理论力学_ 拉格朗日表述(课件)_

∑ ∑ s
α =1
⎛⎜⎜⎝
d dt
∂L ∂q&α
⎟⎟⎞⎠q&α
s
−
∂L
α =1 ∂qα
q&α
=0
∑ ∑ ∑ s
α =1
⎜⎜⎛⎝
d dt
∂L ∂q&α
⎞q&α ⎠
=
sd α =1 dt
⎜⎜⎛⎝
∂L ∂q&α
q&α
⎞s −
∂L
⎠ α =1 ∂q&α
q&&α
∑ ∑ ∑ d
dt
s α =1
∂L ∂q&α
q&α
§8-2 广义动量积分和广义能量积分
L = 1 m(x& 2 + y& 2 + z& 2 ) − mgz 2
∂L = 0 ∂x
∂L = 0 ∂y
px
=
∂L ∂x&
=
mx&
=
常量
py
=
∂L ∂y&
=
my&
=
常量
L = 1 m(r& 2 + r 2θ&2 + r 2 sin 2 θϕ& 2 ) − mgr cosθ
§8-2 广义动量积分和广义能量积分
拉格朗日方程在一定条件下存在两种第一积分, 一个是广义动量积分, 一个是广义能量积分.
第一积分的存在，不但使拉格朗日方程降为一 阶方程, 简化求解；而且当第一积分有明确的物理意义 时, 还有利于我们对物理过程的认识和研究.
1.广义动量和广义动量积分
d dt
∂L ∂q&α
2
∂L
∂ϕ
=
0
pϕ
=
∂L
∂ϕ&
= mr 2 sin 2 θϕ&
= 常量
§8-2 广义动量积分和广义能量积分
2.广义能量和广义能量积分
rri = rri (q1, q2 ,..., qs , t)
∑ rr&i
=
s ∂rri α =1 ∂qα
q&α
+
∂rri ∂t
∑ ∑ ∑ ∑ T
=
1 2
n i =1
s
−
∂L
α =1 ∂qα
q&α
s
−
∂L
α =1 ∂q&α
q&&α
=0
∑ ∑ dL
dt
=
s ∂L α =1 ∂qα
q&α
s
+
∂L
α =1 ∂q&α
q&&α
+ ∂L ∂t
∑ d
dt
⎜⎜⎝⎛
s α =1
∂L ∂q&α
q&α
−L ⎟⎞ ⎠
=
− ∂L ∂t
§8-2 广义动量积分和广义能量积分
∂L / ∂q&α = pα
2
L = T − V = 1 mR2 (θ&2 + ω 2 sin 2 θ ) − mgR cosθ
2
§8-2 广义动量积分和广义能量积分
∂L / ∂t = 0
H = T2 − T0 + V = 常量
H = 1 mR 2θ&2 − 1 mR 2ω 2 sin 2 θ + mgR cosθ = 常量
αs=1⎜⎜⎛⎝
n i=1
mi
∂rri ∂qα
⋅ ∂rri ∂t
⎞q&α ⎠
+1 2
n iri ∂t
⎞2 ⎠
∂rri / ∂t ≠ 0
∂rri / ∂t = 0
T = T2 + T1 + T0
T = T2
§8-2 广义动量积分和广义能量积分
d ∂L − ∂L = 0 dt ∂q&α ∂qα
2
3
∂L / ∂x = 0
px
=
∂L ∂x&
=
mx& − maϕ& sin ϕ
=
C (常量）
t = 0, x& = 0, ϕ& = 0
x& = aϕ& sin ϕ
T = T2
∂L / ∂t = 0 H = E = T + V = 常量
§8-2 广义动量积分和广义能量积分
t = 0, x& = 0, ϕ& = 0, ϕ = π , E = mga
2
2
t = 0, θ0 = 0, θ& = 0, H0 = mgR
例题4
⎨⎧⎩xycc
= =
x + a cosϕ a sinϕ
Rθ&2 − Rω 2 sin 2 θ + 2g(cosθ −1) = 0
T
=
1 2
m( x& c2
+
y&c2 )
+
1 2
I cϕ& 2
⎧ ⎨ ⎩
x&c y& c
= =
x& − aϕ& sinϕ aϕ& cosϕ
∑ d
dt
⎛⎜ s ⎝ α =1
pα q&α
−L ⎞⎟ ⎠
=
− ∂L ∂t
s
∑ H = pα q&α − L
广义能量
α =1
∑ ∑ s
pα q&α
α =1
= s ∂T α =1 ∂q&α
q&α
∑ ∑ ∑ =
s ∂T2 α =1 ∂q&α
q&α
+
s α =1
∂T1 ∂q&α
q&α
+
s α =1
∂T0 ∂q&α
mivri
⋅ vri
=
1 2
i
n =1
mi
⎛⎜⎜⎝
s α =1
∂rri ∂qα
q&α
+
∂rri ∂t
⎟⎟⎠⎞
⋅⎛⎜⎜⎝
β
s =1
∂rri ∂qβ
q&β
+
∂rri ∂t
⎞⎟⎟⎠
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ T
=
1 2
s α=1
⎜⎜⎝⎛
n i=1
mi
β=1
∂rri ∂qα
⋅ ∂rri ∂qβ
⎟⎞q&αq&β ⎠
+
q&α
dH = − ∂L dt ∂t ∂L / ∂t = 0
H = 常量
∑s ∂T2
α =1 ∂q&α
q&α
= 2T2
∑s ∂T1
α =1 ∂q&α
q&α
= T1
∑s ∂T0
α =1 ∂q&α
q&α
=0
s
∑ pα q&α = 2T2 + T1
α =1
H = T2 − T0 + V
§8-2 广义动量积分和广义能量积分
∑ rr&i
=
s ∂rri α =1 ∂qα
q&α
+
∂rri ∂t
rri = rri (qα ,t)
pα
= ∂L ∂q&α
= 常量
V = V (qα )
∂L = ∂T ∂q&α ∂q&α
∑ pα
=
n mivri
i =1
⋅ ∂rri ∂qα
∂rr&i = ∂rri ∂q&α ∂qα
[ pα
]
=
[动量][长度] [广义坐标]
∂rri / ∂t ≠ 0 ∂rri / ∂t = 0
T0 ≠ 0 T0 = 0
H = T2 − T0 +V
T = T2
H = T2 + V = E
例题3 T = 1 m(r&2 + r2θ&2 + r2 sin2 θϕ& 2 )
2
ϕ = ωt + ϕ0 r = R
V = mgR cosθ
T = 1 mR2 (θ&2 + ω 2 sin 2 θ )
I c = ma 2 / 3
T = 1 m(x& 2 + a 2ϕ& 2 − 2ax&ϕ& sin ϕ ) + 1 ma 2ϕ& 2
2
6
§8-2 广义动量积分和广义能量积分
V = mga sin ϕ
L = T − V = 1 m(x& 2 − 2ax&ϕ& sin ϕ ) + 2 ma 2ϕ& 2 − mga sin ϕ
− ∂L ∂qα
=0
d ∂L = ∂L dt ∂q&α ∂qα
循环坐标
∂L ∂qα = 0
∂L = 常量 ∂q&α
d ∂L dt ∂q&α
=0
可遗坐标
§8-2 广义动量积分和广义能量积分
∂L = 0 ∂qα
pα
=
∂L ∂q&α
∑ pα
= ∂T ∂q&α
=
n i =1
mivri
⋅
∂rr&i ∂q&α