<n<1，从13，12，2，3，5，9中任取两个不同的数组成数对(m ，n)，共有A 62＝30种取法，其中满足log m n>0的有A 22＋A 42＝2＋12＝14(种)，所以“log m n ＞0”的概率为1430＝715.13．答案13解析根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科，则有C 42A 33＝6×6＝36种情况，若甲辅导数学，则有C 32A 22＋C 31A 22＝12种情况，则数学学科恰好由甲辅导的概率为13.14．答案(1)415(2)1315解析甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法有10×9＝90(种)，即基本事件总数是90.(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数：甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6×4＝24.∴P(A)＝2490＝415.(2)“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题．记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少有一人抽到选择题”为事件C ，则B 包含的基本事件数为4×3＝12.∴由古典概型概率公式，得P(B)＝1290＝215.由对立事件的性质可得P(C)＝1－P(B)＝1－215＝1315.15．答案(1)0.03(2)870(3)0.7解析(1)由题意得a ＝0.1－0.04－0.02－0.005×2＝0.03.(2)∵初中生中，阅读时间不少于30个小时的频率为(0.020＋0.005)×10＝0.25，∴所有初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.25×1800＝450(人)．同理，高中生中，阅读时间不少于30个小时的频率为(0.030＋0.005)×10＝0.35，∴所有高中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.35×1200＝420(人)．∴该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数约为450＋420＝870.(3)由分层抽样知，抽取的初中生有60名，高中生有40名．记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A.初中生中，阅读时间不足10个小时的频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×60＝3.高中生中，阅读时间不足10个小时的频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×40＝2.则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能的情况有C 52＝10(种)，其中至少有1名高中生的情况有C 52－C 32＝7(种)，∴所求概率为710＝0.7.16.答案D解析依题意得所拨数字共有C 41C 42＝24种可能．要使所拨数字大于200，则若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，有C 21C 42＝12(种)；若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位档，再从个、十、百位档里选一个下珠，有C 21C 31＝6(种)，则所拨数字大于200的概率为12＋624＝34.故选D.17．答案17解析在未来4个月内，测试的手机有如下两种情况：①当华为手机出现两次时，有C 22C 32A 22A 32＝36(种)情况；②当华为手机出现一次时，有C 21A 44＝48(种)情况．故共有36＋48＝84(种)情况．而其中未来这4个月中测试的手机都是国产手机的情况有A 22A 32＝12(种)，故所求概率P ＝1284＝17.。

2021届高考数学一轮复习第九章概率统计与统计案例第二节古典概型课件文北师大版

休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
[破题技法]
方法
解读
列举法
此法适合基本事件较少的古典概型
列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法
树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题树状图法
2
3
A.3
B.5
2
1
C.5
D.5
[解析] 记 5 只兔子中测量过某项指标的 3 只为 a1，a2，a3，未测量过这项指标的 2 只为 b1，b2，则从 5 只兔子中随机取出 3 只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2， b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3， b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共 10 种可能．其中恰有 2 只测量过该指标的情况为 (a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共 6 种可能．故恰有 2 只测量过该指标的概率为160＝35.故选 B. [答案] B
(3)(2018·高考全国卷Ⅱ)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选
中的 2 人都是女同学的概率为( )
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
[解析] 设 2 名男同学为 a，b，3 名女同学为 A，B，C，从中选出两人的情形有(a，
b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，

最新-2021届高三数学文一轮复习课件：92 古典概型精品

(1)设“a∥b”为事件 A，则 xy＝－3。事件 A 包含的基本事件有(－1,3)，共 1 个。故 a∥b 的概率为 P(A)＝91。
(2)求 a⊥b 的概率。
解析：(2)设“a⊥b”为事件 B，则 y＝3x。事件 B 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共 2 个。故 a⊥b 的概率为 P(B)＝92。
奇数的概率是( )
1
1
1
3
A.6
B.3
C.2
D.8
解析：(1)基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共 12 个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共 6 个，因此使得 a2≥4b 的概率是21。
[规律方法] 古典概型交汇命题的解题策略解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算。
【微练 2】为了解学生身高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
数字之和为偶数的概率 P＝280＝25，故选 D。
答案：D
5．将甲、乙两球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在 1,2 号盒子中各有一个球的概率为__________。
解析：依题意得，甲、乙两球各有 3 种不同的放法，共 9 种放法，其中有 1,2 号盒子中各有一个球的放法有 2 种，故有 1,2 号盒子中各有一个球的概率为 29。
解析：(2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共 6 种。

