(山东专用)2013年高考数学总复习 第八章第8课时 抛物线课时闯关(含解析)

2013年高考数学总复习（某某专用）第八章第8课时 抛物线 课时
闯关（含解析）
一、选择题
1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22
＝1的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2
C ．－4
D ．4
解析：选D.由已知得椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为F (2,0)，∴p 2
＝2，得p ＝4. 2．(2010·高考某某卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦
点的距离是( ) A ．4 B ．6
C ．8
D ．12
解析：选B.y 2＝8x 的焦点是F (2,0)，
准线x ＝－2，
如图所示，|PA |＝4，|AB |＝2， ∴|PB |＝|PF |＝6.故选B.
3．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是
( )
A ．y 2＝±22x
B ．y 2＝±2x
C ．y 2＝±4x
D ．y 2＝±42x
解析：选D.因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．
设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，
则p 2
＝2，所以p ＝22， 所以抛物线方程为y 2＝±42x . 4．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2
a
－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( ) A.125B.19
C.15
D.13
解析：选B.根据抛物线定义可得，抛物线的准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为y 2＝16x .
把M (1，m )代入得m ＝4，即M (1,4)．
在双曲线x 2
a －y 2＝1中，A (－a ，0)，则k AM ＝41＋a ＝1a
. 解得a ＝19
. 5．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )
A ．(1,0)
B ．(2,2)
C ．(3,2)
D ．(2,4)
解析：选C.依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x y ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62
＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C.
二、填空题
6．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝
________.
解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的
距离为4，则M 的横坐标为3.
答案：3
7．(2012·某某质检)已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点为F ，准线l 与对称轴交于R 点，过
已知抛物线上一点P (1,2)作PQ ⊥l 于Q ，则(1)抛物线的焦点坐标是________；(2)梯形PQRF 的面积是________．
解析：代入(1,2)得a ＝2，所以抛物线方程为x 2＝12y ，故焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.又R ⎝
⎛⎭⎪⎫0，－18，|FR |＝14，|PQ |＝2＋18＝178
， 所以梯形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋178×1＝1916
. 答案：(1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，18 (2)1916 8．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面的宽度为8米，当水面上升12
米后，水面的宽度是________米．
解析：设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p
＝8，
故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2＝－8·(－32
)＝12，x ＝±2 3. 故水面宽4 3 米．
答案：4 3
三、解答题
9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32
，6)，求抛物线与双曲线的方程． 解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，
∴p ＝2c .
设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，
∵抛物线过点(32
，6)， ∴6＝4c ·32
， ∴c ＝1，
故抛物线方程为y 2＝4x .
又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32
，6)，
∴
94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2
＝1， ∴94a 2－61－a 2＝1. ∴a 2＝14
或a 2＝9(舍)． ∴b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23
＝1. 10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，
A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作A
B 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2
＝5， ∴p ＝2.
∴抛物线方程为y 2＝4x .
(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．
又∵F (1,0)，∴k FA ＝43
， ∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34
. 又FA 的方程为y ＝43
(x －1)， 故MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组得x ＝85，y ＝45
， ∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫85，45. 11．已知直线AB 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过坐标原点
O ，OD ⊥AB 于点D ，点D 的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．
解：由题意得k OD ＝12
， ∵AB ⊥OD ，∴k AB ＝－2，
又直线AB 过点D (2,1)，
∴直线AB 的方程为y ＝－2x ＋5，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
∵以AB 为直径的圆过点O ，
∴O A →·O B →＝0，
即x 1x 2＋y 1y 2＝0，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－2x ＋5y 2＝2px 得4x 2－(2p ＋20)x ＋25＝0，
∴x 1＋x 2＝p ＋102，x 1x 2＝254
， ∴y 1y 2＝(－2x 1＋5)(－2x 2＋5)
＝4x 1x 2－10(x 1＋x 2)＋25
＝25－5p －50＋25＝－5p ，
∴254＋(－5p )＝0，
∴p ＝54
， ∴抛物线方程为y 2＝52
x .。