【优化方案】高考数学总复习第9章第2课时古典概型精品课件文新人教B

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品． (1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率； (2)从一等品零件中，随机抽取2个： ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2个零件直径相等的概率．
【解】 (1)由所给数据可知，一等品零件共有 6 个．设“从 10 个零件中，随机抽取 1 个为一等品” 为事件 A，则 P(A)＝160＝35.4 分 (2)①一等品零件的编号为 A1，A2，A3，A4，A5， A6，从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1， A5}，{A1，A6 }，{A2，A3 }，{A2，A4}， {A2，A5 }， {A2，A6 }，{A3，A4 }，{A3，A5 }，{A3， A6}，{A4， A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有 15 种.8 分
•18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
习
2021/12/132021/12/13
•
•
面
对
高
考
考点探究 • 挑战高考
考向瞭望 • 把脉高考
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2．甲、乙两人随意入住两个房间，则甲、
3．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面上分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋bi. (1)若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A； (2)求事件“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发

高考数学(文)一轮复习文档：第九章概率第2讲古典概型 Word版含答案

第2讲古典概型, )1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型(1)特点 ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．(2)概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．1．辨明两个易误点(1)在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的．(2)概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.2．古典概型中基本事件的求法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时，(x ，y )可以看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1，2)，(2，1)相同．1.教材习题改编一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为( )A ．23B ．14C ．13D ．12D 一枚硬币连掷2次，共有4种不同的结果：正正，正反，反正，反反，所以只有一次出现正面的概率P ＝24＝12. 2.教材习题改编袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，取到白球的概率为( )A ．25B ．415C ．35D ．115A 从15个球中任取一球有15种取法，取到白球有6种，所以取到白球的概率P ＝615＝25. 3.教材习题改编掷两颗均匀的骰子，则向上的点数之和为5的概率等于( )A ．118B ．19C ．16D ．112B 掷两颗骰子，向上的点数有以下情况：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种，其中点数和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，故所求概率为436＝19. 4.教材习题改编某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员从中随机抽出2听，检测出都是合格产品的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45B 记A 1，A 2，A 3，A 4为合格产品，B 1，B 2为不合格产品，基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种．检测出都合格的产品有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 3，A 4)，共6种．故检测出都是合格产品的概率为p ＝615＝25，故选B. 5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．甲、乙两人都有3种选择，共有9种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况，所以甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P ＝39＝13. 13简单古典概型的求法(2017·西安模拟)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．【解】 (1)标号为1，2，3的三张红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1，2的两张蓝色卡片分别记为D ，E ，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310. (2)记F 为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(A ，F )，(B ，F )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815. 求古典概型概率的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数n .(2)求出事件A 包含的所有基本事件数m .(3)代入公式P (A )＝m n ，求出P (A )．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.较复杂古典概型的求法(高频考点)古典概型是高考考查的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计一起考查，属容易题．高考对本部分内容的考查主要有以下两个命题角度：(1)古典概型与互斥、对立事件相综合命题；(2)古典概型与统计相综合命题．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．【解】 (1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P (A )＝327＝19. 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B －包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B －)＝1－327＝89. 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.求较复杂事件的概率问题的方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．角度一古典概型与互斥、对立事件相综合命题1．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A ．23B ．25C ．35D ．910D 记事件A ：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)，(甲、丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A 的对立事件A －仅有(丙，丁，戊)一种可能，所以A 的对立事件A －的概率为P (A －)＝110，所以P (A )＝1－P (A －)＝910.选D.角度二古典概型与统计相综合命题2．全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2016年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．(1)现从融合指数在内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．(1)法一：融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在内的基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，共9个．所以所求的概率P ＝910. 法二：融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．其中，没有1家融合指数在内的基本事件是：{B1，B2}共1个．所以所求的概率P＝1－110＝9 10.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.,)——求古典概型的概率(本题满分12分)(2016·高考山东卷) 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤4，1≤y ≤4}一一对应．(2分)因为S 中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n ＝16.(4分)(1)记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)．所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516. (6分)(2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C .则事件B 包含的基本事件共6个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，所以P (B )＝616＝38.(8分) 事件C 包含的基本事件共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P (C )＝516.(10分) 因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．(12分)(1)解决此类问题时，首先要分清题目是在什么条件下的古典概型，然后根据条件分别列出所有基本事件所构成的空间以及所求事件所对应的基本事件，代入公式求解即可，要注意计算的准确性．(2)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件等．, )1．(2016·高考全国卷乙)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．56C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为46＝23.故选C. 2．(2016·高考全国卷丙)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A ．815B ．18C ．115D ．130C 开机密码的所有可能结果有：(M ，1)，(M ，2)，(M ，3)，(M ，4)，(M ，5)，(I ，1)，(I ，2)，(I ，3)，(I ，4)，(I ，5)，(N ，1)，(N ，2)，(N ，3)，(N ，4)，(N ，5)，共15种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C. 3．(2015·高考全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A ．310B ．15C ．110D ．120C 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110.故选C. 4．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率为( )A ．13B ．512C ．12D ．712A 将2名男生记为A 1，A 2，2名女生记为B 1，B 2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1，A 2A 1共12种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2这4种情况，则其发生的概率为412＝13. 5．(2017·商丘模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A ．79B ．13C ．59D ．23 D f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2＞0，即a2＞b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2＞b 2的有6个基本事件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事件的概率为69＝23. 6．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b ，b <c 时称为“凹数”(如213，312等)，若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A ．16B ．524C ．13D ．724C 由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；由1，2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342，432，423，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．当b ＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”；当b ＝2时，有324，423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率是6＋224＝13.7．(2016·高考四川卷)从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是__________．从2，3，8，9中任取两个不同的数字，(a ，b )的所有可能结果有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12种，其中log 28＝3，log 39＝2为整数，所以log a b 为整数的概率为16.168．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．记“两人都中奖”为事件A ，设中一、二等奖及不中奖分别记为1，2，0，那么甲、乙抽奖结果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1，2)，(2，1)，2种，所以P (A )＝26＝13.139．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1、2、3、4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是________．抛掷两次该玩具共有16种情况：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，…，(4，4)．其中乘积是偶数的有12种情况：(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(4，2)，(4，4)，(4，1)，(4，3)．所以两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是P ＝1216＝34.3410．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝615＝2 5.2511．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：(2)从得分在区间 (1)4，6，6.(2)①得分在区间易知过点(0，0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14.13．某市甲、乙两社区联合举行“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人．(1)若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率；(2)若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率．(1)记甲社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A1、B1、C1，乙社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A2、B2、C2，则从甲、乙社区各选一个表演项目的所有基本事件有(A1，A2)，(A1，B2)，(A1，C2)，(B1，A2)，(B1，B2)，(B1，C2)，(C1，A2)，(C1，B2)，(C1，C2)，共9个．其中选出的两个表演项目相同这一事件包含的基本事件有(A 1，A 2)，(B 1，B 2)，(C 1，C 2)，共3个，所以所求概率P 1＝39＝13.(2)记甲社区表演队中表演跳舞的1人为a 1，表演笛子演奏的2人分别为b 1、b 2，表演唱歌的3人分别为c 1、c 2、c 3.则从甲社区表演队中选2人的所有基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．其中至少有一位表演笛子演奏这一事件包含的基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共9个，所以所求概率P 2＝915＝35.14．(2017·枣庄模拟)根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于等于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市2016年10月上旬的空气质量指数情况：(1)求10月上旬市民不适合进行户外活动的概率；(2)一外地游客在10月上旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率． (1)该试验的基本事件空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，基本事件总数n ＝10.设事件A 为“市民不适合进行户外活动”，则A ＝{3，4，9，10}，包含基本事件数m ＝4.所以P (A )＝410＝25，即10月上旬市民不适合进行户外活动的概率为25.(2)该试验的基本事件空间Ω＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)}，基本事件总数n ＝9，设事件B 为“适合连续旅游两天的日期”，则B ＝{(1，2)，(5，6)，(6，7)，(7，8)}，包含基本事件数m ＝4，4 9，所以适合连续旅游两天的概率为49.所以P(B)＝。

2021届高考数学一轮基础反馈训练：第九章第2讲 古典概型

2021高考总复习(北师大版)数学(文)【配套课件】第九章第二节 古典概型(28张PPT).ppt

高考数学 一轮知识点各个击破 第九章 第二节 古典概型追踪训练 文(含解析)新人教A版